Ejercicios: Sucesos

Un estudiante de 12.º grado está organizando sus carpetas digitales de apuntes. En su carpeta de "Economía" tiene 12 archivos PDF, 8 documentos de texto y 5 esquemas en formato de imagen. Si elige un archivo al azar para repasarlo antes de un examen, determine:

1. a) El espacio muestral del experimento.
2. b) La probabilidad de que el archivo elegido sea un esquema en formato de imagen.
3. c) La probabilidad de que el archivo elegido no sea un documento de texto.

En una clase de 12.º grado, se ha realizado una encuesta sobre el uso de redes sociales. Se sabe que el suceso $A$ es "utilizar Instagram" y el suceso $B$ es "utilizar TikTok". Defina mediante operaciones de sucesos (unión, intersección o complementario) las siguientes situaciones:

1. a) El alumno utiliza ambas redes sociales.
2. b) El alumno utiliza al menos una de las dos redes.
3. c) El alumno no utiliza Instagram.
4. d) El alumno utiliza Instagram pero no TikTok.

Considere dos sucesos $A$ y $B$ asociados a un experimento aleatorio. Si conocemos que $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cap B) = 0,2$, calcule las siguientes probabilidades:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(\bar{A})$ (probabilidad del suceso contrario de $A$).
3. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ utilizando las Leyes de Morgan.

Un equipo de esports tiene en su plantilla jugadores de tres nacionalidades: 5 españoles, 3 franceses y 2 italianos. Si se selecciona al azar un capitán para el próximo torneo, calcule:

1. a) La probabilidad de que sea francés.
2. b) La probabilidad de que no sea español.
3. c) ¿Son los sucesos "ser español" y "ser italiano" compatibles o incompatibles? Justifique su respuesta.

Dados dos sucesos $M$ y $N$ tales que son incompatibles entre sí, con $P(M) = 0,35$ y $P(N) = 0,45$, halle la probabilidad de que:

1. a) Ocurra el suceso $M$ o el suceso $N$.
2. b) No ocurra ninguno de los dos sucesos.
3. c) Ocurran $M$ y $N$ simultáneamente.

En una plataforma de streaming, el $70\%$ de los usuarios ve series de acción ($S$), el $40\%$ ve documentales ($D$) y el $25\%$ ve ambos tipos de contenido. Calcule la probabilidad de que un usuario elegido al azar:

1. a) Vea series de acción o documentales.
2. b) No vea ninguno de estos dos contenidos.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que $P(A) = 0,5$, $P(\bar{B}) = 0,7$ y $P(A \cup B) = 0,65$. Calcule la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$ y determine si los sucesos son compatibles.

Extraemos una bola de una urna que contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. Consideramos los sucesos:

$A = \{ \text{sacar un número par} \}$

$B = \{ \text{sacar un número múltiplo de 3} \}$

1. a) Escriba los elementos que forman los sucesos $A \cup B$ y $A \cap B$.
2. b) Calcule $P(A \cup B)$ utilizando la Regla de Laplace sobre el recuento de sus elementos.
3. c) Compruebe el resultado anterior aplicando la fórmula $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un mismo experimento aleatorio de los que se conocen las siguientes probabilidades: $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,5$ y $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$.

Basándose en las propiedades de la probabilidad y las leyes de De Morgan, calcule:

1. a) La probabilidad de la unión de los sucesos, $P(A \cup B)$.
2. b) La probabilidad de la intersección, $P(A \cap B)$.
3. c) Indique razonadamente si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles.

En un estudio sobre el consumo de contenidos digitales entre jóvenes de 16 años, se ha detectado que el $70 \%$ utiliza la plataforma StreamVibe y el $45 \%$ utiliza CloudMusic. Además, se sabe que un $25 \%$ de los jóvenes no utiliza ninguna de las dos plataformas. Si elegimos un joven al azar, calcule:

1. a) La probabilidad de que utilice ambas plataformas.
2. b) La probabilidad de que utilice solo StreamVibe.
3. c) La probabilidad de que utilice CloudMusic pero no StreamVibe.

Disponemos de la siguiente tabla de contingencia parcial que muestra la distribución de un grupo de 120 alumnos de escuela secundaria según su participación en actividades extracurriculares (Deporte o Música):

1. a) Complete la tabla de contingencia en su cuaderno.
2. b) Calcule la probabilidad de que un alumno elegido al azar no realice ninguna de las dos actividades.
3. c) ¿Son los sucesos "Participar en Música" y "Participar en Deporte" independientes? Justifique su respuesta matemáticamente.

Un estudiante de 12.º grado ha preparado 18 de los 25 temas de los que consta el programa de Geografía. En el examen final, el profesor elige dos temas al azar (sin reemplazo). Calcule:

1. a) La probabilidad de que el alumno se sepa los dos temas.
2. b) La probabilidad de que no se sepa ninguno.
3. c) La probabilidad de que se sepa al menos uno de los dos temas seleccionados.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que $P(A) = 0,4$ y $P(B) = 0,3$. Calcule la probabilidad de la unión $P(A \cup B)$ en cada uno de los siguientes supuestos:

1. a) $A$ y $B$ son sucesos incompatibles.
2. b) $A$ y $B$ son sucesos independientes.
3. c) El suceso $B$ está contenido en el suceso $A$ ($B \subset A$).

En un juego de rol, un jugador debe superar dos pruebas consecutivas. La probabilidad de superar la primera prueba es de $0,7$. Si supera la primera, la probabilidad de superar la segunda es de $0,8$, pero si falla la primera, la probabilidad de superar la segunda cae a $0,4$.

