Exercicis: Progressions aritmètiques

Indica quines de les successions següents són progressions aritmètriques i, si és el cas, dona la diferència:

1. a) $4, 7, 10, 13, \ldots$

1. b) $2, 4, 8, 16, \ldots$

1. c) $20, 17, 14, 11, \ldots$

1. d) $1, 1, 1, 1, \ldots$

1. e) $3, 7, 12, 18, \ldots$

Una progressió aritmètica té com a primer terme $a_1 = 5$ i diferència $d = 3$.

1. a) Escriu els seus cinc primers termes.

1. b) Escriu el terme general $a_n$.

1. c) Calcula $a_{10}$.

En una progressió aritmètica, $a_1 = 2$ i $a_5 = 14$.

1. a) Calcula la diferència.

1. b) Escriu el terme general.

1. c) Quin lloc ocupa el terme $26$?

Considera la progressió aritmètica $3, 7, 11, \ldots$

1. a) Calcula la suma dels seus $10$ primers termes.

1. b) Comprova el resultat calculant primer $a_{10}$ i aplicant la fórmula de la suma.

L'Elena vol estalviar per al seu viatge de final de curs. Comença guardant $25\text{ €}$ el primer mes i decideix incrementar la seva aportació en $5\text{ €}$ cada mes durant un any complet (12 mesos). Per saber quants diners reunirà, escriu a la seva llibreta:

$$a_{12} = 25 + (12 - 1)\cdot 5 = 25 + 55 = 80\text{ €}$$

I conclou: «Genial! En acabar l'any tindré $80\text{ €}$ estalviats per al viatge».

1. a) Identifica i explica detalladament l'error conceptual que comet l'Elena en interpretar el resultat d'$a_{12}$. Què representa en la realitat aquesta xifra de $80\text{ €}$?
2. b) Corregeix el càlcul aplicant la fórmula adequada per determinar la quantitat total que l'Elena haurà acumulat a la guardiola en finalitzar els 12 mesos.
3. c) Si el viatge costa $600\text{ €}$, raona si en tindrà prou amb els diners estalviats o quants li'n faltaran o sobraran.

Un estudiant obre un compte moneder per pagar-se els desplaçaments en autobús durant el curs escolar. El primer mes ingressa $40\text{ €}$ i cada mes afegeix $10\text{ €}$ més que el mes anterior, mantenint aquest pla al llarg de 10 mesos.

1. a) Abans de fer càlculs detallats, estima raonadament si el total estalviat al final dels 10 mesos estarà més a prop de $400\text{ €}$, de $850\text{ €}$ o de $1.500\text{ €}$. Justifica la teva estimació pensant en una quota mensual representativa (la quota mitjana entre el primer i l'últim mes).
2. b) Modela la situació mitjançant una progressió aritmètica: identifica el primer terme $a_1$, la diferència $d$ i calcula l'import exacte aportat el desè mes ($a_{10}$).
3. c) Calcula la suma total acumulada $S_{10}$ i valora si la teva estimació inicial era encertada o no, explicant a què es deu la coincidència o desviació.

Una llibreta d'estalvi al $3 \%$ d'interès simple anual parteix d'un capital de $2.000\ \text{ €}$ que no es reintegra: cada any s'afegeixen els mateixos interessos sobre el capital inicial.

1. a) Per què els capitals any rere any formen una progressió aritmètica? Indica el seu primer terme i la seva diferència.

1. b) Escriu el terme general del capital acumulat al cap de $n$ anys.

1. c) Quin capital hi haurà als $6$ anys? I als $15$?

Per al viatge de fi de curs, una alumna decideix estalviar seguint una escala: $10\ \text{ €}$ la primera setmana i cada setmana següent $5\ \text{ €}$ més que l'anterior, com mostra la figura.

1. a) Quant estalviarà la setmana $12$?

1. b) Quant haurà acumulat en total després d'aquestes $12$ setmanes?

1. c) El viatge costa $650\ \text{ €}$. Li arribarà amb $16$ setmanes d'estalvi? Justifica-ho.

Interpola quatre medis aritmètics entre $3$ i $18$ (és a dir, construeix una progressió aritmètica de sis termes els extrems de la qual són $3$ i $18$).

1. a) Calcula la diferència de la progressió.

1. b) Escriu els sis termes.

1. c) Comprova que la suma dels sis termes coincideix amb la fórmula $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

L'amfiteatre d'un parc té $22$ seients a la primera fila, i cada fila posterior té $4$ seients més que l'anterior.

