Exercicis: Càlcul d'anualitats i mensualitats

Lucía està planejant assistir a un festival de música quan acabi el Batxillerat, d'aquí a 3 anys. Per sufragar les despeses, decideix obrir un compte d'estalvi jove que li ofereix un interès del $3 \%$ anual compost. Si diposita $250 \euro$ al principi de cada any, quin capital total haurà acumulat per al seu viatge en finalitzar els tres anys?

Un estudiant de 1r de Batxillerat vol comprar-se un ordinador "gaming" que costa $1.200 \euro$. Una botiga d'informàtica li permet pagar-lo en 12 quotes mensuals iguals a un interès del $6 \%$ anual nominal. Sabent que l'interès mensual es calcula com a $i = \frac{0,06}{12}$, utilitza la fórmula de la renda d'amortització per calcular l'import de la mensualitat que haurà de pagar al final de cada mes.

Per estalviar per al carnet de conduir, Carlos decideix ingressar $60 \euro$ al mes en un compte bancari en finalitzar cada període. El banc li ofereix un interès del $2,4 \%$ anual compost amb capitalització mensual. Calcula els diners que tindrà acumulats després de 2 anys (24 mesos) realitzant aquests ingressos.

Nota: Recorda convertir l'interès anual a interès mensual dividint per 12.

Una família sol·licita un préstec de $5.000 \euro$ per comprar una moto de segona mà. El banc els concedeix el préstec a un interès del $5 \%$ anual, que han de retornar en 4 anualitats iguals pagadores al final de cada any. Determina la quantia d'aquesta anualitat d'amortització.

Un club d'e-sports d'un institut decideix estalviar per renovar les seves cadires. Ingressen $100 \euro$ al començament de cada trimestre en un compte que rendeix el $4 \%$ anual compost. Si la capitalització és trimestral ($n=4$ períodes a l'any), calcula el capital que hauran aconseguit estalviar al cap d'un any complet (4 ingressos).

Calcula la mensualitat necessària per amortitzar un deute de $2.400 \euro$ contret per la compra d'una càmera fotogràfica professional, si el préstec es retorna en 2 anys a un tipus d'interès nominal del $4,8 \%$ anual amb pagaments mensuals.

Un jove estalviador decideix ingressar $500 \euro$ cada any al principi d'aquest en un fons d'inversió que garanteix un $3,5 \%$ d'interès anual compost. Utilitza la fórmula del capital final d'una anualitat de capitalització per trobar quants diners tindrà al cap de 5 anys.

Marta ha comprat un patinet elèctric finançant els $450 \euro$ que costa mitjançant un préstec. El banc li cobra quotes mensuals fixes de $40 \euro$ al final de cada mes durant un any. Si els interessos totals pagats són la diferència entre la suma de totes les quotes i el preu al comptat, quants diners ha pagat Marta només en concepte d'interessos en finalitzar l'any?

En Sergio vol finançar la compra d'un ordinador portàtil de $1.800$ € mitjançant un préstec personal a $2$ anys ($24$ mesos) amb quotes mensuals fixes a mes vençut. L'entitat bancària li aplica un tipus d'interès nominal (TIN) anual del $6\%$. Per calcular la seva quota mensual $a$, en Sergio escriu a la seva llibreta:

i obté $a \approx 873,79$ € al mes.

1. a) Sense necessitat de calcular la quota real, multiplica mentalment la quota d'en Sergio per les $24$ mensualitats i explica de manera raonada per què el resultat és un despropòsit financer evident.
2. b) Identifica i explica els dos errors conceptuals greus comesos per en Sergio en formular l'equació.
3. c) Planteja l'equació correcta que permet determinar la mensualitat vençuda que en Sergio ha de pagar, calcula el seu import exacte arrodonit al cèntim i esbrina la quantitat total que acabarà pagant únicament en concepte d'interessos.

