Exercicis: Equacions de primer i segon grau

Un creador de contingut en una coneguda xarxa social observa que el nombre de nous seguidors que aconsegueix cada dia segueix una tendència lineal. Si el nombre de seguidors $x$ satisfà la següent equació, quants seguidors ha guanyat avui?

$3(x - 15) + 2x = 2(x + 30)$

Per completar un nivell en un videojoc d'estratègia, necessites repartir els teus recursos d'or. La quantitat de monedes d'or $x$ que has d'assignar a cada mina ve donada per la resolució de la següent equació amb denominadors:

$\dfrac{x}{4} - \dfrac{x - 2}{3} = -1$

Resol la següent equació de segon grau incompleta. Recorda que, en aquest tipus d'equacions, extreure factor comú sol ser el mètode més ràpid per trobar les dues solucions:

$3x^2 - 15x = 0$

Un estudi de fotografia vol imprimir cartells quadrats per a una exposició. Si el doble de l'àrea d'un d'aquests cartells és igual a $50$ $dm^2$, calcula la mesura del costat $x$ del cartell resolent l'equació:

$2x^2 = 50$

Troba les solucions reals de la següent equació de segon grau completa utilitzant la fórmula general $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x^2 - x - 6 = 0$

Troba una equació de segon grau de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ les solucions de la qual siguin $x_1 = 3$ i $x_2 = -4$.

L'edat de Javier és el triple que la de la seva germana petita, Elena. Si sabem que la suma de les seves edats és de $20$ anys, planteja una equació de primer grau i resol-la per esbrinar l'edat de cadascú.

El perímetre d'una parcel·la rectangular d'un hort urbà fa $24$ metres. Si sabem que la base fa el doble que l'altura, calcula les dimensions de la parcel·la (base i altura) plantejant una equació de primer grau.

La Lucía està resolent l'equació de segon grau incompleta $3x^2 - 12x = 0$. Al seu quadern fa el desenvolupament següent: transposa termes per escriure $3x^2 = 12x$, divideix tots dos membres entre $x$ i obté $3x = 12$, i conclou que l'única solució és $x = 4$.

1. a) Explica raonadament quin és l'error algebraic que ha comès la Lucía en dividir entre la incògnita i quin valor de $x$ s'ha perdut en el procés.
2. b) Resol l'equació pel mètode adequat (extraient factor comú i igualant cada factor a zero) per obtenir el conjunt complet de solucions reals.

Un equip tècnic necessita calibrar un sensor de control tèrmic de manera que el sistema activi dues alertes automàtiques exactament quan la variable $x$ arribi als valors $x_1 = -\frac{2}{3}$ i $x_2 = 5$.

1. a) Utilitza les relacions de Cardano-Vieta ($x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ i $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$) per construir una equació de segon grau de la forma $ax^2 + bx + c = 0$, amb coeficients enters $a, b, c \in \mathbb{Z}$ tals que $a > 0$ i $\operatorname{mcd}(a, |b|, |c|) = 1$.
2. b) Justifica de manera raonada per què qualsevol altra equació obtinguda en multiplicar tots els coeficients per una constant $k \neq 0$ manté exactament les mateixes solucions.

Resol la següent equació de primer grau, parant especial atenció al càlcul del mínim comú múltiple i a l'efecte dels signes negatius davant de les fraccions:

Donada l'equació de segon grau $x^2 - 10x + k = 0$, determina raonadament el valor del paràmetre $k$ perquè l'equació tingui una única solució real (arrel doble). Una vegada trobat $k$, indica quina és aquesta solució.

En el disseny d'una zona verda, un paisatgista vol crear un parterre rectangular que tingui una base 4 metres més llarga que l'altura. Si l'àrea total del parterre ha de ser de $96 \text{ m}^2$, planteja una equació de segon grau i calcula les dimensions exactes de la base i l'altura.

Troba una equació de segon grau de la forma $ax^2 + bx + c = 0$ sabent que la suma de les seves arrels és $s = 7$ i el producte de les mateixes és $p = 10$. Comprova el teu resultat resolent l'equació obtinguda mitjançant la fórmula general.

