Perímetros y áreas de polígonos
Para saber cuánta malla necesitas para cercar la cancha de tu colegio en El Alto, mides el perímetro. Para saber cuánto pasto sintético o cuánta pintura hace falta, mides el área. Son dos preguntas distintas y cada una tiene su fórmula. Al final podrás responder: ¿dos figuras con el mismo perímetro tienen siempre la misma área?
Perímetro
En un cuadrado o en un rombo los cuatro lados son iguales, así que alcanza con multiplicar: $P = 4 \cdot l$. Un rombo de lado $6{,}5$ m tiene $P = 4 \cdot 6{,}5 = 26$ m.
En un rectángulo o un romboide los lados opuestos son iguales: $P = 2 \cdot (b + l)$, con $b$ la base y $l$ el lado inclinado. Si una parte del contorno no lleva valla (por ejemplo, una entrada de $3$ m), se resta esa longitud al perímetro.
Calcula el perímetro y el área del rectángulo de la figura, de $12$ cm de base y $7$ cm de altura.
Calcula el perímetro y el área del rectángulo de la figura, de $12$ cm de base y $7$ cm de altura.
Calcula mentalmente: a) El perímetro y el área de un cuadrado de $9$ cm de lado. b) El perímetro de un rombo cuyo lado mide $6,5$ m. c) El área de un rectángulo de $8$ m…
Calcula mentalmente:
- a) El perímetro y el área de un cuadrado de $9$ cm de lado.
- b) El perímetro de un rombo cuyo lado mide $6,5$ m.
- c) El área de un rectángulo de $8$ m de base y $6$ m de altura.
Área del rectángulo y el cuadrado
El área cuenta cuántos cuadraditos de $1$ unidad de lado caben dentro de la figura. En el rectángulo de la figura hay $4$ columnas y $4$ filas de cuadraditos: la cuenta es una multiplicación.
Para medir superficies grandes se usan otras unidades. Un campo de papa se mide en hectáreas: $1\ \text{ha} = 10.000\ \text{m}^2$, que es más o menos un cuadrado de $100$ m por $100$ m. Y $1\ \text{km}^2 = 100\ \text{ha} = 1.000.000\ \text{m}^2$.
Una cartelera rectangular tiene un área de $48\ \text{m}^2$ y su base mide $8$ m. a) ¿Cuánto mide su altura? b) ¿Cuál es su perímetro? c) Si la cartelera tuviera el…
Una cartelera rectangular tiene un área de $48\ \text{m}^2$ y su base mide $8$ m.
- a) ¿Cuánto mide su altura?
- b) ¿Cuál es su perímetro?
- c) Si la cartelera tuviera el mismo área pero forma cuadrada, ¿sería posible? Razona tu respuesta.
Un campo de fútbol mide $105$ m de largo y $68$ m de ancho. a) Calcula su área en $\text{m}^2$. b) Expresa el área en hectáreas. Recuerda que…
Un campo de fútbol mide $105$ m de largo y $68$ m de ancho.
- a) Calcula su área en $\text{m}^2$.
- b) Expresa el área en hectáreas. Recuerda que $1\ \text{ha} = 10.000\ \text{m}^2$.
- c) ¿Cuántos campos de fútbol como este cabrían, aproximadamente, en un parque natural de $1\ \text{km}^2$?
Se quiere poner suelo nuevo en una terraza rectangular de $6$ m de largo y $4$ m de ancho usando losetas cuadradas de $40$ cm de lado, sin cortar ninguna. a) ¿Cuántas…
Se quiere poner suelo nuevo en una terraza rectangular de $6$ m de largo y $4$ m de ancho usando losetas cuadradas de $40$ cm de lado, sin cortar ninguna.
- a) ¿Cuántas losetas caben a lo largo y a lo ancho? ¿Cuántas losetas hacen falta en total?
- b) Las losetas se venden en cajas de $12$ unidades a $\text{Bs}\ 132,65$ la caja. ¿Cuántas cajas hay que comprar? ¿Cuánto costará el suelo?
- c) ¿Cuál es el área de una loseta, en $\text{cm}^2$? Comprueba que el área total de las losetas usadas coincide con el área de la terraza (expresa ambas en $\text{m}^2$).
Área del triángulo
Eso se ve claro en un triángulo rectángulo, pero vale para cualquiera. ¿Por qué? Toma un triángulo cualquiera y haz una copia. Gira la copia media vuelta ($180°$) y pégala al original por un lado: las dos piezas forman un paralelogramo (romboide) de la misma base $b$ y la misma altura $h$. Ese paralelogramo tiene área $b \cdot h$, y el triángulo es la mitad.
Calcula el área del triángulo de la figura, de base $10$ m y altura $6$ m.
Calcula el área del triángulo de la figura, de base $10$ m y altura $6$ m.
Una valla publicitaria con forma triangular tiene una base de $4$ m y una altura de $3$ m. a) ¿Cuál es su área? b) Si el cartel se imprime por las dos caras, ¿qué…
Una valla publicitaria con forma triangular tiene una base de $4$ m y una altura de $3$ m.
- a) ¿Cuál es su área?
- b) Si el cartel se imprime por las dos caras, ¿qué superficie total hay que imprimir?