L'Elena té 18 anys i es proposa estalviar per pagar la fiança i les despeses d'entrada d'un pis compartit en acabar el seu cicle formatiu d'aquí a $3$ anys ($36$ mesos). Ingressarà $150$ € al final de cada mes en un compte jove remunerat a un interès nominal del $3\%$ anual ($i = \frac{0,03}{12} = 0,0025$ mensual).

1. a) Fes una estimació prèvia raonada abans d'aplicar fórmules complexes: calcula quant acumularia si l'interès fos del $0\%$ i justifica si, en afegir el $3\%$ anual, el capital final acumulat aconseguirà superar o no la barrera dels $6.000$ €.
2. b) Aplica la fórmula del valor final d'una renda d'estalvi constant per calcular la quantitat exacta que haurà acumulat un cop transcorreguts els $36$ mesos.
3. c) Comprova el resultat exacte amb la teva estimació prèvia i calcula quin percentatge del capital final reunit procedeix dels interessos abonats per l'entitat.

Per sufragar les despeses d'un viatge de fi de curs d'aquí a dos anys, un grup d'estudiants decideix obrir un compte d'estalvi. Es comprometen a ingressar $80$ € al final de cada mes. El banc els ofereix un interès del $3,6\%$ T.A.E. amb capitalització mensual.

1. a) Calcula l'interès nominal mensual equivalent.
2. b) De quin capital disposarà el grup en finalitzar els $24$ mesos?
3. c) A quant ascendeixen els interessos totals generats per l'operació?

Una família sol·licita un préstec de $15.000$ € per reformar la cuina i el bany del seu habitatge. El banc li concedeix el crèdit a un interès anual del $5\%$ a retornar en $4$ anys mitjançant quotes mensuals fixes vençudes (al final de cada mes).

1. a) Determina la quantia de la mensualitat que haurà d'abonar.
2. b) Calcula el capital total que acabarà pagant al banc després dels $4$ anys.
3. c) Quin percentatge del capital total pagat correspon als interessos?

Lucas vol comprar-se una moto elèctrica que costa $4.200$ €. Per no descapitalitzar-se, decideix finançar-la al $6\%$ d'interès anual nominal, comprometent-se a pagar mensualitats de $120$ €.

1. a) Utilitza la fórmula de les anualitats d'amortització per calcular quants mesos trigarà a pagar la moto (necessitaràs l'ús de logaritmes).
2. b) Si decideix pagar la moto en exactament $3$ anys, quina hauria de ser la quota mensual fixa?

Una família desitja constituir un fons d'estalvi per a la universitat del seu fill. Planegen ingressar $1.500$ € al començament de cada any durant els pròxims $10$ anys. L'entitat financera els assegura un interès compost del $4,25\%$ anual.

1. a) Quin capital hauran acumulat just després de realitzar el desè ingrés?
2. b) Quin capital tindran un any després de l'últim ingrés (en finalitzar el desè any)?

Nota: Tinguis en compte si l'anualitat és prepagable (a l'inici) o postpagable (al final).

Un petit comerç compra una furgoneta de repartiment valorada en $22.000$ €. Lliura una entrada de $4.000$ € i finança la resta al $4,8\%$ d'interès anual nominal. El contracte estipula el pagament mitjançant anualitats constants durant $5$ anys.

1. a) Calcula l'import de l'anualitat d'amortització.
2. b) Elabora les dues primeres files de la taula d'amortització (indicant per a cada any: capital pendent, interessos, capital amortitzat i quota).

Un inversor particular vol tenir estalviats $50.000$ € en un termini de $8$ anys. Per fer-ho, realitzarà dipòsits trimestrals en un fons que li ofereix un $3\%$ d'interès anual nominal.

1. a) Quin és l'interès trimestral aplicat?
2. b) Quina quantitat ha d'ingressar cada trimestre per aconseguir el seu objectiu?
3. c) Si al cap de $4$ anys l'interès del mercat puja al $4\%$ anual nominal, com variarà la quota trimestral per als $4$ anys restants si vol mantenir el mateix objectiu final?