Una empresa de missatgeria cobra una tarifa fixa de $5 \text{ €}$ per l'enviament d'un paquet, més un cost addicional per cada quilòmetre de distància. Si per un enviament a una ciutat situada a $120 \text{ km}$ han cobrat $23 \text{ €}$:

1. Determina l'equació de primer grau que relaciona el cost total ($C$) amb la distància ($d$).

2. Calcula quant costarà enviar un paquet a una distància de $350 \text{ km}$.

Resol les següents equacions incompletes de segon grau sense utilitzar la fórmula general, aplicant l'extracció de factor comú o aïllant directament:

1. $3x^2 - 27 = 0$

2. $5x^2 + 15x = 0$

Un centre esportiu ofereix un abonament mensual. Si s'hi inscriuen 20 persones més de les previstes, el cost per persona baixaria $4 \text{ €}$ per mantenir la mateixa recaptació total de $2400 \text{ €}$. Planteja l'equació corresponent per esbrinar quantes persones s'havien previst inicialment.

Determina els punts d'intersecció entre la recta $y = 2x + 1$ i la paràbola $y = x^2 - 2$. Per fer-ho, iguala totes dues expressions i resol l'equació de segon grau resultant. Després, representa esquemàticament la situació en uns eixos de coordenades i assenyala sobre el teu dibuix els punts de tall que has obtingut.

Per resoldre l'equació $(2x - 3)^2 - 49 = 0$, dos estudiants d'1r de Batxillerat proposen camins diferents:

• En Marcos proposa desenvolupar el binomi al quadrat, restar $49$, reduir termes semblants per obtenir la forma general $ax^2 + bx + c = 0$ i aplicar la fórmula quadràtica general.

• La Sara proposa interpretar l'expressió com una diferència de quadrats de la forma $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) = 0$, o bé aïllar directament $(2x - 3)^2 = 49$ i extreure l'arrel quadrada a tots dos membres amb doble signe $\pm$.

1. a) Resol l'equació seguint el mètode d'en Marcos i, a continuació, torna-la a resoldre seguint la proposta de la Sara.
2. b) Compara críticament tots dos procediments: avalua quin és més eficient pel que fa al nombre d'operacions i argumenta en quin hi ha més probabilitat de cometre errors de càlcul o de signe.

Una associació juvenil a València dissenya i ven samarretes per finançar un projecte solidari. Els costos fixos de serigrafia i pantalles ascendeixen a $200\text{ \euro}$ i el cost variable de fabricació és de $3\text{ \euro}$ per samarreta. Per incentivar la demanda, estableixen un preu unitari de venda que decreix amb el nombre d'unitats venudes $x$, segons la funció $p(x) = 8 - 0,02x$ (en euros per samarreta). El benefici és nul quan els ingressos totals $I(x) = x(8 - 0,02x)$ igualen els costos totals $C(x) = 200 + 3x$.

1. a) Abans d'operar formalment, fes una estimació raonada: si es produeixen únicament $20$ samarretes, calcula mentalment el cost total i compara'l amb l'ingrés màxim possible ($8\text{ \euro}$ per unitat). Hi haurà pèrdues o guanys? Estima en quin rang de samarretes produïdes començarà a ser rentable la iniciativa.
2. b) Planteja l'equació $I(x) = C(x)$, redueix-la a una equació de segon grau i resol-la per trobar amb exactitud els punts d'equilibri (benefici zero).
3. c) Comprova si les dues solucions matemàtiques obtingudes són coherents amb la teva estimació prèvia i explica per què, en aquest model econòmic, una producció superior a $200$ samarretes torna a generar pèrdues.

En una equació de segon grau de la forma $x^2 - (k+3)x + 3k = 0$, determina els valors que ha de prendre el paràmetre real $k$ perquè les dues arrels de l'equació siguin nombres enters consecutius. Un cop trobat $k$, indica quines serien aquestes solucions per a cada valor trobat.

Una empresa de màrqueting digital ha comprovat que l'èxit d'una campanya a les xarxes socials (mesurat en milers de "m'agrada") segueix un model racional depenent del temps $x$ (en setmanes) segons l'expressió següent:

Troba el valor de $x$ que satisfà aquesta equació. No oblidis comprovar si els valors obtinguts són vàlids dins del domini de les expressions racionals plantejades.

Es vol dissenyar un jardí urbà rectangular al centre de Madrid. L'espai central destinat a gespa té unes dimensions de $15$ metres de llarg per $10$ metres d'amplada. Al voltant d'aquest espai es vol construir un camí de grava d'amplada uniforme $x$. Calcula el valor d'aquesta amplada $x$ sabent que l'àrea total del camí de grava ha de ser exactament igual a les tres quartes parts de l'àrea destinada només a la gespa.

