Exercicis: Sistemes d'equacions

Resol el sistema d'equacions lineals següent pel mètode que consideris més adequat (substitució, igualació o reducció) i indica si es tracta d'un sistema compatible determinat (SCD), compatible indeterminat (SCI) o incompatible (SI):

$\begin{cases} 3x - 2y = 1 \\ x + 4y = 11 \end{cases}$

Observa la representació gràfica de les dues rectes que formen el sistema d'equacions següent. Determina, sense fer càlculs algebraics, quina és la solució del sistema i comprova si el sistema és compatible determinat.

$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$

En els sistemes de tres equacions amb tres incògnites, a vegades l'estructura ja ens permet resoldre'l de manera immediata. Troba els valors de $x$, $y$ i $z$ en el sistema esglaonat següent utilitzant el mètode de substitució regressiva (començant per l'última incògnita):

$\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ 3y + 2z = 8 \\ 4z = 4 \end{cases}$

Aplica el primer pas del mètode de Gauss per eliminar la incògnita $x$ de la segona i tercera fila en el sistema següent. No cal que acabis de resoldre'l, només escriu el sistema resultant després de fer les operacions elementals pertinents:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ -x + 2y + z = 3 \end{cases}$

Un sistema no lineal és aquell en què almenys una de les equacions no és de primer grau. Troba els punts de tall entre la recta i la paràbola donades pel sistema següent:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases}$

Dos amics, Lucía i Marcos, han anat a una cafeteria. Lucía ha pagat $5,50$ € per 2 cafès i 1 suc de taronja. Marcos ha pagat $6,00$ € per 1 cafè i 2 sucs de taronja. Planteja un sistema d'equacions i calcula el preu d'un cafè i el d'un suc de taronja.

Classifica els sistemes d'equacions següents sense resoldre'ls, simplement comparant la proporcionalitat dels seus coeficients i termes independents:

1. a) $\begin{cases} 2x - 4y = 6 \\ -x + 2y = -3 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} 5x + y = 10 \\ 5x + y = 15 \end{cases}$

El perímetre d'un recinte rectangular destinat a esdeveniments és de $50$ metres. Se sap que la llargada del recinte mesura $5$ metres més que l'amplada. Calcula les dimensions del recinte plantejant un sistema de dues equacions amb dues incògnites ($x$ per a la llargada i $y$ per a l'amplada).

En un examen de Matemàtiques, la Claudia intenta classificar el sistema d'equacions lineals següent sense arribar a resoldre'l:

La Claudia escriu al seu full: «Com que $\dfrac{3}{-2} = -1,5$ i $\dfrac{-6}{4} = -1,5$, els coeficients de les incògnites mantenen la mateixa proporció. Això significa que les dues equacions representen la mateixa recta i, per tant, el sistema és compatible indeterminat (SCI), amb infinites solucions».

1. a) Localitza l'error en el raonament de la Claudia i explica quin element fonamental s'ha oblidat de comparar.
2. b) Classifica de manera rigorosa el sistema comparant les raons completes dels coeficients: $\dfrac{a}{a'}$, $\dfrac{b}{b'}$ i $\dfrac{c}{c'}$.
3. c) Explica quina és la posició geomètrica real d'ambdues rectes en el pla cartesià i quantes solucions té el sistema.

Considera els dos sistemes d'equacions lineals següents:

Sistema A:

Sistema B:

1. a) Per a cada sistema, analitza la disposició dels seus coeficients i incògnites i justifica quin mètode algebraic (substitució, igualació o reducció) permet arribar a la solució amb més rapidesa i menys risc d'operar amb fraccions complexes.
2. b) Resol el Sistema B aplicant exclusivament el mètode que has seleccionat com a òptim en l'apartat anterior i comprova que la solució trobada satisfà simultàniament ambdues equacions.

Resol el sistema d'equacions lineals següent amb coeficients fraccionaris simplificant prèviament les expressions:

Un equip de rescat de muntanya utilitza una antena per localitzar excursionistes. El senyal de ràdio de l'antena, situada a l'origen de coordenades, defineix una àrea circular d'abast donada per l'equació $x^2 + y^2 = 25$. Un helicòpter de rescat es desplaça seguint una trajectòria rectilínia descrita per l'equació $y - x = 1$. La figura mostra l'àrea d'abast i la trajectòria (cada quadrat de l'escala equival a 1 unitat en tots dos eixos). Calcula els punts de tall on l'helicòpter entra i surt del radi d'abast de l'antena resolent el sistema:

Resol el sistema de tres equacions amb tres incògnites següent utilitzant el mètode de Gauss:

Per a l'organització d'un viatge de fi de curs, els alumnes de 1r de Batxillerat venen dos tipus de samarretes: el model "Eco" a $12$ € i el model "Premium" a $18$ €. En acabar la setmana han venut un total de $150$ samarretes i han recaptat $2220$ €. Planteja un sistema d'equacions i calcula quantes samarretes de cada classe han venut.

