Exercicis: Taules de contingència

En un institut s'ha realitzat una enquesta als $100$ alumnes de 1r de Batxillerat sobre la seva activitat extraescolar preferida. Les dades s'han començat a organitzar en la taula de contingència següent, però falten alguns valors per completar.

	Esport	Música	Total
Noies	$35$		$55$
Nois		$20$
Total			$100$

Copia la taula al teu quadern i completa-la trobant les freqüències absolutes que falten.

Una botiga de videojocs ha registrat les vendes de l'últim matí segons el tipus de consola i el format del joc. Es van vendre $12$ jocs de Nintendo Switch en format físic i $8$ en digital. De la PlayStation 5, es van vendre $15$ en format físic i $10$ en digital.

Organitza aquesta informació en una taula de doble entrada (contingència) incloent-hi les freqüències marginals (els totals de cada fila i columna).

S'ha preguntat a un grup de $50$ persones si practiquen esport habitualment i si són fumadores. Els resultats es mostren en la taula següent:

	Esportista	No esport	Total
Fumador	$5$	$15$	$20$
No fumador	$25$	$5$	$30$
Total	$30$	$20$	$50$

Calcula la taula de freqüències relatives conjuntes. (Expressa cada valor com el resultat de dividir la freqüència absoluta entre el total de la mostra $N=50$).

A partir de la taula següent sobre esportistes i fumadors, respon a les qüestions següents:

	Fumadors	No fumadors
Esportistes	10	30
No esportistes	25	35

1. a) Quina és la freqüència marginal dels "Esportistes"? Quin percentatge representen sobre el total?
2. b) Quina és la freqüència marginal dels "No fumadors"? Quin percentatge representen sobre el total?

En una empresa de missatgeria s'analitza el mitjà de transport utilitzat pels seus treballadors segons el seu lloc de residència:

	Viu a la ciutat	Viu fora	Total
Transport públic	$40$	$10$	$50$
Vehicle propi	$20$	$30$	$50$
Total	$60$	$40$	$100$

Si triem a l'atzar un treballador que viu a la ciutat, quina és la freqüència relativa que utilitzi el transport públic? (Calcula la freqüència condicionada).

S'ha realitzat un estudi sobre l'ús d'ulleres en una classe de $30$ alumnes. Sabem que hi ha $16$ noies, de les quals $4$ porten ulleres. També sabem que en total hi ha $10$ alumnes (nois i noies) que porten ulleres.

Completa la taula de contingència i determina quants nois no porten ulleres.

Un cinema analitza la preferència de crispetes (salades o dolces) segons el tipus de pel·lícula (animació o terror).

	Animació	Terror	Total
Salades	$24$	$36$	$60$
Dolces	$56$	$16$	$72$
Total	$80$	$52$	$132$

Observa la taula i respon:

1. a) Quina és la preferència majoritària (moda) entre els espectadors de pel·lícules d'animació?
2. b) Quin percentatge dels espectadors que prefereixen crispetes dolces han anat a veure una pel·lícula de terror?

Donada la taula de freqüències relatives següent sobre l'hàbit de lectura i l'ús de biblioteques:

	Llegeix molt	Llegeix poc	Total
Usa Biblioteca	$0,25$	$0,05$	$0,30$
No usa Biblioteca	$0,15$	$0,55$	$0,70$
Total	$0,40$	$0,60$	$1,00$

Si la mostra total és de $200$ persones, calcula quantes persones pertanyen a la categoria dels que "Llegeixen molt" i "No usen la biblioteca". Escriu l'operació completa i el resultat numèric.

En un estudi sobre el consum de continguts digitals entre 200 adolescents, s'ha analitzat la plataforma preferida per veure sèries i pel·lícules segons el dispositiu principal d'accés. Les dades recollides són les següents: 65 usen principalment el mòbil (dels quals 40 prefereixen TikTok i la resta Netflix), 85 usen l'ordinador (50 prefereixen Netflix i la resta YouTube) i 50 usen la Smart TV (35 prefereixen Netflix i la resta YouTube).

a) Organitza la informació en una taula de contingència de freqüències absolutes que relacioni les variables "Dispositiu" (files: mòbil, ordinador, Smart TV) i "Plataforma" (columnes: TikTok, Netflix, YouTube).

b) Calcula les freqüències marginals de cada variable.

c) Quin percentatge del total d'adolescents prefereix Netflix?