Resol la següent equació amb radicals dobles i assegura't de verificar la validesa de les solucions obtingudes en l'expressió original:

Un jove emprenedor fabrica fundes personalitzades per a mòbils utilitzant una impressora 3D. El cost total diari $C$ (en euros) ve donat per l'expressió $C = x^2 - 10x + 200$, on $x$ és el nombre de fundes produïdes. Si ven cada funda a un preu fix de $20$ euros, quantes fundes ha de produir i vendre al dia perquè el seu benefici net sigui de exactament $25$ euros?

(Recorda que el Benefici = Ingressos Totals - Costs Totals).

Donada l'equació de segon grau $x^2 - mx + 36 = 0$, on $m$ és un nombre real, determina el valor d'aquest coeficient $m$ sabent que la suma dels inversos de les seves arrels, $x_1$ i $x_2$, és igual a $\frac{5}{12}$.

(Pista: Utilitza les relacions de Cardano entre els coeficients i les arrels: $x_1 + x_2 = -b/a$ i $x_1 \cdot x_2 = c/a$).

Troba les solucions de la següent equació racional, parant especial atenció a la simplificació dels termes i a la possible aparició de solucions estranyes:

Un club d'aeromodelisme organitza una prova de vol: un dron ha de realitzar un trajecte d'anada i tornada entre dos punts de control situats a una distància de $12$ km. El dron vola a una velocitat constant respecte a l'aire. Durant el trajecte d'anada, el dron té vent a favor de $10$ km/h, però en el trajecte de tornada té aquest mateix vent en contra. Sabent que el dron ha trigat un total de $54$ minuts a completar el viatge d'anada i tornada, calcula la velocitat pròpia del dron (en km/h) quan no hi ha vent.

Segons els registres d'Adif, el trajecte d'alta velocitat entre Madrid i València té una longitud de $390\text{ km}$. En condicions normals de circulació, un tren AVE fa aquest recorregut a una velocitat mitjana constant $v$ (expressada en $\text{km/h}$).

A causa d'un avís per fortes ratxes de vent emès per l'AEMET, en una jornada concreta el tren ha de reduir preventivament la seva velocitat mitjana en $65\text{ km/h}$ durant tot el trajecte, la qual cosa ocasiona un retard en l'arribada a destinació d'exactament $30\text{ minuts}$ sobre l'horari oficial.

1. a) Expressa en hores el temps habitual de viatge $t_1$ i el temps amb velocitat reduïda $t_2$ en funció de la incògnita $v$.
2. b) Escriu l'equació que modelitza el retard ($t_2 - t_1 = 0,5\text{ h}$), elimina els denominadors i obtén l'equació de segon grau en la seva forma canònica $av^2 + bv + c = 0$.
3. c) Resol l'equació, calcula la velocitat mitjana habitual del comboi juntament amb el temps programat de viatge, i justifica per què s'ha de descartar una de les solucions matemàtiques obtingudes.

En el departament de riscos d'una entitat financera s'analitza l'estabilitat de dues carteres d'inversió les taxes crítiques de rendiment $x$ de les quals satisfan una equació dependent d'un paràmetre real $k$.

Un analista júnior afirma al seu informe: «En l'equació $x^2 - 2kx + (k^2 + 9) = 0$, n'hi ha prou amb triar un valor de $k$ positiu prou gran per garantir que existeixin dos rendiments reals i diferents, ja que en augmentar $k$ el terme lineal supera les constants».

1. a) Analitza críticament l'afirmació de l'analista: calcula el discriminant $\Delta$ en funció de $k$ i demostra raonadament per què la seva conclusió és falsa per a qualsevol valor de $k \in \mathbb{R}$.
2. b) L'equip corregeix el model i planteja l'equació $x^2 - 2kx + (k^2 - 9) = 0$. Demostra mitjançant el discriminant que aquesta nova equació sí que té dues solucions reals diferents per a qualsevol $k \in \mathbb{R}$.
3. c) Sense calcular explícitament les solucions $x_1$ i $x_2$ mitjançant la fórmula quadràtica, aplica les relacions de Cardano-Vieta relatives a la suma ($x_1 + x_2$) i al producte ($x_1 \cdot x_2$) per determinar de manera justificada l'interval de valors del paràmetre $k$ que assegura que totes dues taxes de rendiment siguin estrictament positives ($x_1 > 0$ i $x_2 > 0$).