Ejercicios: Continuidad de algunas funciones

Determina los puntos de discontinuidad de la función racional $f(x) = \frac{2x+5}{x^2-9}$ e indica, calculando los límites laterales, el comportamiento de la función en dichos puntos.

Halla el dominio de continuidad de la función radical $g(t) = \sqrt{t^2-4t}$. Justifica tu respuesta resolviendo la inecuación correspondiente.

Estudia la continuidad de la siguiente función definida a trozos en el punto $x=1$:

$h(x) = \begin{cases} 3x-1 & \text{si } x < 1 \\ x^2+1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Calcula el valor del parámetro $k$ para que la función $f(x)$ sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} x^2+k & \text{si } x \le 2 \\ 5x-3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Observa la siguiente gráfica que representa el nivel de agua en un tanque $N(t)$ en función del tiempo $t$.

Identifica el tipo de discontinuidad que presenta la función en el instante $t = a$ y expresa matemáticamente los límites laterales utilizando $L_1$ y $L_2$.

Dada la función logarítmica $f(x) = \ln(8-2x)$, determina su dominio de continuidad justificando los cálculos necesarios.

Estudia la continuidad de la función trigonométrica $g(x) = \frac{1}{\cos x}$ en el intervalo abierto $(0, 2\pi)$. ¿En qué puntos presenta discontinuidades y de qué tipo son?

Una tarifa de estacionamiento cobra $\$2$ por la primera hora o fracción, y $\$3.5$ si el tiempo excede la primera hora hasta un máximo de dos horas. Define la función costo $C(t)$ para $t \in (0, 2]$ y analiza si es continua en $t=1$.

Encuentra los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio $\mathbb{R}$:

$f(x) = \begin{cases} ax^2+b & \text{si } x < 1 \\ 3x-a & \text{si } 1 \le x < 3 \\ \frac{b}{x-2} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

En un cultivo de laboratorio, el número de bacterias $N(t)$ (en miles) en función del tiempo $t$ (en horas) se modela mediante la siguiente función:

$N(t) = \begin{cases} 10 e^{0.5t} & \text{si } 0 \le t < 4 \\ a t + b & \text{si } t \ge 4 \end{cases}$

Sabiendo que el modelo debe ser continuo en $t=4$ y que a las $6$ horas hay exactamente $100$ mil bacterias, determina los valores de $a$ y $b$.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la función racional $f(x) = \frac{x^2-kx-6}{x-2}$ tenga una discontinuidad evitable en $x=2$. Una vez hallado $k$, ¿qué valor debería tomar $f(2)$ para que la función sea completamente continua en ese punto?

Dada la función con valor absoluto $f(x) = \frac{x^2-9}{|x-3|}$, reescríbela como una función definida a trozos y clasifica el tipo de discontinuidad que presenta en $x=3$.

La tensión $V(t)$ en voltios de un circuito eléctrico cerrado se comporta según la función:

$V(t) = \begin{cases} 12\cos(\pi t) & \text{si } t \le 1 \\ k e^{-(t-1)} & \text{si } t > 1 \end{cases}$

Calcula el valor de $k$ para que la tensión no sufra un salto brusco (sea continua) en el instante $t=1$.

Estudia los puntos de discontinuidad de la función $f(x) = \frac{2x^2-8}{x^2-x-2}$. Clasifica cada uno de ellos indicando si son evitables o inevitables (y de qué tipo).

El siguiente gráfico ilustra el volumen $V(t)$ en galones de un tanque de agua industrial durante un proceso de vaciado y posterior filtrado, en función del tiempo $t$ en horas.

Sabiendo que para $t > 5$ la curva sigue un modelo exponencial $V(t) = A \cdot e^{-k(t-5)}$, y asumiendo que la función es continua en todo su dominio, determina el valor de $A$.

Analiza la continuidad de la función $f(x) = \frac{x}{1-e^{1/x}}$ en el punto $x=0$. Calcula los límites laterales y determina si la discontinuidad es evitable o de salto.