S'ha realitzat una enquesta als estudiants d'un centre sobre la seva activitat extraescolar preferida (Esport o Música) diferenciant per nivell educatiu ($1^\circ$ o $2^\circ$ de Batxillerat). Els resultats es mostren en la taula incompleta següent:

Curs	Esport	Música	Total
$1^\circ$ Batx	$42$		$70$
$2^\circ$ Batx		$24$
Total	$78$		$130$

a) Completa els valors que falten a la taula de contingència.

b) Si triem un alumne a l'atzar de $2^\circ$ de Batxillerat, quina és la probabilitat que la seva activitat preferida sigui l'Esport?

c) Entre els alumnes que prefereixen la Música, quin percentatge pertany a $1^\circ$ de Batxillerat?

Per investigar la relació entre l'ús d'Intel·ligència Artificial (IA) per fer deures i el rendiment acadèmic, s'ha enquestat $150$ alumnes. Les dades mostren que $60$ alumnes usen la IA freqüentment, dels quals $15$ tenen notes excel·lents. D'altra banda, dels alumnes que no usen la IA, $45$ tenen notes excel·lents.

a) Construeix la taula de freqüències relatives respecte al total.

b) Calcula la distribució de la variable "Ús de IA" condicionada a tenir "Notes excel·lents".

c) Podem afirmar que les variables són independents? Justifica la teva resposta comparant una freqüència relativa conjunta amb el producte de les marginals corresponents.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una empresa de videojocs vol saber si el tipus de consola que tenen els usuaris està relacionat amb la seva subscripció a serveis premium. S'analitzen $300$ usuaris:

Subscripció	Consola A	Consola B	Consola C
Premium	$45$	$60$	$15$
Bàsica	$75$	$90$	$15$

a) Obtén la taula de freqüències relatives condicionades per columnes (tipus de consola).

b) A la vista dels resultats de l'apartat anterior, en quina consola és més freqüent trobar un usuari amb subscripció Premium?

c) Representa mitjançant un diagrama de barres apilades la distribució de la subscripció segons el tipus de consola.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un club esportiu, el $60\%$ dels socis són homes i el $40\%$ són dones. Es sap que el $30\%$ dels homes practica natació, mentre que el $55\%$ de les dones practica natació. La resta de socis practica tennis.

a) Si el club té un total de $500$ socis, construeix la taula de contingència de freqüències absolutes.

b) Calcula la freqüència relativa marginal dels socis que practiquen tennis.

c) Quin és el perfil majoritari al club (combinació de gènere i esport)?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'analitza l'hàbit de lectura d'un grup de persones segons el seu nivell d'estudis. Les dades es presenten en aquesta taula de freqüències relatives respecte al total de la mostra:

Estudis	Llegeix diàriament	Llegeix ocasionalment	No llegeix
Secundaris	$0,12$	$0,18$	$0,10$
Universitaris	$0,35$	$0,20$	$0,05$

a) Calcula les freqüències relatives marginals de la variable "Estudis".

b) Si sabem que una persona no llegeix mai, què és més probable: que tingui estudis secundaris o universitaris? Raona comparant les freqüències condicionades corresponents.

c) Si la mostra total fos de $400$ persones, quantes serien universitàries que llegeixen ocasionalment?

S'ha realitzat un estudi sobre la preferència de tipus d'alimentació (Omnívora o Vegetariana) en funció de la zona de residència (Urbana o Rural). S'han obtingut les dades següents:

Residència	Omnívora	Vegetariana	Total
Urbana	$120$	$80$	$200$
Rural	$90$	$10$	$100$
Total	$210$	$90$	$300$

a) Calcula la taula de freqüències relatives per files.

b) Existeix dependència entre la zona de residència i el tipus d'alimentació? Compara les distribucions condicionades d'alimentació per a residents urbans i rurals.

c) Quin valor hauria de tenir la freqüència de «Rural-Vegetariana» perquè les variables fossin independents, mantenint els totals marginals de residència?