1. a) Quants seients té la fila $8$?

1. b) Quants seients hi ha en total a les $8$ primeres files?

1. c) Per a un concert es necessiten $600$ localitats. Quantes files completes fan falta com a mínim?

La figura representa amb barres els sis primers termes d'una progressió aritmètica.

1. a) Llegeix al gràfic el primer terme $a_1$ i la diferència $d$, i explica per què les altures de les barres estan alineades en línia recta.

1. b) Escriu el terme general $a_n$.

1. c) Calcula $a_{20}$ i la suma dels $20$ primers termes.

Considera les progressions aritmètriques $a_n$, amb $a_1 = 7$ i diferència $2$, i $b_n$, amb $b_1 = 40$ i diferència $-1$.

1. a) Escriu el terme general de cadascuna.

1. b) Existeix cap valor de $n$ per al qual $a_n = b_n$? Calcula'l.

1. c) Interpreta el resultat: descriu amb paraules com evoluciona cada progressió i què significa el terme comú.

Una cooperativa de crèdit a Andalusia dissenya un programa de microcrèdits de $3.960\text{ €}$ per a emprenedors que s'ha de retornar en 12 mensualitats decreixents estructurades en progressió aritmètica. Per política social de l'entitat, s'imposen dues condicions: la suma de les 12 quotes ha d'amortitzar exactament el total degut ($3.960\text{ €}$) i la primera quota ha de ser exactament el doble de l'última ($a_1 = 2\cdot a_{12}$).

1. a) A partir de la fórmula de la suma d'una progressió aritmètica, planteja una equació que relacioni $a_1$ i $a_{12}$ amb el capital total, i dedueix l'import exacte de la primera quota ($a_1$) i de l'última ($a_{12}$).
2. b) Amb els valors trobats, calcula la diferència $d$ de la progressió i escriu el terme general $a_n$ que determina el pagament de qualsevol mes $n$.
3. c) Interpreta el signe de la diferència $d$ en aquest context financer i justifica raonadament per què un esquema de quotes decreixents pot ser avantatjós per a un negoci que comença respecte a una quota constant tradicional.

Per finançar la matrícula d'un màster universitari que puja a $5.400\text{ €}$, una graduada a Espanya estableix un pla d'estalvi mensual durant 2 anys (24 mesos). El primer mes ingressa $110\text{ €}$ i es compromet a incrementar la seva aportació mensual en una quantitat fixa constant $d$ cada mes successiu.

1. a) Modela el pla d'estalvi mitjançant una progressió aritmètica i obtén l'expressió algebraica simplificada del capital total acumulat $S_{24}$ en funció de la diferència $d$.
2. b) Calcula l'increment mensual exacte $d$ que ha d'aplicar per reunir exactament els $5.400\text{ €}$ en concloure el mes 24. Amb aquest valor de $d$, determina quina serà l'aportació que farà l'últim mes ($a_{24}$).
3. c) Al cap de 12 mesos (just la meitat del temps previst), haurà aconseguit estalviar la meitat del cost de la matrícula ($2.700\text{ €}$)? Calcula $S_{12}$ i raona quantitativament per què en els plans amb aportacions creixents l'estalvi acumulat no creix de manera directament proporcional al temps transcorregut.

Quants termes de la progressió aritmètica $5, 9, 13, \ldots$ s'han de sumar per obtenir $377$?

1. a) Escriu el terme general $a_n$ i l'expressió de la suma $S_n$ dels $n$ primers termes.

1. b) Planteja l'equació $S_n = 377$ i resol-la. Per què s'ha de descartar una de les solucions de l'equació de segon grau?

Les medures dels tres costats d'un triangle rectangle estan en progressió aritmètica de diferència $d > 0$.

1. a) Expressa els tres costats en funció del costat mitjà $b$ i de la diferència $d$, i aplica el teorema de Pitàgores.

1. b) Demostra que els costats són necessàriament proporcionals a $3$, $4$ i $5$.

1. c) Dona un exemple concret de triangle rectangle els costats del qual formen una progressió aritmètica de diferència $7$.

Raona si són vertaderes o falses les afirmacions següents sobre progressions aritmètiques, demostrant-les o donant un contraexemple:

1. a) «Tres nombres $a$, $b$ i $c$ estan en progressió aritmètica si i només si $b = \frac{a + c}{2}$.»

