Ejercicios: Continuidad de una función

Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2-x-6}{x^2-9}$ y clasifica sus puntos de discontinuidad.

Dada la función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 3 & \text{si } x < 2 \\ 5x - 5 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Determina si $f(x)$ es continua en el punto $x = 2$.

Calcula el valor de $k$ para que la siguiente función sea continua en $x = 1$:

$f(x) = \begin{cases} 3x + k & \text{si } x \le 1 \\ x^2 - 4x + 5 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Determina el dominio de continuidad de la función con radical $f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$.

Observa la gráfica de la función $f(x)$. Identifica los puntos donde la función presenta discontinuidades y clasifica el tipo de discontinuidad en cada uno de ellos.

Estudia la continuidad de la función logarítmica $f(x) = \ln(8 - 2x)$, indicando claramente el intervalo de números reales donde es continua.

Expresa la función con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 4x|$ como una función definida a trozos y estudia su continuidad en los puntos $x = 0$ y $x = 4$.

La función racional $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 8}{x - 2}$ no está definida en $x = 2$. ¿Qué valor numérico debería tomar $f(2)$ para que la función sea continua en dicho punto?

Una compañía de telefonía celular ofrece una tarifa de datos con las siguientes condiciones: se paga una cuota fija de $\$10$ que incluye los primeros $5$ GB. Por cada GB adicional hasta llegar a los $20$ GB, se pagan $\$2$. A partir de los $20$ GB, el precio sigue la expresión $a + 1.5x$, donde $x$ es el total de GB consumidos.

Halla el valor del parámetro $a$ para que la función que representa el costo total sea continua en todo momento y escribe la expresión analítica completa de dicha función.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en todo el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$:

$f(x) = \begin{cases} x + a & \text{si } x \le -1 \\ x^2 - b & \text{si } -1 < x < 2 \\ 3x - 1 & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Estudia detalladamente la continuidad de la función racional $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - x - 6}$. Clasifica los tipos de discontinuidad que presenta en los puntos donde no está definida.

Estudia la continuidad de la siguiente función, calculando el valor de $k$ que la hace continua en el punto $x=0$:

$f(x) = \begin{cases} e^{2x} + k & \text{si } x \le 0 \\ \frac{x^2 + 3x}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Utiliza el teorema de Bolzano para demostrar que la ecuación $x^3 - 3x + 1 = 0$ tiene al menos una solución real en el intervalo $[0, 1]$. Explica por qué es aplicable el teorema a este caso particular.

Un estacionamiento céntrico cobra $\$2.50$ por la primera hora o fracción, y $\$1.50$ por cada hora o fracción adicional.

Escribe la expresión analítica de la función escalonada $C(t)$ que representa el costo para un tiempo de estacionamiento $0 < t \le 4$ horas. Estudia su continuidad e indica qué tipo de discontinuidades presenta.

El siguiente gráfico muestra la concentración $C(t)$ de un fármaco en la sangre de un paciente en función del tiempo $t$ (en horas). La curva para $0 \le t \le 4$ sigue un modelo cuadrático de la forma $C(t) = at^2+bt$, y para $t > 4$ sigue un modelo exponencial $C(t) = k \cdot 2^{-0.5t}$.

1. a) Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $k$ observando los puntos clave en la gráfica.
2. b) Estudia la continuidad de la función en $t=4$ e interpreta el significado de la discontinuidad en el contexto médico de la administración del fármaco.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 + kx - 6}{x - 2}$, calcula el valor del parámetro $k$ para que la discontinuidad en $x = 2$ sea evitable. Una vez hallado, ¿cuál será el valor del límite de la función en ese punto?

Calcula los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} \frac{a}{x - 1} & \text{si } x < 0 \\ x^2 + b & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ e^{x - 2} + 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Determina para qué valores del parámetro $m$ se puede garantizar, aplicando rigurosamente el teorema de Bolzano, que la función $f(x) = x^3 - mx^2 + 2$ tiene al menos una raíz en el intervalo cerrado $[-1, 1]$.

Estudia la continuidad de la función $f(x) = \frac{|x^2 - 4|}{x - 2}$. Escribe previamente la función como una función definida a trozos sin usar el valor absoluto y clasifica detalladamente las discontinuidades que encuentres.

La capacidad térmica específica de un gas en función de la temperatura $T$ (en Kelvin) se modela mediante la siguiente función definida a trozos:

$c_p(T) = \begin{cases} a + bT & \text{si } 0 < T \le 100 \\ c \log_{10}(T) & \text{si } T > 100 \end{cases}$

Sabiendo que $c_p(10) = 3.5$, que el modelo físico exige que la función sea continua en $T = 100$, y que a una temperatura de $1000$ Kelvin la capacidad es de $12$, determina los valores de los parámetros $a, b$ y $c$.

Encuentra los valores de los parámetros $a, b, c$ y $d$ para que la función racional $f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - cx + d}$ cumpla simultáneamente las tres siguientes condiciones:

• Tiene una discontinuidad evitable en $x = 1$.

• Tiene una discontinuidad de salto infinito en $x = -2$.

• Su gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Discute la continuidad de la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - mx + 4}$ en función de los posibles valores del parámetro real $m$. Presta especial atención a los casos en los que el denominador tiene raíces que coinciden con las del numerador.

Dadas las funciones $g(x) = \frac{1}{x - 2}$ y $h(x) = \sqrt{x + 1}$, obtén la expresión analítica de la función compuesta $f(x) = g(h(x))$ y estudia exhaustivamente su continuidad, indicando su dominio y el tipo de discontinuidades que presenta.

La gráfica muestra la representación de la función $g(x) = \frac{x^2 + bx + c}{x^2 + dx + e}$ para todo $x \neq -1$, definiéndose adicionalmente $g(-1) = 2$.

1. a) A partir de las asíntotas y el hueco observable en la gráfica, determina los valores de los parámetros $b, c, d$ y $e$.
2. b) Estudia la continuidad de $g(x)$ en todo su dominio y clasifica sus discontinuidades.