Ejercicios: Probabilidad condicionada

En un grupo de 12.º grado se ha realizado una encuesta sobre el uso de lentes y el género de los estudiantes. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de contingencia:

Si seleccionamos un alumno al azar, calcule:

1. a) La probabilidad de que sea un chico, sabiendo que usa lentes.
2. b) La probabilidad de que use lentes, sabiendo que es una chica.

En una plataforma de contenido en streaming, se sabe que la probabilidad de que un usuario vea una serie de ciencia ficción es $P(S) = 0,6$ y la probabilidad de que vea un documental es $P(D) = 0,4$. Además, la probabilidad de que vea ambos contenidos es $P(S \cap D) = 0,15$.

Calcule la probabilidad de que un usuario vea un documental si sabemos que ya ha visto una serie de ciencia ficción.

Un analista de redes sociales estudia el comportamiento de los adolescentes en dos aplicaciones: TikTok ($T$) e Instagram ($I$). Los datos indican que:

• El $70 \%$ de los jóvenes usa TikTok.

• El $50 \%$ usa Instagram.

• La probabilidad de que un joven use Instagram sabiendo que usa TikTok es $0,4$.

Calcule la probabilidad de que un joven elegido al azar utilice ambas aplicaciones ($P(T \cap I)$) y razone si los sucesos son independientes.

En un estuche hay 5 resaltadores fluorescentes: 3 son de color amarillo y 2 son de color rosa. Extraemos dos resaltadores de forma consecutiva y sin reemplazo (sin devolver el primero al estuche).

Represente la situación mediante un diagrama de árbol y calcule la probabilidad de que el segundo resaltador extraído sea rosa, sabiendo que el primero fue amarillo.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que la probabilidad de $A$ es $P(A) = 0,5$, la de $B$ es $P(B) = 0,3$ y la probabilidad de su unión es $P(A \cup B) = 0,65$.

A partir del siguiente diagrama de Venn, identifique la zona sombreada y calcule $P(A|B)$.

En un torneo de videojuegos, el $40 \%$ de los participantes son expertos ($E$) y el resto son principiantes ($P$). Se sabe que el $80 \%$ de los expertos llegan a la final ($F$), mientras que solo el $20 \%$ de los principiantes lo consiguen.

Si elegimos un participante al azar y sabemos que es principiante, ¿cuál es la probabilidad de que llegue a la final? Exprese el resultado utilizando la notación de probabilidad condicionada.

Se ha realizado un estudio sobre los hábitos de lectura de un grupo de estudiantes. La probabilidad de que un estudiante lea prensa digital es $P(L) = 0,45$. La probabilidad de que lea prensa digital y además escuche podcasts de noticias es $P(L \cap S) = 0,18$.

Halle la probabilidad de que un estudiante escuche podcasts de noticias, sabiendo que es lector de prensa digital.

En una tienda de ropa deportiva, el $60 \%$ de las ventas son tenis para correr ($Z$) y el $40 \%$ son tenis de baloncesto ($B$). El $20 \%$ de los compradores de tenis para correr también adquiere calcetines técnicos ($C$).

Si un cliente ha comprado unos tenis para correr, ¿cuál es la probabilidad de que no haya comprado calcetines técnicos? (Recuerde la propiedad del suceso contrario en la probabilidad condicionada).

En una encuesta realizada a 200 alumnos de una escuela secundaria sobre el uso de redes sociales, se ha observado que 120 utilizan TikTok, 100 utilizan Instagram y 60 utilizan ambas plataformas. Si seleccionamos un alumno al azar, calcule:

1. a) La probabilidad de que utilice Instagram sabiendo que ya utiliza TikTok.
2. b) La probabilidad de que no utilice TikTok si sabemos que utiliza Instagram.
3. c) ¿Son los sucesos "ser usuario de TikTok" y "ser usuario de Instagram" independientes? Justifique la respuesta matemáticamente.

Una marca de ropa urbana fabrica sus sudaderas en dos talleres diferentes. El taller $A$ produce el $60\%$ de las prendas y el taller $B$ el resto. Se sabe que el $5\%$ de las sudaderas del taller $A$ tiene algún defecto de costura, mientras que en el taller $B$ el porcentaje de defectos es del $8\%$. Se elige una sudadera al azar de la tienda y resulta ser defectuosa. Calcule la probabilidad de que haya sido fabricada en el taller $A$.

Un estudiante de 12.º grado ha preparado 18 de los 25 temas de los que consta el examen final de Historia. El examen consiste en elegir al azar dos temas del total y desarrollar uno de ellos.

1. a) Calcule la probabilidad de que el alumno se sepa los dos temas extraídos.
2. b) Calcule la probabilidad de que el alumno apruebe el examen (es decir, que se sepa al menos uno de los dos temas).

En una plataforma de streaming, el $70\%$ de los suscriptores ven series de acción y el $45\%$ ven documentales. Además, se sabe que el $30\%$ de los usuarios ven ambos tipos de contenido. Si seleccionamos un usuario que sabemos que no ve documentales, ¿cuál es la probabilidad de que sí vea series de acción?

Un centro de entrenamiento deportivo clasifica a sus atletas según su dieta (Equilibrada o Deficiente) y su rendimiento en el último trimestre (Alto o Bajo). Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia:

Calcule:

1. a) $P(R | D)$
2. b) $P(\bar{D} | \bar{R})$
3. c) Determine si tener una dieta equilibrada y tener un rendimiento alto son sucesos independientes.

Un test de detección de una enfermedad rara, que padece el $1\%$ de la población, da positivo en el $96\%$ de los enfermos (sensibilidad). Sin embargo, también da un "falso positivo" en el $2\%$ de las personas sanas.

