Ejercicios: Método de Gauss

En una partida de un conocido videojuego de estrategia, las estadísticas de tres jugadores (puntos de ataque, defensa y velocidad) se han organizado en la siguiente matriz $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Indique qué operación elemental por filas debería realizar en primer lugar para obtener un cero en la posición $a_{21}$ y cuál para la posición $a_{31}$, utilizando como fila pivote la primera fila ($F_1$). Escriba la matriz resultante tras aplicar ambos cambios.

Dada la siguiente matriz $B$, que representa los niveles de inventario de dos almacenes de una tienda de ropa deportiva:

$$B = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & k \end{pmatrix}$$

Determine el valor del parámetro real $k$ para que, al aplicar el método de Gauss para triangular la matriz, la segunda fila se convierta en una fila de ceros. ¿Qué podría decir sobre el rango de la matriz en ese caso?

Un analista de redes sociales estudia la interacción entre tres influencers. La matriz de adyacencia $M$ muestra las menciones directas entre ellos. Para simplificar el estudio del rango de conexiones, se requiere triangular la matriz:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

Utilice el método de Gauss para transformar $M$ en una matriz triangular superior.

En el cálculo del rango de una matriz, es fundamental identificar filas dependientes. Considere la matriz $C$:

$$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 6 & 9 \\ 2 & 4 & 7 \end{pmatrix}$$

Aplique el método de Gauss. ¿Cuántas filas no nulas quedan tras realizar la triangulación? Justifique, a partir del resultado, cuál es el rango de la matriz $C$.

Halle la matriz inversa de la matriz cuadrada $A$ de orden 2 utilizando el método de Gauss-Jordan:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

Pista: Recuerde colocar la matriz identidad a la derecha de $A$ y realizar operaciones por filas hasta que la identidad quede a la izquierda.

Una empresa de mensajería utiliza drones para repartir paquetes en tres distritos. La matriz $D$ describe las rutas posibles. Para optimizar el sistema, el equipo técnico necesita conocer el rango de dicha matriz mediante Gauss:

$$D = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

Realice las transformaciones necesarias para triangular la matriz y determine si alguna ruta es redundante (si alguna fila depende de las demás).

Dada la matriz $S$, realice los pasos del método de Gauss para obtener una matriz escalonada:

$$S = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Se recomienda, para facilitar los cálculos, intercambiar primero la primera fila ($F_1$) por la segunda ($F_2$) para trabajar con un 1 en la posición del pivote $a_{11}$. Escriba la matriz final obtenida.

Tres amigos, Sofía, Bruno y Carlos, están comparando sus colecciones de tarjetas coleccionables. La relación de tarjetas repetidas se expresa en la matriz $K$. Para analizar la independencia de sus colecciones, calcule el rango de $K$ aplicando el método de Gauss:

$$K = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Visualice el problema como un grafo de dependencias.

Una empresa de logística utiliza una matriz para organizar el inventario de tres almacenes regionales ($A_1, A_2, A_3$) respecto a cuatro tipos de productos (electrónica, textil, hogar y alimentos). La matriz de existencias es la siguiente:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 4 & 7 & -2 & 7 \end{pmatrix}$$

Utilice el método de Gauss para determinar el rango de la matriz $M$. ¿Qué significa, desde el punto de vista del inventario, que el rango no sea máximo?

Calcule la matriz inversa de $A$ mediante el algoritmo de Gauss-Jordan. La matriz representa una transformación de coordenadas en un software de diseño técnico:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Compruebe que el proceso es correcto verificando que $A \cdot A^{-1} = I$.

En el estudio de la estabilidad de una estructura metálica, se ha obtenido la siguiente matriz que depende de un parámetro real $k$, el cual representa la tensión en un nodo:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ 2 & 1 & k \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Determine, empleando el método de Gauss, para qué valores de $k$ el rango de la matriz es igual a 2.

Dadas las matrices $A$ y $B$, resuelva la ecuación matricial $A \cdot X = B$ hallando primero la inversa de $A$ por el método de Gauss:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Un programador de videojuegos está trabajando en la detección de colisiones. Para simplificar los cálculos, necesita saber si los vectores de dirección de tres objetos son linealmente independientes. Los vectores forman las filas de la matriz $D$:

$$D = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & -8 \end{pmatrix}$$

Aplique el método de Gauss para triangular la matriz y determine si el programador puede simplificar su sistema eliminando algún vector sobrante (es decir, si el rango es menor que 3).

