Ejercicios: Núcleos atómicos y estabilidad de isótopos

El potasio de las cambures contiene una pequeña fracción del isótopo potasio-40, cuyo núcleo tiene número atómico $Z = 19$ y número másico $A = 40$.

1. a) Indica cuántos protones y cuántos neutrones tiene ese núcleo.
2. b) Escribe su símbolo con la notación ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
3. c) ¿Cuántos electrones tiene el átomo neutro de potasio-40? Justifica la respuesta.

En un núcleo de helio hay dos protones confinados en una región de unos $10^{-15}\ \text{m}$ de diámetro. Como ambos tienen carga positiva, se repelen eléctricamente con fuerza considerable; sin embargo, el núcleo no se deshace.

1. a) Explica qué es la fuerza nuclear fuerte y por qué consigue mantener unido el núcleo.
2. b) Razona por qué, aun existiendo esa fuerza, los núcleos con demasiados protones acaban siendo inestables.

El carbono tiene tres isótopos naturales: carbono-12, carbono-13 y carbono-14, todos con $Z = 6$.

1. a) Explica qué significa que dos núcleos sean isótopos.
2. b) Calcula el número de neutrones del núcleo de cada uno de los tres isótopos.
3. c) ¿Tienen los tres isótopos las mismas propiedades químicas? Razona la respuesta pensando en sus electrones.

La unidad de masa atómica (u) se define como la doceava parte de la masa de un átomo de carbono-12, y equivale a $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) La masa del núcleo de oxígeno-16 es de unas $16\ \text{u}$: exprésala en kilogramos, en notación científica.
2. b) Razona por qué en física nuclear resulta más cómodo trabajar en unidades u que en kilogramos.

De los cerca de $3000$ núclidos conocidos, apenas unos $250$ son estables; el resto acaba desintegrándose tarde o temprano.

1. a) Explica qué significa que un núcleo sea estable y qué le ocurre a un núcleo inestable.
2. b) En los núcleos ligeros estables, el número de neutrones $N$ y el de protones $Z$ son casi iguales: indica cuánto vale, aproximadamente, la razón $\frac{N}{Z}$ en esos núcleos.

El radio de un átomo es del orden de $10^{-10}\ \text{m}$, mientras que el de su núcleo es del orden de $10^{-15}\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula cuántas veces es mayor el radio del átomo que el del núcleo.
2. b) El volumen de una esfera es proporcional al cubo del radio: estima cuántas veces es mayor el volumen del átomo que el del núcleo.
3. c) Explica, a la vista del resultado, por qué se dice que el átomo está casi vacío.

Considera estos cinco núclidos: ${}^{14}_{6}\text{C}$, ${}^{14}_{7}\text{N}$, ${}^{12}_{6}\text{C}$, ${}^{16}_{8}\text{O}$ y ${}^{15}_{7}\text{N}$.

1. a) Calcula el número de protones y de neutrones de cada uno.
2. b) Indica qué parejas son isótopos (igual $Z$) y qué pareja es isóbara (igual $A$).
3. c) Señala dos núclidos que tengan el mismo número de neutrones (isótonos).

Dos protones dentro de un núcleo están separados por una distancia de $10^{-15}\ \text{m}$, como se muestra en la figura. Datos: constante de Coulomb $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ y carga del protón $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calcula la fuerza eléctrica de repulsión entre ellos aplicando la ley de Coulomb, $F = K \cdot \frac{e^2}{r^2}$.
2. b) El valor obtenido es enorme para ser una fuerza entre partículas: explica qué conclusión se deduce sobre la intensidad de la fuerza nuclear fuerte que los mantiene unidos.

La razón $\frac{N}{Z}$ de los núcleos estables vale aproximadamente $1$ en los ligeros y crece hasta unos $1,5$ en los más pesados, como muestra la figura.

Calcula la razón $\frac{N}{Z}$ de cada uno de estos núclidos y predice, comparando con esa tendencia, si cabe esperar que sean estables o inestables:

1. a) ${}^{12}_{6}\text{C}$
2. b) ${}^{14}_{6}\text{C}$
3. c) ${}^{206}_{82}\text{Pb}$
4. d) ${}^{238}_{92}\text{U}$

El radio de un núcleo se puede estimar con la expresión $R = R_0 \cdot A^{1/3}$, donde $R_0 = 1,2 \cdot 10^{-15}\ \text{m}$ y $A$ es el número másico. Para el hierro-56 toma $A^{1/3} \approx 3,8$ y una masa nuclear de $9,3 \cdot 10^{-26}\ \text{kg}$. El volumen de una esfera es $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3$, con $\pi \approx 3,14$.

1. a) Calcula el radio del núcleo de hierro-56.
2. b) Calcula su volumen y su densidad, en $\text{kg/m}^3$.
3. c) La materia de una estrella de neutrones tiene una densidad parecida a la nuclear: calcula la masa que tendría una cucharadita de $5\ \text{cm}^3$ de esa materia y comenta el resultado.