Ejercicios: Sucesos dependientes e independientes

En un experimento aleatorio se lanza una moneda equilibrada (con las caras $C$ y $X$) y un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. Se consideran los siguientes sucesos:

• $A$: "Obtener cara en la moneda".

• $B$: "Obtener un número par en el dado".

Razone si los sucesos $A$ y $B$ son dependientes o independientes y calcule la probabilidad de que ocurran ambos a la vez, es decir, $P(A \cap B)$.

Una urna contiene 5 bolas de color naranja y 3 bolas de color violeta. Se extraen dos bolas de forma consecutiva con reemplazo (se devuelve la primera bola a la urna antes de extraer la segunda).

Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de color naranja. ¿Influye el resultado de la primera extracción en la probabilidad de la segunda?

Utilizando la misma urna del ejercicio anterior (5 bolas naranjas y 3 violetas), se extraen ahora dos bolas sin reemplazo.

1. a) Calcule la probabilidad de que la segunda bola sea naranja sabiendo que la primera fue violeta.
2. b) ¿Son estos sucesos independientes? Justifique su respuesta comparando este resultado con la probabilidad de extraer una bola naranja en la primera posición.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que conocemos sus probabilidades: $P(A) = 0,6$ y $P(B) = 0,4$. Si sabemos que los sucesos son independientes, calcule:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$

En una clase de 12.º grado, el $40\%$ de los estudiantes utiliza habitualmente la red social Instagram ($I$) y el $25\%$ utiliza TikTok ($T$). Se sabe además que el uso de ambas redes es independiente entre sí. Si elegimos un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que:

1. a) Utilice ambas redes sociales.
2. b) No utilice ninguna de las dos.

Un jugador de básquetbol tiene una probabilidad de encestar un tiro libre de $0,8$. Si lanza dos tiros libres seguidos y asumimos que el éxito en el segundo lanzamiento es independiente del resultado del primero, calcule:

1. a) La probabilidad de que enceste los dos tiros.
2. b) La probabilidad de que falle los dos tiros.
3. c) La probabilidad de que enceste al menos uno.

De una baraja española de 40 cartas se extraen dos cartas sucesivamente y sin reemplazo. Sean los sucesos:

• $A$: "La primera carta es un Rey".

• $B$: "La segunda carta es un Rey".

Calcule la probabilidad de $B$ condicionada a $A$, es decir, $P(B|A)$. ¿Es esta probabilidad igual a la probabilidad de obtener un Rey en la primera extracción? Justifique si los sucesos son dependientes o independientes.

Se dispone de la siguiente información sobre dos sucesos $X$ e $Y$:

$P(X) = 0,5$, $P(Y) = 0,3$ y $P(X \cap Y) = 0,15$.

Demuestre matemáticamente si los sucesos $X$ e $Y$ son independientes. Para ello, compruebe si se cumple la condición necesaria que relaciona la probabilidad de la intersección con el producto de las probabilidades individuales.

En un estudio sobre el consumo de contenido en streaming entre jóvenes, se ha observado que la probabilidad de que un estudiante esté suscrito a la plataforma A es $P(A) = 0,6$, mientras que la probabilidad de que esté suscrito a la plataforma B es $P(B) = 0,5$. Además, se sabe que la probabilidad de que no esté suscrito a ninguna de las dos es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$.

1. a) Calcule la probabilidad de que un estudiante esté suscrito a ambas plataformas.
2. b) Determine si los sucesos "estar suscrito a la plataforma A" y "estar suscrito a la plataforma B" son sucesos independientes. Justifique su respuesta comparando $P(A \cap B)$ con $P(A) \cdot P(B)$.

Una marca de ropa deportiva sabe que el $70\%$ de sus clientes compran tenis de running. De aquellos que compran tenis, el $40\%$ también adquiere una camiseta técnica. Por otro lado, entre los que no compran tenis, solo el $15\%$ adquiere la camiseta técnica.

1. a) Si elegimos un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que compre la camiseta técnica?
2. b) ¿Son los sucesos "comprar tenis" y "comprar camiseta" independientes? Razone la respuesta analizando si el hecho de comprar tenis modifica la probabilidad de comprar la camiseta.