1. a) Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar dé positivo en el test.
2. b) Si el test de una persona ha dado positivo, ¿cuál es la probabilidad real de que esté enferma?

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = 0.4$, $P(B) = 0.6$ y $P(A \cup B) = 0.8$.

1. a) Calcule $P(A | B)$.
2. b) Calcule $P(B | \bar{A})$.
3. c) ¿Son $A$ y $B$ sucesos incompatibles? ¿Son independientes?

En un videojuego cooperativo, el jugador 1 tiene una probabilidad de completar su misión del $0.8$. El jugador 2, de forma independiente al primero, tiene una probabilidad de éxito del $0.7$.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos completen sus misiones?
2. b) Sabiendo que al menos uno de los dos ha completado su misión, ¿cuál es la probabilidad de que el jugador 1 la haya completado?

En una plataforma de streaming, el $60 \%$ de los usuarios tiene una suscripción "Estándar" ($S_1$) y el resto una suscripción "Premium" ($S_2$). Se sabe que el $15 \%$ de los usuarios con suscripción estándar cancela su cuenta antes de finalizar el primer mes, mientras que entre los usuarios Premium, solo el $5 \%$ cancela en ese periodo.

Si seleccionamos un usuario al azar que ha cancelado su suscripción antes del primer mes, calcule la probabilidad de que tuviera una suscripción "Premium". Ilustre el problema mediante un diagrama de árbol que recoja todas las probabilidades implicadas.

Disponemos de dos urnas opacas. La urna $U_A$ contiene 4 bolas blancas y 6 bolas negras. La urna $U_B$ contiene 5 bolas blancas y 3 negras. El experimento consiste en extraer una bola de la urna $U_A$ y, sin mirar su color, introducirla en la urna $U_B$. A continuación, se extraen dos bolas simultáneamente de la urna $U_B$.

Si las dos bolas extraídas de la segunda urna resultan ser blancas, ¿cuál es la probabilidad de que la bola transferida desde la primera urna fuera negra? Exprese el resultado en forma de fracción irreducible.

Un estudio sobre hábitos digitales en adolescentes revela que el $70 \%$ de los estudiantes de una escuela utiliza una red social de microblogueo ($M$). Se sabe que el $40 \%$ de los usuarios de esa red ha experimentado fatiga digital ($F$), mientras que entre los que no la usan, el porcentaje de fatiga digital se reduce al $10 \%$.

Calcule las siguientes probabilidades:

1. Probabilidad de que un estudiante elegido al azar no use la red social y no tenga fatiga digital.

2. Si un estudiante afirma tener fatiga digital, ¿cuál es la probabilidad de que no sea usuario de dicha red social?

3. ¿Son los sucesos "ser usuario de la red social" y "tener fatiga digital" independientes? Justifique la respuesta matemáticamente.

Una fábrica de componentes para smartphones utiliza tres máquinas, $A$, $B$ y $C$, para producir una pieza específica. La máquina $A$ produce el $45 \%$ del total, la $B$ el $30 \%$ y la $C$ el resto. Se ha detectado que el $2 \%$ de las piezas de $A$ son defectuosas, el $3 \%$ de las de $B$ y el $5 \%$ de las de $C$.

Si se elige una pieza al azar y resulta ser defectuosa, determine razonadamente qué máquina es más probable que la haya fabricado. Para ello, calcule las tres probabilidades a posteriori utilizando el Teorema de Bayes.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral tales que conocemos $P(A \cup B) = 0,9$, $P(B|A) = 0,4$ y $P(A|\overline{B}) = 0,8$, donde $\overline{B}$ representa el suceso contrario de $B$.

Utilizando las propiedades del álgebra de sucesos y la definición de probabilidad condicionada, calcule:

1. $P(A \cap B)$

2. $P(A)$

3. $P(B)$

Ayuda: Plantee un sistema de ecuaciones utilizando las definiciones de probabilidad condicionada.

En un torneo de e-sports, un jugador debe superar dos fases consecutivas. La probabilidad de superar la primera fase es de $0,7$. Si supera la primera, la probabilidad de superar la segunda es de $0,6$. En cambio, si no supera la primera fase, tiene una oportunidad de "repechaje" donde la probabilidad de superar la segunda fase cae a $0,2$.

1. Calcule la probabilidad de que el jugador supere la segunda fase.

2. Sabiendo que el jugador ha superado la segunda fase, ¿cuál es la probabilidad de que NO hubiera superado la primera fase originalmente?

Un centro de salud realiza un test de detección de una intolerancia alimentaria que afecta al $2 \%$ de la población. El test no es perfecto: da positivo en el $98 \%$ de las personas que realmente padecen la intolerancia, pero también da un "falso positivo" en el $3 \%$ de las personas sanas.

Si a un adolescente se le realiza el test y el resultado es positivo:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente sea intolerante?

2. Interprete el resultado obtenido en relación con la eficacia del test para realizar diagnósticos masivos en poblaciones donde la prevalencia de la enfermedad es muy baja.

En un salón de clase de 12.º grado, el $60 \%$ de los alumnos son mujeres. Se sabe que el $80 \%$ de las mujeres ha aprobado el último examen de matemáticas, mientras que el porcentaje de aprobados entre los hombres ha sido del $x \%$.

Si la probabilidad de que una persona elegida al azar del salón de clase haya aprobado el examen es de $0,74$, calcule el valor de $x$ (porcentaje de aprobados entre los hombres). Posteriormente, calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre, sabiendo que ha reprobado el examen.