Es vol tancar una parcel·la rectangular destinada a horts urbans escolars. Sabem que el perímetre total de la parcel·la és de $50$ metres i que la seva àrea és de $150$ $m^2$. Troba les dimensions de la parcel·la plantejant i resolent un sistema d'equacions no lineal.

Resol el sistema d'equacions no lineals següent pel mètode de substitució:

En una cafeteria del centre, tres amics demanen diferents combinacions de productes.

• El primer pren un cafè, un refresc i un tros de pastís per $7,50$ €.

• El segon pren dos cafès i un refresc per $6,00$ €.

• El tercer pren un cafè i dos trossos de pastís per $8,50$ €.

Calcula el preu de cada producte plantejant un sistema de tres equacions i resolent-lo mitjançant el mètode de Gauss.

Discuteix la compatibilitat del sistema d'equacions següent en funció del valor del paràmetre $k$. Per a quin valor de $k$ el sistema és compatible indeterminat (té infinites solucions)?

Una empresa de missatgeria ecològica a València reparteix paquets diaris utilitzant dos tipus de vehicles: furgonetes elèctriques i bicicletes de càrrega. En total, la flota activa avui és de $35$ vehicles. El cost diari de manteniment i recàrrega és de $120\text{ €}$ per cada furgoneta elèctrica i de $25\text{ €}$ per cada bicicleta de càrrega. La despesa total de manteniment de la jornada ha estat exactament de $1825\text{ €}$.

1. a) Estima abans de calcular: Si tots els vehicles fossin bicicletes de càrrega, quina seria la despesa total? I si tots fossin furgonetes elèctriques? A partir d'aquests dos extrems i del cost real ($1825\text{ €}$), argumenta si cal esperar que hi hagi més furgonetes o més bicicletes a la flota.
2. b) Planteja el sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites associat al problema i resol-lo pel mètode que consideris més oportú.
3. c) Comprova si el nombre exacte de vehicles obtingut confirma la teva predicció de l'apartat (a) i reflexiona sobre la utilitat d'acotar el resultat abans d'operar.

Dissenya un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites, $x$ i $y$, que compleixi simultàniament els tres requisits següents:

1. El sistema ha de ser incompatible (SI).

2. La primera equació s'ha de presentar simplificada a partir de l'expressió fraccionària $\dfrac{x-1}{2} + \dfrac{y+3}{4} = 1$.

3. La recta corresponent a la segona equació ha de passar pel punt $(-2, 5)$ i no contenir fraccions en els seus coeficients un cop simplificada.

Mostra pas a pas la deducció de la segona equació, analitza la relació que tenen els pendents d'ambdues rectes i justifica analíticament, mitjançant el quocient dels seus coeficients, per què el sistema construït no té cap solució.

Resol el sistema d'equacions no lineals següent. Tingues en compte que hauràs de simplificar les expressions algebraiques abans d'aplicar el mètode de substitució i comprovar la validesa de totes les solucions obtingudes (recorda que els denominadors no es poden anul·lar, és a dir, $x\neq y$ i $x\neq -y$):

$\begin{cases} \displaystyle \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{10}{3} \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}$

Discuteix i resol el sistema d'equacions lineals següent en funció del paràmetre real $k$ utilitzant el mètode de Gauss:

$\begin{cases} x + y + kz = 1 \\ x + ky + z = 1 \\ kx + y + z = 1 \end{cases}$

Determina per a quins valors de $k$ el sistema és Compatible Determinat, Compatible Indeterminat o Incompatible. Explica la interpretació geomètrica de cada cas (plans que es tallen en un punt, en una recta o que no tenen punts comuns).

Una gestora de fons d'inversió per a joves emprenedors reparteix un capital de $300.000$ € entre tres projectes tecnològics: IA aplicada, Energies Verdes i Ciberseguretat.

Se sap que:

1. El benefici anual total ha sigut de $23.500$ €.

2. La rendibilitat de cada projecte va ser del $5\%$ en IA, el $10\%$ en Energies Verdes i el $8\%$ en Ciberseguretat.

3. El capital invertit en Ciberseguretat és igual a la suma del capital invertit en IA i la meitat del que s'ha invertit en Energies Verdes.

Planteja un sistema de tres equacions amb tres incògnites i utilitza el mètode de Gauss per calcular quants diners es van destinar a cada projecte.

Troba els valors de $x$ i $y$ que satisfan el sistema d'equacions logarítmiques següent. Recorda aplicar les propietats dels logaritmes per transformar el sistema en un d'algebraic i comprova que les solucions no invalidin els arguments dels logaritmes originals:

$\begin{cases} \log(x) + \log(y) = 2 \\ \log(x^2) - \log(y) = 1 \end{cases}$

Un arquitecte dissenya una zona de jocs rectangular per a un centre escolar. El perímetre total del recinte és de $54$ metres. Per seguretat, s'hi ha d'instal·lar una tanca diagonal que divideixi el rectangle en dos triangles. Si la longitud d'aquesta diagonal és de $15$ metres més que la diferència entre la llargada i l'amplada del rectangle, calcula les dimensions de la zona de jocs plantejant un sistema d'equacions de segon grau.