En una escuela secundaria, el $45\%$ de los estudiantes de 12.º grado son de la especialidad de Ciencias Sociales ($CS$), el $35\%$ de Ciencias y Tecnología ($CT$) y el resto de Artes ($A$). Se sabe que la probabilidad de que a un estudiante le guste la estadística es $0,8$ si es de $CS$, $0,6$ si es de $CT$ y $0,3$ si es de $A$.

1. a) Dibuje el diagrama de árbol que represente esta situación.
2. b) ¿Es el gusto por la estadística un suceso independiente de la especialidad cursada? Demuéstrelo matemáticamente para el caso de la especialidad de Ciencias Sociales.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que $P(A) = 0,4$ y $P(B) = 0,3$.

1. a) Si $A$ y $B$ son sucesos independientes, calcule $P(A \cup B)$ y $P(A | B)$.
2. b) Si $A$ y $B$ son sucesos dependientes y sabemos que $P(A \cap B) = 0,2$, calcule $P(B | A)$.
3. c) En el caso b), ¿son $A$ y $B$ sucesos incompatibles? Justifique su respuesta.

Un creador de contenido digital tiene dos canales: uno de videojuegos ($V$) y otro de cocina ($C$). El $60\%$ de sus suscriptores siguen el canal $V$, el $40\%$ siguen el canal $C$ y el $20\%$ siguen ambos canales.

1. a) Si seleccionamos un suscriptor al azar que sabemos que sigue el canal de cocina, ¿cuál es la probabilidad de que también siga el de videojuegos?
2. b) A la vista de los datos, ¿diría que el hecho de seguir un canal influye en la probabilidad de seguir el otro? Justifique si los sucesos son dependientes o independientes.

En una cartuchera hay 10 marcadores: 6 son de color azul y 4 son de color rojo. Se extraen sucesivamente y sin reemplazo dos marcadores.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean azules?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea rojo si el primero fue azul?
3. c) ¿Son los sucesos "el primer marcador es azul" y "el segundo marcador es azul" independientes? Justifique su respuesta comparando las probabilidades condicionadas.

Se han clasificado los accidentes de tránsito en una ciudad según el tipo de vehículo y si el conductor era menor de 25 años. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

	Automóvil ($T$)	Ciclomotor ($M$)	TOTAL
Menor de 25 años ($J$)	$12$	$18$	$30$
Mayor de 25 años ($V$)	$48$	$22$	$70$
TOTAL	$60$	$40$	$100$

1. a) Si elegimos un accidente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el conductor sea menor de 25 años?
2. b) Si sabemos que el accidente fue de un ciclomotor, ¿cuál es la probabilidad de que el conductor sea menor de 25 años?
3. c) Utilizando los resultados anteriores, explique razonadamente si los sucesos "ser menor de 25 años" y "manejar un ciclomotor" son independientes.

Considere dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio de los que se conocen las siguientes probabilidades: $P(A) = 0,5$, $P(B | A) = 0,4$ y $P(B | \bar{A}) = 0,4$.

1. a) Calcule $P(A \cap B)$ y $P(\bar{A} \cap B)$.
2. b) A partir de los resultados anteriores, calcule $P(B)$.
3. c) Demuestre si los sucesos $A$ y $B$ son independientes. ¿Qué conclusión puede sacar sobre la probabilidad de $B$ cuando esta no varía aunque sepamos que $A$ ha ocurrido o no ha ocurrido?

En una plataforma de streaming, el algoritmo recomienda una serie basada en dos criterios: el género (suceso $G$) y la popularidad (suceso $P$). Se sabe que la probabilidad de que a un usuario le guste una serie es de $0,6$. La probabilidad de que sea recomendada por su género es $0,45$. Sabiendo que a un usuario le gusta una serie, la probabilidad de que el algoritmo la haya recomendado por su género es de $0,8$. Además, los sucesos "gustar la serie" y "ser recomendada por su popularidad" son independientes.

Calcule razonadamente:

1. a) La probabilidad de que una serie sea recomendada por su género y además le guste al usuario.
2. b) La probabilidad de que a un usuario le guste una serie o esta haya sido recomendada por su popularidad.
3. c) ¿Son los sucesos "ser recomendada por su género" y "gustar la serie" independientes? Justifique la respuesta con cálculos.