Se define la siguiente función a trozos que incluye radicales, exponenciales y polinomios:

$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+a^2}-a}{x^2} & \text{si } x < 0 \\ b & \text{si } x = 0 \\ \frac{e^{cx}-1}{4x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Sabiendo que $a > 0$, determina la relación entre los parámetros $a, b$ y $c$ para que la función sea continua en $x=0$.

En el diseño de una viga de soporte, el esfuerzo cortante $S(x)$ a lo largo de su longitud $x$ viene dado por:

$S(x) = \frac{k \sqrt{x}}{x^2-L^2}$

donde $L$ es la longitud total de la viga ($L > 0$) y $k$ es una constante del material. Estudia el dominio de continuidad de $S(x)$ y clasifica matemáticamente la discontinuidad en $x=L$. ¿Qué interpretación física tiene este límite en el contexto de la resistencia del material?

La concentración de un fármaco en el torrente sanguíneo, $C(t)$ en mg/L, se modela mediante la siguiente función de absorción y eliminación:

$C(t) = \begin{cases} \frac{A t}{t^2+4} & \text{si } 0 \le t \le 2 \\ B e^{-0.5t} & \text{si } t > 2 \end{cases}$

Sabiendo que la función es continua y que en $t=2$ se alcanza la concentración máxima de $5$ mg/L, calcula los valores exactos de $A$ y $B$. ¿Qué ocurre con la concentración a largo plazo ($\lim_{t \to \infty} C(t)$)?

Un sistema de impuestos progresivos se define mediante la función $T(x)$, que representa el impuesto a pagar por una base imponible de $x$ dólares:

$T(x) = \begin{cases} 0.15x & \text{si } 0 \le x \le 12000 \\ a + 0.25(x-12000) & \text{si } 12000 < x \le 30000 \\ b + 0.40(x-30000) & \text{si } x > 30000 \end{cases}$

Calcula $a$ y $b$ para que la función impositiva sea continua (es decir, no haya saltos bruscos en el pago de impuestos al cambiar de tramo).

La capacidad calorífica específica $C_p(T)$ de un material experimenta una transición de fase a una temperatura crítica $T_c = 100$ K. El modelo termodinámico propuesto es:

$C_p(T) = \begin{cases} \frac{500}{\sqrt{120-T}} & \text{si } T < 100 \\ 200 \ln(T-99) + k & \text{si } T \ge 100 \end{cases}$

Calcula el valor de $k$ sabiendo que durante la transición de fase se produce una discontinuidad de salto finito (calor latente) tal que $\lim_{T \to 100^+} C_p(T) - \lim_{T \to 100^-} C_p(T) = 80$.

Encuentra los valores de $a, b$ y $c$ para que la función racional $f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x^2-4}$ cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:

1. Tiene una discontinuidad evitable en $x=2$.

2. Tiene una asíntota vertical en $x=-2$.

3. Su límite cuando $x \to \infty$ es $3$.

4. Corta al eje de ordenadas en $y = -1.5$.

Estudia detalladamente la continuidad de la función $f(x) = e^{\frac{1}{|x|-1}}$. Determina su dominio, calcula los límites en los puntos conflictivos y clasifica rigurosamente el tipo de discontinuidad que presenta en cada uno de ellos.

La señal de voltaje en un osciloscopio muestra una onda amortiguada que repentinamente se estabiliza debido a la acción de un diodo de corte en $t = t_c$.

El modelo analítico para $t \ge 0$ es:

$V(t) = \begin{cases} e^{-0.5t} \cos(2\pi t) & \text{si } 0 \le t < t_c \\ C & \text{si } t \ge t_c \end{cases}$

Sabiendo que el corte se produce exactamente en el cuarto ciclo completo de la onda coseno ($t_c = 4$), demuestra analíticamente que la función es continua en ese punto calculando el valor exacto que debe tener la constante $C$.