1. b) «En una progressió aritmètica, la suma de dos termes equidistants dels extrems és sempre la mateixa: $a_1 + a_n = a_2 + a_{n - 1} = a_3 + a_{n - 2} = \ldots$»

1. c) «Si es suma una mateixa quantitat a tots els termes d'una progressió aritmètica, la diferència canvia.»

Un pare ofereix a la seva filla dos plans de paga mensual:

• Pla A: $20\ \text{ €}$ el primer mes, augmentant $2\ \text{ €}$ cada mes.

• Pla B: $8\ \text{ €}$ el primer mes, augmentant $3\ \text{ €}$ cada mes.

1. a) Escriu el terme general de la paga de cada pla el mes $n$.

1. b) En quin mes coincideix per primera vegada la paga mensual de tots dos plans?

1. c) En quin mes el total acumulat del pla B supera per primera vegada el del pla A? Justifica-ho amb les fórmules de la suma i per tanteig raonat.

Un inversor col·loca un capital inicial $C_0$ en un dipòsit bancari remunerat a un tipus d'interès simple anual del $4\text{ \%}$ ($r = 0,04$). Vol esbrinar quants anys complets han de transcórrer perquè el capital total acumulat arribi almenys al triple del capital inicial invertit ($C_n \ge 3\cdot C_0$). Dos estudiants proposen estratègies diferents:

• Mètode d'en Javier (terme general): Modela l'evolució com una progressió aritmètica el primer terme de la qual és el capital al final del primer any, $a_1 = C_0(1 + 0,04) = 1,04\cdot C_0$, i la diferència anual de la qual és l'interès fix generat, $d = 0,04\cdot C_0$. Planteja $a_n = a_1 + (n - 1)\cdot d \ge 3\cdot C_0$ i aïlla $n$.

• Mètode de la Miriam (interessos acumulats): Raona que, per triplicar el capital total, els interessos nets generats han d'igualar el doble del capital inicial ($I = 2\cdot C_0$). Aplica la fórmula de l'interès simple $I = C_0\cdot r\cdot n$, planteja $C_0\cdot 0,04\cdot n \ge 2\cdot C_0$ i aïlla $n$.

1. a) Resol el problema aplicant ambdós mètodes pas a pas. S'obté el mateix resultat? Depèn el temps obtingut de la quantia concreta del capital inicial $C_0$?
2. b) Compara amb sentit crític ambdós camins: quin resulta més directe i redueix el risc de cometre errors de desfasament temporal en l'índex $n$?
3. c) Generalitza el resultat: si l'interès simple anual és del $r\text{ \%}$ i l'objectiu és multiplicar el capital inicial per un factor $k$ ($k > 1$), dedueix la fórmula simplificada que proporciona directament els anys necessaris $n$ en funció de $r$ i $k$. Explica quin mètode t'ha permès deduir-la amb més claredat.

Dos companys de feina, en Carlos i la Lucía, contracten sengles plans d'estalvi a 10 anys (120 mesos) en una entitat financera:

• Pla A (Carlos): Aporta $100\text{ €}$ el primer mes i augmenta la seva aportació en $2\text{ €}$ cada mes ($d_A = 2\text{ €}$).

• Pla B (Lucía): Comença amb una aportació més baixa, $40\text{ €}$ el primer mes, però incrementa la seva quota mensual a més bon ritme, en $3\text{ €}$ cada mes ($d_B = 3\text{ €}$).

1. a) Determina en quin mes concret l'aportació mensual de la Lucía supera per primera vegada la d'en Carlos ($b_n > a_n$). Significa això que en aquest mateix mes la Lucía ja haurà acumulat més diners totals que en Carlos? Justifica la teva resposta sense calcular encara les sumes.
2. b) Planteja les expressions de les sumes acumulades $S_n^A$ i $S_n^B$ i resol l'equació $S_n^B = S_n^A$. Interpreta les dues solucions que dona l'equació quadràtica: quin significat financer té la solució $n = 0$ i en quin mes exacte la Lucía empataria amb en Carlos en diners acumulats totals si el pla continués indefinidament?
3. c) Sabent que el pla venç als 120 mesos, calcula el capital acumulat final per cadascun. Explica l'aparent contradicció de per què en Carlos finalitza amb més diners si la Lucía ha estat pagant quotes mensuals superiors durant pràcticament la meitat de la vida del pla.