El siguiente grafo muestra la red de servidores de una pequeña red local. La matriz de adyacencia asociada indica las conexiones directas entre los nodos $S_1, S_2, S_3$ y $S_4$.

Si la matriz de adyacencia de este grafo es $A$, utilice el método de Gauss para hallar el rango de la matriz $A^2$.

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Halle la matriz inversa de $B$ por el método de Gauss-Jordan, sabiendo que $B$ es una matriz escalar modificada por un error de lectura en uno de sus componentes:

$$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Muestre todos los pasos intermedios de las operaciones elementales por fila.

Discuta el rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro $m$ utilizando el método de Gauss:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & m & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$$

¿Existe algún valor de $m$ para el cual la matriz sea invertible? Razone su respuesta basándose en el rango obtenido.

Determine el rango de la siguiente matriz $A$ en función de los valores del parámetro real $k$, utilizando exclusivamente el método de Gauss:

$A = \begin{pmatrix} 1 & k & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -k & 2 \\ k & 1 & -1 & k \end{pmatrix}$

Analice detalladamente los casos en los que el rango sea máximo y los valores de $k$ que provocan una reducción en el número de filas linealmente independientes.

Calcule la matriz inversa de $M$ mediante el método de Gauss-Jordan, mostrando todos los pasos intermedios de las transformaciones elementales por filas:

$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

Una vez obtenida $M^{-1}$, compruebe el resultado verificando que $M \cdot M^{-1} = I$.

En el diseño de una red de servidores para una nueva red social, se han establecido conexiones de transferencia de datos representadas por la siguiente matriz de adyacencia $S$. Debido a un error en el protocolo, la transferencia solo es estable si la matriz es invertible.

$S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & k & 1 \\ 0 & 1 & k \end{pmatrix}$

Utilice el método de Gauss para encontrar los valores de $k$ para los cuales la red de servidores es inestable (no invertible). Para el valor $k = 2$, calcule la matriz inversa que representaría el protocolo de retorno de datos.

Resuelva la ecuación matricial $A \cdot X \cdot A = B$, donde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Para ello, obtenga primero la inversa de $A$ mediante el método de Gauss y posteriormente despeje $X$ realizando los productos matriciales correspondientes.

Considere la matriz cuadrada de orden 4 dependiente del parámetro $m$:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ m & 2 & 2 & 2 \\ 1 & m & 3 & 3 \\ 1 & 1 & m & 4 \end{pmatrix}$

Utilice el método de Gauss para triangular la matriz y determinar para qué valores de $m$ el rango de $B$ es inferior a 4. ¿Existe algún valor de $m$ para el cual el rango sea 2? Justifique su respuesta tras el proceso de reducción.

Un sistema de encriptación utiliza una matriz $E$ para codificar mensajes de tres letras transformándolos en vectores columna. Para poder desencriptar, se requiere la matriz $D = E^{-1}$. Si la matriz de encriptación es:

$E = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Calcule la matriz de desencriptación $D$ mediante el método de Gauss-Jordan. Trabaje con fracciones para mantener la precisión exacta necesaria en el cifrado.

Dada la matriz $A$, calcule su rango según los valores de los parámetros reales $a$ y $b$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & b \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Emplee el método de Gauss para transformar la matriz en una forma escalonada y discuta todas las combinaciones posibles de $a$ y $b$ que afecten a la independencia lineal de las filas.

Se sabe que una matriz $X$ verifica la relación $A \cdot X = B - 2X$, donde $A$ es una matriz cuadrada. Para poder despejar $X$, la matriz $(A + 2I)$ debe ser invertible. Dadas:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

1. Demuestre razonadamente que $(A + 2I)$ es invertible.

2. Calcule la matriz $X$ obteniendo la inversa necesaria mediante el método de Gauss.

Estos problemas están pensados para estudiantes de 12.º grado, enfocándose en la transición entre el cálculo procedimental y la comprensión conceptual del rango y la inversión de matrices, contextos habituales en los exámenes de admisión a la universidad.