Ejercicios: Variable tipificada

En una comunidad de creadores de contenido, el número de visualizaciones diarias de los videos sigue una distribución normal con una media $\mu = 1200$ y una desviación típica $\sigma = 300$. Si un "influencer" ha conseguido hoy $1650$ visualizaciones, calcule el valor de la variable tipificada $Z$ correspondiente a ese dato.

La duración de la batería de un modelo de smartphone en uso intensivo se distribuye según una normal $N(8, 1.5)$, donde la media son $8$ horas. Un usuario nota que su teléfono solo dura $5$ horas tras la última actualización. Tipifique este valor e indique si el resultado es positivo o negativo. ¿Qué significado tiene el signo en este contexto?

Dos estudiantes de diferentes escuelas secundarias quieren comparar sus notas en el examen de Economía.

• Sofía obtuvo un $8.2$ en su escuela, donde la media fue $\mu = 6.5$ y la desviación típica $\sigma = 1.1$.

• Pablo obtuvo un $8.5$ en su escuela, donde la media fue $\mu = 7.2$ y la desviación típica $\sigma = 1.4$.

Calcule la variable tipificada para ambos y determine cuál de los dos obtuvo una nota mejor en relación con su propio grupo.

Dada una variable aleatoria continua $X$ que sigue una distribución normal con media $\mu = 50$ y desviación típica $\sigma = 8$, encuentre el valor de la variable original $X$ sabiendo que su valor tipificado es $Z = 2.25$.

En una competición de e-sports, el tiempo de reacción de los jugadores sigue una distribución normal con media $210$ milisegundos y desviación típica $15$ milisegundos. Tipifique los siguientes tiempos de reacción e interprete los resultados:

1. a) $195$ milisegundos.
2. b) $210$ milisegundos.
3. c) $240$ milisegundos.

El peso de los paquetes de palomitas de maíz de un cine sigue una distribución normal $N(150, 12)$ en onzas. Si seleccionamos un paquete al azar y sabemos que su valor tipificado es $Z = -1.5$, ¿pesa este paquete más o menos que la media? Calcule su peso exacto en onzas.

Si una variable tipificada $Z$ sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$, utilice la simetría de la campana de Gauss para explicar por qué la probabilidad $P(Z < -1)$ es la misma que $P(Z > 1)$. Dibuje un esquema de la situación.

Se ha medido el tiempo que tardan los jóvenes de una ciudad en llegar a la escuela secundaria. Los datos siguen una normal con $\mu = 25$ minutos y $\sigma = 5$ minutos. Tipifique el valor $X = 35$ minutos. Si la tabla de la normal estándar nos dice que $P(Z < 2) = 0.9772$, ¿qué porcentaje de alumnos tarda menos de $35$ minutos en llegar?

En una plataforma de juegos en línea, la puntuación de los jugadores en el nivel "Leyenda" sigue una distribución normal con una media $\mu = 4500$ puntos y una desviación típica $\sigma = 600$ puntos. Por otro lado, en el nivel "Maestro", las puntuaciones siguen una distribución normal con $\mu = 3800$ puntos y $\sigma = 450$ puntos.

Un jugador ha obtenido $5200$ puntos en el nivel "Leyenda" y su amigo ha obtenido $4400$ puntos en el nivel "Maestro". Utilice la variable tipificada para determinar cuál de los dos amigos ha obtenido una puntuación mejor en relación con su grupo de juego.

Se ha realizado un estudio sobre el tiempo diario que los adolescentes de 17 años dedican a ver contenido en plataformas de streaming. Los resultados muestran que este tiempo sigue una distribución normal $X \sim N(110, 25)$, donde el tiempo se mide en minutos.

1. a) Calcule la probabilidad de que un joven elegido al azar pase más de $135$ minutos al día en estas plataformas.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo dedicado esté comprendido entre $90$ y $120$ minutos?

Las notas finales del examen de admisión a la universidad en un determinado estado siguen una distribución normal con media $6,8$ y desviación típica $1,2$.

La universidad ha decidido otorgar una beca especial de excelencia al $5\%$ de los alumnos que hayan obtenido las mejores calificaciones. Utilizando la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$, calcule la nota mínima necesaria para obtener dicha beca.

El peso de las mochilas de los estudiantes de secundaria de una escuela sigue una distribución normal con media $6,5$ libras y desviación típica $1,4$ libras.

1. a) Determine el valor de la variable tipificada $Z$ que corresponde a una mochila de $8$ libras.
2. b) El médico de la escuela recomienda que el peso de la mochila no supere las $9$ libras. ¿Qué porcentaje de alumnos está incumpliendo esta recomendación?

La duración de la batería de un nuevo modelo de smartphone en uso intensivo se distribuye según una normal de media $\mu$ horas y desviación típica $\sigma = 1,5$ horas.

Se sabe que el $25,14\%$ de los teléfonos tienen una batería que dura menos de $8$ horas. Halle el valor de la media $\mu$ de esta distribución utilizando el proceso de destipificación.

En una competición de atletismo, el tiempo en segundos que tardan los participantes en completar los 400 metros planos sigue una distribución $X \sim N(52, \sigma)$.