Para calcular el área de un triángulo de base $12$ cm y altura $7$ cm, un alumno ha hecho $12 \cdot 7 = 84$ y ha respondido: «el área es $84\ \text{cm}^2$». a) Explica…
Para calcular el área de un triángulo de base $12$ cm y altura $7$ cm, un alumno ha hecho $12 \cdot 7 = 84$ y ha respondido: «el área es $84\ \text{cm}^2$».
- a) Explica qué error ha cometido.
- b) Calcula el área correcta.
- c) El mismo alumno calcula el área de un rombo de diagonales $10$ cm y $6$ cm y obtiene $60\ \text{cm}^2$. ¿Vuelve a cometer el mismo error? Corrígelo.
Área del romboide y el trapecio
El romboide de la figura tiene una base de $9$ cm y una altura de $5$ cm. a) Calcula su área. b) Si el lado inclinado del romboide mide $6$ cm, calcula también su…
El romboide de la figura tiene una base de $9$ cm y una altura de $5$ cm.
- a) Calcula su área.
- b) Si el lado inclinado del romboide mide $6$ cm, calcula también su perímetro.
Calcula el área del trapecio de la figura, cuyas bases miden $14$ m y $8$ m y su altura $6$ m.
Calcula el área del trapecio de la figura, cuyas bases miden $14$ m y $8$ m y su altura $6$ m.
El área de un trapecio es $84\ \text{m}^2$, su altura mide $7$ m y la base mayor $16$ m. a) Sustituye los datos en la fórmula del área del trapecio,…
El área de un trapecio es $84\ \text{m}^2$, su altura mide $7$ m y la base mayor $16$ m.
- a) Sustituye los datos en la fórmula del área del trapecio, $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$, y plantea la ecuación correspondiente.
- b) Resuelve la ecuación y calcula cuánto mide la base menor.
- c) Comprueba tu resultado verificando que el área sale $84\ \text{m}^2$.
Área del rombo
Calcula el área del rombo de la figura, cuyas diagonales miden $16$ cm y $10$ cm.
Calcula el área del rombo de la figura, cuyas diagonales miden $16$ cm y $10$ cm.
Las diagonales de un rombo miden $20$ cm y $14$ cm. a) Calcula su área. b) Si cortamos el rombo por sus dos diagonales, queda dividido en $4$ triángulos rectángulos…
Las diagonales de un rombo miden $20$ cm y $14$ cm.
- a) Calcula su área.
- b) Si cortamos el rombo por sus dos diagonales, queda dividido en $4$ triángulos rectángulos iguales. ¿Cuánto miden la base y la altura de cada uno de esos triángulos?
- c) Calcula el área de uno de esos triángulos y comprueba que las cuatro áreas suman el área del rombo.
Área del polígono regular
Polígonos irregulares
Para un polígono irregular no hay una fórmula única. El perímetro es la suma de todos sus lados. El área se halla descomponiendo la figura en triángulos y rectángulos, calculando cada área y sumando.
El hexágono regular de la figura tiene $6$ cm de lado y su apotema mide $5,2$ cm. a) Calcula su perímetro. b) Calcula su área usando la fórmula…
El hexágono regular de la figura tiene $6$ cm de lado y su apotema mide $5,2$ cm.
- a) Calcula su perímetro.
- b) Calcula su área usando la fórmula $A = \frac{P \cdot a}{2}$, donde $P$ es el perímetro y $a$ la apotema.
Área y perímetro: dos medidas independientes
Volvamos a la pregunta del principio. Tenemos $24$ m de malla para cercar un corral de llamas rectangular. ¿Todos los corrales posibles tienen la misma superficie?
| Base | Altura | Perímetro | Área |
|---|---|---|---|
| 11 m | 1 m | 24 m | 11 m² |
| 10 m | 2 m | 24 m | 20 m² |
| 8 m | 4 m | 24 m | 32 m² |
| 6 m | 6 m | 24 m | 36 m² |
Todos los rectángulos tienen el mismo perímetro, pero el área cambia. Entre los rectángulos de igual perímetro, el de mayor área es el cuadrado. Y al revés: un rectángulo de $4$ m por $3$ m y otro de $6$ m por $2$ m tienen la misma área, $12\ \text{m}^2$, pero perímetros distintos ($14$ m y $16$ m).
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando tu respuesta o poniendo un contraejemplo: a) Si duplicamos los lados de un rectángulo, su área…
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando tu respuesta o poniendo un contraejemplo:
- a) Si duplicamos los lados de un rectángulo, su área también se duplica.
- b) Un romboide y un rectángulo con la misma base y la misma altura tienen el mismo área.
- c) Un triángulo tiene la mitad de área que un rectángulo con su misma base y altura.
- d) Dos figuras con el mismo perímetro tienen siempre la misma área.
Una urbanización quiere vallar y sembrar de césped una parcela rectangular de $45$ m de largo y $28$ m de ancho. a) ¿Cuántos metros de valla hacen falta si se deja una…
Una urbanización quiere vallar y sembrar de césped una parcela rectangular de $45$ m de largo y $28$ m de ancho.
- a) ¿Cuántos metros de valla hacen falta si se deja una entrada de $3$ m sin vallar?
- b) Si la valla cuesta $\text{Bs}\ 87,50$ el metro instalada, ¿cuál es el presupuesto para cerrar la parcela?
- c) El césped se vende en rollos de $5\ \text{m}^2$ a $\text{Bs}\ 132,65$ el rollo. ¿Cuántos rollos hay que comprar y cuánto costarán?