Calcula la T.A.E. d'un préstec bancari que es publicita amb un interès nominal del $6\%$ anual si els pagaments de les quotes són:

1. a) Mensuals.
2. b) Semestrals.
3. c) En quin cas el cost real per al client és més gran? Justifica la teva resposta comparant els resultats obtinguts.

Un esportista professional decideix estalviar part de la seva fitxa per a quan acabi la seva carrera esportiva. Ingressa $500$ € al final de cada mes en un compte d'estalvi durant $15$ anys. El compte li garanteix un $4,5\%$ d'interès anual nominal amb capitalització mensual.

1. a) Quin capital tindrà acumulat en el moment de la seva retirada esportiva?
2. b) Si quan es retiri, desitja rebre una renda mensual fixa durant els $20$ anys següents esgotant tot el capital acumulat (suposant que el banc manté el mateix interès del $4,5\%$), quina serà la quantia d'aquesta mensualitat?

Una família a Espanya necessita adquirir un vehicle híbrid per $22.000$ €. Després d'aportar $4.000$ € que tenien estalviats com a entrada, sol·liciten finançar els $18.000$ € restants a un termini de $5$ anys ($60$ mesos). La financera aplica un interès nominal del $7,2\%$ anual ($i = \frac{0,072}{12} = 0,006$ mensual) i els ofereix dues modalitats d'amortització:

• Modalitat A (Préstec francès estàndard): $60$ mensualitats constants vençudes d'import $a$, cancel·lant íntegrament el deute al final del mes $60$.

• Modalitat B (Quota reduïda amb valor residual): $59$ mensualitats reduïdes de $320$ € i una quota final al mes $60$ (quota globus) que liquida la totalitat del deute viu pendent en aquell instant.

1. a) Modela matemàticament la Modalitat A: calcula l'import de la mensualitat $a$ i el cost total final que pagarà la família.
2. b) Modela matemàticament la Modalitat B: calcula a quant ha d'ascendir la quota final del mes $60$ per amortitzar completament el préstec restant, sabent que el valor actual de tots els pagaments ha d'equivaler al capital finançat.
3. c) Compara ambdues modalitats: calcula la diferència en l'import total d'interessos abonats i redacta una recomanació financera raonant la compensació entre el desafogament mensual i el sobrecost final.

El Banc d'Espanya recomana que la quota hipotecària mensual d'una llar no sobrepassi el $35\%$ dels seus ingressos nets per evitar el risc de sobreendeutament. En Marcos i la Sara tenen uns ingressos nets conjunts de $2.600$ € al mes i sol·licitaran una hipoteca a un tipus d'interès nominal fix del $3,6\%$ anual ($i = \frac{0,036}{12} = 0,003$ mensual).

1. a) Determina la quota mensual màxima que es poden permetre segons la directriu del Banc d'Espanya.
2. b) Si contracten la hipoteca al termini habitual de $25$ anys ($300$ mesos), planteja l'equació del valor actual i dedueix el capital màxim que l'entitat els concedirà amb aquesta quota límit.
3. c) Si l'habitatge que desitgen exigeix sol·licitar un préstec de $220.000$ € i no volen sobrepassar la quota mensual màxima calculada a l'apartat a), planteja l'equació corresponent, aïlla algebraicament mitjançant logaritmes el nombre mínim d'anys de termini necessaris per fer viable l'operació i raona si el banc autoritzarà la hipoteca sabent que el termini comercial màxim habitual a Espanya se situa en $30$ anys.

Una jove emprenedora de 22 anys decideix planificar la seva independència financera. El seu objectiu és tenir estalviats $100.000$ € quan compleixi 35 anys. Per a això, estableix el pla d'estalvi següent en un compte amb un interès compost del $4,5 \%$ anual:

1. Durant els primers 5 anys, realitzarà aportacions mensuals de $a$ euros al principi de cada mes.

2. Durant els següents 8 anys, augmentarà la seva capacitat d'estalvi i aportarà $2a$ euros al principi de cada mes.

Calcula el valor de la mensualitat inicial $a$ necessària per aconseguir el seu objectiu.