1. a) Dibuje el diagrama de árbol que represente esta situación.
2. b) Calcule la probabilidad de que el jugador supere las dos pruebas.
3. c) Calcule la probabilidad de que el jugador supere solo una de las dos pruebas.

De una baraja española de 40 cartas se extraen dos cartas sucesivamente y sin devolver la primera a la baraja. Determine las siguientes probabilidades:

1. a) Que las dos cartas sean figuras (Sota, Caballo o Rey).
2. b) Que la primera carta sea un As y la segunda sea un Rey.
3. c) Que al menos una de las dos cartas sea de Oros.

Considere los sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A) = 0,5$, $P(B|A) = 0,4$ y $P(A \cup B) = 0,65$. A partir de estos datos:

1. a) Halle el valor de la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$.
2. b) Calcule el valor de $P(B)$.
3. c) Determine razonadamente si los sucesos $A$ y $B$ son independientes.

En una plataforma de streaming, se ha observado que el $65\%$ de los usuarios menores de 20 años ve series de animación (suceso $A$) y el $40\%$ ve documentales de naturaleza (suceso $D$). Además, se sabe que la probabilidad de que un usuario no vea series de animación sabiendo que no ve documentales de naturaleza es de $0,5$.

Calcule razonadamente:

1. a) La probabilidad de que un usuario vea ambos tipos de contenido.
2. b) La probabilidad de que un usuario vea series de animación pero no documentales de naturaleza.
3. c) ¿Son los sucesos $A$ y $D$ independientes? Justifique su respuesta utilizando los resultados anteriores.

Un equipo de desarrolladores de videojuegos está analizando los errores (bugs) de su última versión. Han clasificado los errores en tres categorías: Críticos ($C$), Gráficos ($G$) y de Sonido ($S$). Tras una prueba masiva, se han obtenido los siguientes datos:

• El $10\%$ de los errores son de los tres tipos a la vez.

• La probabilidad de que un error sea Crítico es $P(C) = 0,4$.

• La probabilidad de que sea Gráfico es $P(G) = 0,5$.

• La probabilidad de que sea de Sonido es $P(S) = 0,35$.

• La probabilidad de que un error sea Crítico y Gráfico es $0,2$.

• La probabilidad de que sea Gráfico y de Sonido es $0,15$.

• La probabilidad de que un error no pertenezca a ninguna de estas tres categorías es $0,2$.

Calcule la probabilidad de que un error seleccionado al azar sea:

1. a) Crítico y de Sonido.
2. b) Exclusivamente un error Gráfico.
3. c) De sonido, sabiendo que no es Crítico ni Gráfico.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que sus probabilidades son $P(A) = x$ y $P(B) = y$. Se sabe que el suceso unión tiene una probabilidad $P(A \cup B) = 0,75$ y que el suceso intersección cumple $P(A \cap B) = 0,15$.

Si además se conoce que la probabilidad de que ocurra $A$ condicionada a que no ocurra $B$ es $P(A | \bar{B}) = 0,5$, determine los valores de $x$ e $y$. ¿Son $A$ y $B$ sucesos compatibles? ¿Son independientes?

En un campeonato de esports, se analizan las jugadas de un jugador profesional. Se definen los sucesos $K$ (conseguir una baja) y $W$ (ganar la ronda). El analista determina que:

• La probabilidad de ganar la ronda habiendo conseguido una baja es $P(W|K) = 0,8$.

• La probabilidad de ganar la ronda sin haber conseguido bajas es $P(W|\bar{K}) = 0,3$.

• La probabilidad de que en una ronda ocurra que el jugador gane o consiga una baja es $0,85$.

Utilizando el álgebra de sucesos, calcule:

1. a) La probabilidad de que el jugador consiga una baja en una ronda, $P(K)$.
2. b) La probabilidad de que el jugador gane la ronda y no consiga ninguna baja.
3. c) Demuestre si los sucesos "ganar la ronda" y "conseguir una baja" son dependientes o independientes.

Demuestre, utilizando las propiedades de la probabilidad y las leyes de De Morgan, la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación:

"Si $A$ y $B$ son dos sucesos incompatibles con probabilidades no nulas, entonces siempre se cumple que $P(\bar{A} | B) = 1$".

Acompañe su razonamiento con un ejemplo numérico original donde $P(A) = 0,3$ y $P(B) = 0,4$.

Un sistema de ciberseguridad tiene dos barreras de protección independientes, $B_1$ y $B_2$. La probabilidad de que un ataque externo supere la primera barrera es $P(B_1) = 0,15$ y la probabilidad de que supere la segunda es $P(B_2) = 0,10$.

Calcule la probabilidad de que un ataque:

1. a) Supere al menos una de las dos barreras.
2. b) Supere exactamente una de las barreras.
3. c) No sea detectado por ninguna barrera, sabiendo que el ataque ha conseguido superar la primera protección.

En un estudio sobre el uso de redes sociales, se seleccionan dos estudiantes de 12.º grado de forma consecutiva y sin reemplazo. Se sabe que el $60\%$ de los alumnos de la escuela utiliza la red social X.

Si la probabilidad de que el segundo alumno seleccionado utilice la red social X es de $35/59$, determine el número total de alumnos de 12.º grado que hay en dicha escuela.

Considere tres sucesos $A$, $B$ y $C$ tales que $A$ y $B$ son independientes, y $A$ y $C$ son incompatibles. Se conocen las siguientes probabilidades:

$P(A) = 0,4$; $P(B) = 0,5$; $P(C) = 0,2$ y $P(B \cap C) = 0,1$.

Halle la probabilidad de los siguientes sucesos compuestos:

1. a) $P(A \cup B \cup C)$
2. b) $P((A \cap B) \cup C)$
3. c) $P(A | \bar{C})$