Un institut vol analitzar si l'ús del transport públic per anar a classe depèn de la distància al centre. Es classifiquen $120$ alumnes en «A prop» ($< 2$ km) i «Lluny» ($\geq 2$ km).

a) Completa la taula sabent que el $25\%$ dels alumnes viu a prop, i que dels alumnes que viuen lluny, el $80\%$ utilitza el transport públic. A més, cap alumne que viu a prop utilitza el transport públic.

b) Obtén la taula de freqüències relatives respecte al total.

c) Calcula la freqüència relativa de «viure lluny» condicionada a «no utilitzar transport públic».

Un estudi sobre l'impacte de les xarxes socials en el benestar emocional dels adolescents d'1r de Batxillerat ha classificat una mostra de 200 alumnes segons el temps diari d'ús de pantalles i el seu nivell de satisfacció vital autoinformat. Les dades incompletes obtingudes són les següents:

• El 40 % de la mostra total declara una satisfacció vital "Baixa".

• Hi ha 50 alumnes que fan servir les xarxes "Menys d'1 hora", dels quals només el 10 % té una satisfacció "Baixa".

• El nombre d'alumnes amb satisfacció "Alta" que fan servir les xarxes "Entre 1 i 3 hores" és el doble que els de satisfacció "Alta" amb "Més de 3 hores".

• En total, 70 alumnes fan servir les xarxes "Entre 1 i 3 hores".

A partir d'aquesta informació:

1. a) Reconstrueix la taula de contingència completa amb les freqüències absolutes.
2. b) Calcula la distribució de la variable "Satisfacció Vital" condicionada a cadascun dels nivells d'"Ús de pantalles".
3. c) Podem afirmar que les variables són independents? Justifica la resposta comparant les freqüències relatives condicionades.

Una consultora tecnològica analitza la relació entre l'ús d'Intel·ligència Artificial (IA) en l'estudi i la qualificació mitjana en una mostra d'estudiants. Se sap que:

1. El $30\%$ dels estudiants no utilitza mai la IA.

2. El $25\%$ dels estudiants té una qualificació mitjana d'"Excel·lent".

3. El total de la mostra és de 400 alumnes.

4. S'ha observat que l'esdeveniment "Tenir qualificació Excel·lent" i "No fer servir mai la IA" són independents.

Calcula:

1. a) El nombre d'alumnes que no fan servir mai la IA i tenen una qualificació d'Excel·lent.
2. b) La probabilitat que un alumne faci servir la IA habitualment sabent que la seva qualificació no és d'Excel·lent.
3. c) Completa la taula de contingència dividint la mostra en dues categories d'ús (IA / No IA) i dues de qualificació (Excel·lent / Resta).

En un centre de salut s'investiga la relació entre la pràctica d'esport federat i el tipus de lesions sofertes en joves. Disposem de la taula següent de freqüències relatives condicionades per columnes (tipus d'esport):

Lesió / Esport	Basquetbol ($D_1$)	Futbol ($D_2$)	Atletisme ($D_3$)
Muscular ($L_1$)	$0,30$	$0,55$	$0,40$
Òssia ($L_2$)	$0,70$	$0,45$	$0,60$

Si sabem que el $40\%$ dels joves de la mostra juga a futbol, el $35\%$ a basquetbol i la resta practica atletisme:

1. a) Obtén la taula de freqüències relatives conjuntes.
2. b) Calcula la probabilitat que un jove triat a l'atzar practiqui basquetbol si sabem que ha sofert una lesió òssia.
3. c) En quin esport és més probable patir una lesió muscular? Canvia la resposta si analitzem les freqüències absolutes respecte al total de la població? Justifica la teva resposta.

L'ajuntament d'una ciutat vol fomentar l'ús del transport sostenible. Després d'enquestar 500 ciutadans sobre el seu mitjà de transport principal ($X$) i la seva franja d'edat ($Y$), s'han obtingut les dades següents de freqüències marginals:

• $n_{Bus} = 180$; $n_{Bici} = 120$; $n_{Cotxe} = 200$.

• $n_{Jove} = 150$; $n_{Adult} = 250$; $n_{Senior} = 100$.