Una empresa de transports necessita renovar la seva flota adquirint tres camions per un valor total de $360.000$ €. Per finançar la compra, el banc els ofereix dues modalitats:

• Modalitat A: Un préstec a 6 anys amb una quota mensual fixa, a un interès nominal anual del $4,8 \%$ amb capitalització mensual.

• Modalitat B: Un préstec amb «carència total» durant els dos primers anys (no es paga res, però els interessos s'acumulen al capital inicial). Els 4 anys restants s'amortitza el deute resultant mitjançant quotes mensuals constants a un interès nominal anual del $5,2 \%$.

Determina quina de les dues modalitats suposa un desborsement total més gran per a l'empresa i calcula la diferència entre totes dues opcions.

Uns pares creen un fons per a la universitat de la seva filla amb un interès compost del $6 \%$ anual. Decideixen realitzar aportacions de $2.400$ € al començament de cada any. Tanmateix, a causa de la inflació, decideixen que cada anualitat sigui un $3 \%$ superior a la de l'any anterior (progressió geomètrica de les quotes).

Calcula el capital acumulat al fons al cap de 15 anys.

Ajuda: Hauràs de sumar els valors capitalitzats de cada anualitat de manera individual i observar que formen una nova progressió geomètrica.

Un professional autònom vol comprar un local valorat en $120.000$ €. Disposa de dues opcions financeres:

1. Estalviar durant 10 anys en un fons d'inversió que garanteix un $4 \%$ TAE, realitzant ingressos mensuals al principi de cada mes, per comprar-lo al comptat al final del període (suposant que el preu del local no varia).

2. Comprar-lo avui demanant un préstec hipotecari a 10 anys al $4 \%$ d'interès nominal anual, amb capitalització mensual i quotes al final de cada mes.

Calcula la diferència entre la mensualitat necessària per estalviar el capital (Opció 1) i la mensualitat necessària per pagar el préstec (Opció 2). Raona quina de les dues estratègies és més eficient des del punt de vista del flux de caixa mensual.

Una família vol constituir un fons solidari per finançar una beca d'estudis a llarg termini. El seu pla és ingressar una quantitat fixa $a$ al final de cada mes durant 20 anys en un compte al $5 \%$ d'interès compost anual (capitalització mensual).

En acabar aquests 20 anys, volen que el capital acumulat els permeti retirar $1.500$ € al mes durant els 15 anys següents (període de pagament de la beca), moment en el qual el compte ha de quedar a zero.

Calcula la quantia de la mensualitat d'estalvi $a$ que han d'aportar durant la primera fase.

Calcula la Taxa Anual Equivalent (TAE) d'un préstec bancari que s'anuncia al $6 \%$ d'interès nominal anual amb capitalització mensual, si a més el banc cobra una comissió d'obertura del $1,5 \%$ del capital prestat i una assegurança de vida obligatòria de $250$ € que es paga en el moment inicial. Suposa que el capital sol·licitat és de $20.000$ € a retornar en un únic pagament al cap d'un any.

Com variaria aquesta TAE si el capital sol·licitat fos de $50.000$ € en les mateixes condicions? Explica per què la TAE depèn en aquest cas de l'import sol·licitat.

Fa $3$ anys, en Javier va contractar un préstec de $30.000$ € al $4,8\%$ d'interès nominal anual ($i = \frac{0,048}{12} = 0,004$ mensual) a retornar en $8$ anys ($96$ mesos) mitjançant quotes mensuals constants vençudes de $376,87$ €. Després de pagar la quota número $36$, el capital pendent d'amortitzar és de $20.060,58$ €. En aquell moment fa una amortització anticipada parcial de $6.000$ € en efectiu, reduint el seu deute a $14.060,58$ €. El banc li permet triar entre dos camins per reestructurar el préstec restant:

• Mètode 1 (Reduir quota): Mantenir el termini restant previst ($60$ mesos) i calcular una nova mensualitat més reduïda $a'$.