Disponemos de dos urnas con las siguientes composiciones: la urna $U_1$ contiene 4 bolas rojas y 6 negras; la urna $U_2$ contiene 3 bolas rojas y 2 negras. El experimento consiste en extraer una bola al azar de $U_1$ e introducirla en $U_2$, sin mirar su color. A continuación, se extraen simultáneamente dos bolas de $U_2$.

1. a) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas de $U_2$ sean de distinto color.
2. b) Si las dos bolas extraídas de $U_2$ han resultado ser negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola trasvasada desde $U_1$ fuera roja?

Un sistema de ciberseguridad industrial utiliza tres nodos de verificación ($N_1, N_2, N_3$) dispuestos en serie, de modo que el sistema solo permite el acceso si los tres nodos validan la entrada. La probabilidad de que el nodo $N_1$ falle es de $0,02$. El nodo $N_2$ es más sensible: si $N_1$ ha validado la entrada, la probabilidad de que $N_2$ falle es de $0,05$, pero si $N_1$ ha fallado, el nodo $N_2$ se bloquea y falla con probabilidad $1$. Finalmente, el nodo $N_3$ funciona de forma independiente al resto con una probabilidad de acierto del $0,98$.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una entrada legítima sea rechazada por el sistema?
2. b) Si el sistema ha rechazado una entrada, calcule la probabilidad de que el fallo se haya producido exclusivamente en el nodo $N_2$.

En un estudio sociológico sobre el uso de energías renovables, se clasifica a los individuos en "proactivos" ($A$) o "pasivos" ($B$). Se sabe que el $30\%$ de la población es proactiva. La probabilidad de que un individuo proactivo instale paneles solares es de $0,8$, mientras que para un individuo pasivo esta probabilidad se reduce a $0,2$. Se eligen dos personas al azar de forma independiente.

1. a) Calcule la probabilidad de que al menos una de las dos personas instale paneles solares.
2. b) Sabiendo que solo una de las dos personas ha instalado paneles solares, ¿cuál es la probabilidad de que dicha persona pertenezca al grupo de los proactivos?

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A^c \cap B^c) = 0,2$, $P(A | B) = 0,4$ y $P(B | A) = 0,5$.

1. a) Calcule las probabilidades de los sucesos $A$ y $B$. (Indicación: utilice la definición de probabilidad condicionada para plantear un sistema de ecuaciones).
2. b) Determine si los sucesos $A$ y $B$ son independientes. Justifique su respuesta.
3. c) Calcule $P(A^c \cup B)$.

Una prueba de diagnóstico para una enfermedad rara (que afecta al $0,5\%$ de la población) arroja un $2\%$ de falsos positivos (personas sanas a las que la prueba da positivo) y un $1\%$ de falsos negativos (personas enfermas a las que la prueba da negativo).

1. a) Si una persona se somete a la prueba y da positivo, y acto seguido se somete a una segunda prueba idéntica e independiente que también da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente esté enferma?
2. b) Comente el resultado obtenido comparándolo con la probabilidad tras una sola prueba positiva.

Una empresa de mensajería utiliza tres rutas para sus entregas: Norte, Centro y Sur. El $20\%$ de los paquetes van por la ruta Norte, el $50\%$ por la Centro y el $30\%$ por la Sur. Los retrasos dependen de la ruta: en la Norte hay un $10\%$ de retrasos, en la Centro un $5\%$ y en la Sur un $x\%$. Sabiendo que la probabilidad de que un paquete elegido al azar llegue a tiempo es de $0,923$:

1. a) Determine el valor de $x$ (porcentaje de retrasos en la ruta Sur).
2. b) Si un paquete ha llegado con retraso, ¿cuál es la ruta que tiene mayor probabilidad de haber sido la causante?

En un torneo de videojuegos, un jugador debe superar dos fases. La probabilidad de superar la primera fase es $0,7$. Si supera la primera, la probabilidad de superar la segunda es $0,5$. Si no supera la primera, se le da una oportunidad de "repesca" que supera con probabilidad $0,3$. Si supera la repesca, entra en la segunda fase, pero con una probabilidad de éxito de solo $0,2$ debido al cansancio acumulado.

1. a) Calcule la probabilidad de que el jugador supere finalmente el torneo (superar la segunda fase).
2. b) Si el jugador ha superado el torneo, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya conseguido sin necesidad de pasar por la repesca?