Si se sabe que el $84,13\%$ de los corredores tarda menos de $55$ segundos en finalizar la prueba, calcule la desviación típica $\sigma$ del tiempo de los corredores.

Un creador de contenido en una red social analiza el número de "likes" que reciben sus publicaciones. Ha observado que el número de "likes" sigue una distribución normal con media $1200$.

1. a) Si la desviación típica es $\sigma = 150$, calcule el intervalo simétrico respecto a la media que encierre al $90\%$ de las publicaciones.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que una publicación elegida al azar tenga exactamente $1300$ "likes"? Justifique su respuesta basándose en las propiedades de las variables continuas.

Se desea comparar la agilidad mental de dos grupos de estudiantes mediante una prueba de lógica. El Grupo A obtiene resultados que siguen una $N(75, 8)$ y el Grupo B una $N(70, 5)$.

1. a) Si un alumno del Grupo A obtiene $85$ puntos y uno del Grupo B obtiene $78$ puntos, ¿cuál de los dos se encuentra en una mejor posición relativa dentro de su propio grupo?
2. b) En el Grupo B, ¿a partir de qué puntuación se encuentra el $20\%$ de los estudiantes con resultados más bajos?

En una academia de preparación para los exámenes de admisión a la universidad, se ha observado que las calificaciones de un simulacro de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales siguen una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Se sabe que el $15,87\%$ de los alumnos obtuvo una nota superior a $8$ puntos, mientras que el $2,28\%$ no alcanzó los $3$ puntos. Calcule el valor de la media $\mu$ y de la desviación típica $\sigma$ de esta distribución utilizando la tabla de la normal tipificada $Z \sim N(0, 1)$.

Tres estudiantes de diferentes escuelas secundarias quieren comparar sus resultados en una prueba de aptitud lingüística. Debido a que los exámenes eran distintos, las puntuaciones siguen distribuciones normales diferentes:

• Isabella obtuvo $72$ puntos en un examen con $N(60, 8)$.

• Mateo obtuvo $80$ puntos en un examen con $N(70, 12)$.

• Carla obtuvo $65$ puntos en un examen con $N(55, 5)$.

Determine, mediante la tipificación de las variables, cuál de los tres estudiantes se encuentra en una mejor posición relativa respecto a su grupo de referencia. Justifique su respuesta comparando los valores de la variable tipificada $Z$.

Una empresa que fabrica componentes electrónicos garantiza que la vida útil de sus baterías sigue una distribución normal con una media de $800$ días. Tras un estudio de calidad, se determina que la probabilidad de que una batería dure más de $1000$ días es de tan solo $0,0062$.

1. a) Halle el valor de la desviación típica $\sigma$ de la producción.
2. b) Si la empresa decide sustituir todas las baterías que duren menos de $k$ días, ¿qué valor debe tener $k$ para que solo tengan que reponer el $5\%$ de las baterías vendidas?

El tiempo que los adolescentes de una ciudad dedican diariamente a redes sociales sigue una distribución normal $X \sim N(120, 20)$, donde el tiempo se mide en minutos.

Calcule la probabilidad de que un adolescente elegido al azar dedique a las redes sociales entre $100$ y $150$ minutos, sabiendo de antemano que dedica más de $110$ minutos. (Nota: utilice la definición de probabilidad condicionada junto con la tipificación de la variable).

Se sabe que el peso de los paquetes de café envasados automáticamente por una máquina sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma = 15$ onzas. Se ha ajustado la máquina para que el $97,5\%$ de los paquetes tengan un peso superior a $470,6$ onzas.

1. a) Calcule el peso medio $\mu$ al que ha sido programada la máquina.
2. b) Con ese ajuste, ¿cuál es la probabilidad de que un paquete elegido al azar pese más de $510$ onzas?

En un estudio sobre el gasto mensual en ocio de las familias de un condado, se ha comprobado que este sigue una distribución normal. Se sabe que el gasto medio es de $\$250$. Si el $20\%$ de las familias gasta más de $\$320$:

1. a) Calcule la desviación típica de la distribución.
2. b) Determine el intervalo de gasto, simétrico respecto a la media, en el que se encuentra el $90\%$ central de las familias del condado.

Las estaturas de los estudiantes de 12.º grado de una escuela secundaria se distribuyen según una normal $X \sim N(172, 9)$. El director de la escuela desea seleccionar al $5\%$ de los estudiantes más altos para el equipo de baloncesto y al $5\%$ de los estudiantes más bajos para un estudio ergométrico.

1. a) ¿A partir de qué estatura se seleccionan los alumnos para el equipo de baloncesto?
2. b) ¿Cuál es la estatura máxima para formar parte del estudio ergométrico?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno mida exactamente $172$ cm? Razone la respuesta basándose en la naturaleza de las variables continuas.

Sea $X$ una variable aleatoria continua que sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$. Si definimos la variable tipificada como $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$, demuestre analíticamente, utilizando las propiedades de la tipificación y la simetría de la campana de Gauss, que las siguientes probabilidades son equivalentes:

1. $P(\mu - \sigma < X < \mu + 2\sigma)$

2. $P(-1 < Z < 2)$

Calcule dicho valor utilizando la tabla de la distribución $N(0, 1)$.