• Mètode 2 (Reduir termini): Mantenir la mensualitat original de $376,87$ € i escurçar la durada del préstec recalculant el nombre de mesos $n'$ necessaris per amortitzar el capital restant.

1. a) Aplica el Mètode 1: troba la nova quota mensual $a'$ i els interessos totals que pagarà en Javier en els $5$ anys que resten.
2. b) Aplica el Mètode 2: planteja l'equació del valor actual, aïlla mitjançant logaritmes el nou termini $n'$ en mesos (arrodonint a l'enter superior) i calcula els interessos totals que s'abonaran fins a la cancel·lació.
3. c) Compara ambdós mètodes: calcula l'estalvi en interessos que aconsegueix cadascun respecte a no haver realitzat l'amortització anticipada i justifica matemàticament per què el Mètode 2 és més eficient des del punt de vista del cost financer global.

Un usuari finança una compra extraordinària de $C_0 = 2.500$ € utilitzant una targeta de crèdit en modalitat 'revolving' amb un tipus d'interès nominal del $19,2\%$ anual ($i = \frac{0,192}{12} = 0,016$ mensual). La publicitat de la targeta afirma: «Paga còmodament des de només $35$ € al mes».

1. a) Intenta determinar formalment el nombre de mesos $n$ necessaris per liquidar el deute amb una quota mensual de $a = 35$ € aplicant la fórmula $n = \frac{-\ln(1 - \frac{C_0 \cdot i}{a})}{\ln(1+i)}$. Explica la impossibilitat matemàtica que es produeix en avaluar l'argument del logaritme i raona financerament per què, en comparar la quota amb els interessos generats en un mes ($C_0 \cdot i$), el deute creixeria indefinidament en comptes de reduir-se.
2. b) Dedueix quina és la quota mensual mínima teòrica que permetria no generar deute addicional i calcula la quota fixa mensual que s'hauria d'establir per extingir el préstec en un termini raonable de $3$ anys ($36$ mesos).
3. c) Si el titular tria una quota fixa mensual de $60$ €, calcula el nombre de mesos $n$ que trigarà a cancel·lar el deute (arrodonint cap amunt) i l'import total desemborsat. Demostra amb aquests càlculs per què les quotes fixades molt a prop del llindar $C_0 \cdot i$ provoquen el fenomen financer conegut com a 'deute captiu'.

Repte del tema. El teu pla d'emancipació: préstec i inflació.

Imagina que comences a treballar i necessites finançar un vehicle de segona mà per $6000$ €, analitzant l'impacte real del cost de la vida. Elabora la teva proposta financera en un full de càlcul seguint aquestes fases:

1. IPC i poder adquisitiu: Consulta al web de l'INE la taxa anual de l'IPC dels últims $3$ anys i construeix els seus nombres índex. Si parteixes d'un salari de $1300$ € que creix un $2,5$ % anual (progressió geomètrica), deflacta aquest sou per analitzar si guanyes o perds poder adquisitiu real.

2. Simulació del préstec: Cerca les condicions d'un crèdit al consum al portal del client bancari del Banc d'Espanya (anota TIN i TAE). Dissenya la taula d'amortització a $3$ anys pel mètode francès amb quotes mensuals, distingint la part de capital i d'interessos de cada mensualitat.

3. Informe final: Redacta una proposta raonada (1 pàgina) valorant el cost financer total enfront de la inflació prevista, decidint si l'operació és viable.

Es valorarà:

• Obtenció rigorosa de dades de l'INE i càlcul correcte de taxes, índexs i salari real deflactat.

• Precisió matemàtica al full de càlcul en modelar la mensualitat, TAE i quadre d'amortització.

• Claredat i judici crític a l'informe final en justificar la viabilitat econòmica.