A més, es coneixen les dades següents:

1. El $60\%$ dels que usen bici són joves.

2. Els seniors no usen la bicicleta en absolut.

3. El $50\%$ dels usuaris de cotxe són adults.

4. L'esdeveniment «Ser usuari de Bus» i «Ser Jove» presenta una freqüència absoluta conjunta de 50 persones.

1. a) Determina la taula de freqüències absolutes completa.
2. b) Estudia la dependència entre l'edat i l'ús del cotxe mitjançant la comparació de la distribució marginal i la condicionada.
3. c) Quin és el perfil de transport més freqüent per a un ciutadà Senior?

S'analitza el mercat laboral dels acabats de graduar en una regió. Les variables són "Tipus de Formació" ($X$: Universitària o FP) i "Situació Laboral" ($Y$: Empleat, Desocupat o Pràctiques). S'ha perdut una part dels registres d'una mostra de 1000 individus, però es conserven les distribucions condicionades per files (Tipus de Formació):

$X \setminus Y$	Empleat	Desocupat	Pràctiques
Universitària	$0,65$	$0,10$	$0,25$
FP	$0,75$	$0,15$	$0,10$

Sabent que la freqüència marginal d'"Empleat" és de 690 persones:

1. a) Calcula quants individus de la mostra tenen formació universitària i quants tenen FP.
2. b) Determina la distribució de la variable "Tipus de Formació" condicionada a estar "Desocupat".
3. c) Si una empresa cerca perfils per a un contracte de pràctiques, en quin grup de formació trobarà un nombre absolut més gran de candidats segons aquest estudi?

Un estudi sociològic sobre hàbits de lectura analitza la relació entre el format preferit (Paper, E-book, Àudio) i la quantitat de llibres llegits a l'any (Menys de 5, Entre 5 i 12, Més de 12).

Se sap que a la mostra:

1. El format "Paper" és el preferit pel $50\%$ dels lectors.

2. El format "Àudio" és el menys freqüent, amb només el $10\%$.

3. Entre els lectors d'"E-book", les tres categories de quantitat de llibres tenen la mateixa freqüència relativa ($1/3$ cadascuna).

4. L'esdeveniment "Llegir més de 12 llibres" és independent del format "Paper", i se sap que el $40\%$ dels lectors totals llegeix més de 12 llibres.

5. El $10\%$ del total de la mostra són lectors de "Paper" que llegeixen "Menys de 5" llibres.

6. Cap dels usuaris d'"Àudio" llegeix menys de 5 llibres a l'any.

Troba:

1. a) La taula de freqüències relatives conjuntes.
2. b) La distribució de la quantitat de llibres llegida condicionada als usuaris d'"Àudio", sabent que cap d'ells llegeix menys de 5 llibres a l'any.
3. c) Quin percentatge dels lectors que llegeixen "Entre 5 i 12" llibres prefereixen el format Paper?

En un estudi sobre el consum de música en streaming entre adolescents, es comparen dues plataformes ($A$ i $B$) i la modalitat de compte (Gratuït o Premium).

Les dades percentuals indiquen:

• El $60\%$ dels usuaris utilitza la plataforma $A$.

• El $70\%$ dels usuaris de la plataforma $B$ tenen compte Gratuït.

• En el total de la mostra, el percentatge de comptes Premium és del $40\%$.

1. a) Calcula el percentatge d'usuaris de la plataforma $A$ que tenen compte Premium.
2. b) Si triem un usuari amb compte Premium, quina és la probabilitat que pertanyi a la plataforma $B$?
3. c) Determina si existeix independència entre la plataforma triada i la modalitat de compte. Justifica-ho numèricament.

Una plataforma de comerç electrònic vol analitzar la lleialtat dels seus clients. Es registra si el client ha realitzat una compra en l'últim mes ($C$) i si està subscrit a la newsletter ($S$). Les dades d'una mostra de 1000 clients són:

• El $35\%$ dels clients han comprat en l'últim mes.

• Dels qui no han comprat, el $80\%$ no estan subscrits a la newsletter.

• La probabilitat d'haver comprat en l'últim mes havent rebut la newsletter és de $0,6$.

1. a) Elabora la taula de contingència de freqüències absolutes.
2. b) Si un client no està subscrit a la newsletter, quina és la probabilitat que hagi comprat en l'últim mes?
3. c) Un analista afirma: "La newsletter triplica la probabilitat de compra". Basant-te en les freqüències relatives condicionades, confirma o desmenteix aquesta afirmació amb càlculs precisos.