Resol el sistema d'equacions exponencials següent mitjançant un canvi de variable adequat ($u = 3^x$, $v = 2^y$):

$\begin{cases} 3^{x+1} - 2^{y+2} = 1 \\ 2 \cdot 3^x + 2^{y-1} = 10 \end{cases}$

Expressa els valors finals de $x$ i $y$ utilitzant logaritmes si no resulten nombres enters.

Un laboratori de química orgànica vol preparar $10$ litres d'una solució especial amb una concentració d'alcohol del $35\%$. Per a fer-ho, disposa de tres mescles diferents:

• Mescla A: $20\%$ d'alcohol.

• Mescla B: $30\%$ d'alcohol.

• Mescla C: $50\%$ d'alcohol.

El director del laboratori imposa la condició que el volum utilitzat de la mescla C ha de ser el doble del volum utilitzat de la mescla A. Quants litres de cada mescla es necessiten per obtenir la combinació desitjada?

Donades les funcions d'oferta ($O$) i demanda ($D$) d'un producte financer al mercat:

$D(x) = \displaystyle \frac{40}{x}$

$O(x) = x - 3$

On $x$ és el preu de l'actiu i $y$ és la quantitat d'actius.

1. Planteja el sistema d'equacions per trobar el punt d'equilibri del mercat (on l'oferta iguala la demanda).

2. Resol el sistema analíticament.

3. Té sentit econòmic la solució amb valor negatiu? Justifica la teva resposta basant-te en la naturalesa de les variables.

Una cooperativa d'oli d'oliva a Úbeda (Jaén) ha envasat la seva producció mensual de $12.000\text{ L}$ en tres tipus de recipients: garrafes de $5\text{ L}$, ampolles de $2\text{ L}$ i ampolles de $0,5\text{ L}$. Es disposa de les dades següents sobre la producció:

• En total s'han utilitzat $6.750$ recipients.

• El nombre d'ampolles de $0,5\text{ L}$ utilitzades triplica el de garrafes de $5\text{ L}$.

1. a) Planteja un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites que reculli la informació, indicant amb claredat quina magnitud representa cada incògnita.
2. b) Resol el sistema mitjançant el mètode de reducció de Gauss i interpreta quants recipients de cada tipus s'han produït.
3. c) Durant una auditoria interna, es planteja una hipòtesi: si el cost d'envasament fos de $0,80\text{ €}$ per garrafa de $5\text{ L}$, $0,40\text{ €}$ per ampolla de $2\text{ L}$ i $0,20\text{ €}$ per ampolla de $0,5\text{ L}$, hauria estat possible assolir un cost total d'envasament de $2.800\text{ €}$ mantenint el nombre total de $6.750$ recipients i la condició que les ampolles de $0,5\text{ L}$ tripliquen les garrafes de $5\text{ L}$? Planteja aquest nou sistema $3 \times 3$, analitza la seva compatibilitat i interpreta el significat del resultat en el context del negoci.

En Mateo intenta resoldre un problema d'equilibri de mercat per a un taller de calçat artesanal a Elx (Alacant). La producció diària $x$ (en desenes de parells) i el preu de venda unitari $y$ (en desenes d'euros) satisfan el sistema no lineal següent:

Aquesta és la resolució que en Mateo presenta:

1. Aïlla $y$ de la primera equació: $y = 2x - 1$.

2. Substitueix en la segona: $x^2 - 2x(2x - 1) + 3(2x - 1)^2 = 19$.

3. Desenvolupa els productes: $x^2 - 4x^2 - 2x + 3(4x^2 + 1) = 19$.

4. Agrupa termes: $x^2 - 4x^2 - 2x + 12x^2 + 3 = 19 \implies 9x^2 - 2x - 16 = 0$.

5. Aplica la fórmula quadràtica, obté arrels amb radicals inexactes i conclou que no existeixen nivells de producció ni preus enters viables per al taller.

1. a) Assenyala i explica de manera precisa els dos errors algebraics comesos per en Mateo en el pas 3 en desenvolupar els parèntesis i les identitats notables.
2. b) Refés el desenvolupament algebraic a partir del pas 2 fins a obtenir l'equació de segon grau correcta en la incògnita $x$.
3. c) Resol el sistema aparellant de manera unívoca cada valor de $x$ amb el seu corresponent valor de $y$.
4. d) Interpreta les solucions obtingudes: argumenta si totes les solucions matemàtiques tenen sentit en el context econòmic real de l'empresa i determina la quantitat de parells i el preu unitari finals d'equilibri.