Ejercicios: Progresiones aritméticas

Elena quiere ahorrar para su viaje de fin de año escolar. Comienza guardando $\$25$ el primer mes y decide incrementar su aportación en $\$5$ cada mes durante un año completo (12 meses). Para saber cuánto dinero reunirá, escribe en su cuaderno:

$$a_{12} = 25 + (12 - 1)\times 5 = 25 + 55 = \$80$$

Y concluye: «¡Genial! Al terminar el año tendré $\$80$ ahorrados para el viaje».

1. a) Identifica y explica detalladamente el error conceptual que comete Elena al interpretar el resultado de $a_{12}$. ¿Qué representa en la realidad esa cifra de $\$80$?
2. b) Corrige el cálculo aplicando la fórmula adecuada para determinar la cantidad total que Elena habrá acumulado en la alcancía al finalizar los 12 meses.
3. c) Si el viaje cuesta $\$600$, razona si le alcanzará con el dinero ahorrado o cuánto le faltará o sobrará.

Un estudiante abre una cuenta de prepago para costear sus traslados en autobús durante el año escolar. El primer mes ingresa $\$40$ y cada mes añade $\$10$ más que el mes anterior, manteniendo este plan a lo largo de 10 meses.

1. a) Antes de realizar cálculos detallados, estima razonadamente si el total ahorrado al final de los 10 meses estará más cerca de $\$400$, de $\$850$ o de $\$1,500$. Justifica tu estimación pensando en una cuota mensual representativa (la cuota media entre el primer y el último mes).
2. b) Modela la situación mediante una progresión aritmética: identifica el primer término $a_1$, la diferencia $d$ y calcula el importe exacto aportado el décimo mes ($a_{10}$).
3. c) Calcula la suma total acumulada $S_{10}$ y valora si tu estimación inicial era acertada o no, explicando a qué se debe la coincidencia o desviación.

Una cuenta de ahorros al $3 \%$ de interés simple anual parte de un capital de $\$2,000$ que no se retira: cada año se añaden los mismos intereses sobre el capital inicial.

1. a) ¿Por qué los capitales año a año forman una progresión aritmética? Indica su primer término y su diferencia.

1. b) Escribe el término general del capital acumulado al cabo de $n$ años.

1. c) ¿Qué capital habrá a los $6$ años? ¿Y a los $15$?

Para el viaje de fin de año escolar, una estudiante decide ahorrar siguiendo una escalera: $\$10$ la primera semana y cada semana siguiente $\$5$ más que la anterior, como muestra la figura.

1. a) ¿Cuánto ahorrará en la semana $12$?

1. b) ¿Cuánto habrá acumulado en total tras esas $12$ semanas?

1. c) El viaje cuesta $\$650$. ¿Le alcanzará con $16$ semanas de ahorro? Justifica tu respuesta.

El anfiteatro de un parque tiene $22$ asientos en la primera fila, y cada fila posterior tiene $4$ asientos más que la anterior.

1. a) ¿Cuántos asientos tiene la fila $8$?

1. b) ¿Cuántos asientos hay en total en las $8$ primeras filas?

1. c) Para un concierto se necesitan $600$ asientos. ¿Cuántas filas completas hacen falta como mínimo?

Una cooperativa de crédito en Texas diseña un programa de microcréditos de $\$3,960$ para emprendedores que debe devolverse en 12 mensualidades decrecientes estructuradas en progresión aritmética. Por política social de la entidad, se imponen dos condiciones: la suma de las 12 cuotas debe amortizar exactamente el total adeudado ($\$3,960$) y la primera cuota debe ser exactamente el doble de la última ($a_1 = 2\times a_{12}$).

1. a) A partir de la fórmula de la suma de una progresión aritmética, plantea una ecuación que relacione $a_1$ y $a_{12}$ con el capital total, y deduce el importe exacto de la primera cuota ($a_1$) y de la última ($a_{12}$).
2. b) Con los valores hallados, calcula la diferencia $d$ de la progresión y escribe el término general $a_n$ que determina el pago de cualquier mes $n$.
3. c) Interpreta el signo de la diferencia $d$ en este contexto financiero y justifica razonadamente por qué un esquema de cuotas decrecientes puede ser ventajoso para un negocio que empieza respecto a una cuota constante tradicional.

Para financiar la matrícula de una maestría universitaria que asciende a $\$5,400$, una graduada en EE. UU. establece un plan de ahorro mensual durante 2 años (24 meses). El primer mes ingresa $\$110$ y se compromete a incrementar su aportación mensual en una cantidad fija constante $d$ cada mes sucesivo.

1. a) Modela el plan de ahorro mediante una progresión aritmética y obtén la expresión algebraica simplificada del capital total acumulado $S_{24}$ en función de la diferencia $d$.
2. b) Calcula el incremento mensual exacto $d$ que debe aplicar para reunir exactamente los $\$5,400$ al concluir el mes 24. Con dicho valor de $d$, determina cuál será la aportación que realizará en el último mes ($a_{24}$).
3. c) Al cabo de 12 meses (justo la mitad del tiempo previsto), ¿habrá logrado ahorrar la mitad del costo de la matrícula ($\$2,700$)? Calcula $S_{12}$ y razona cuantitativamente por qué en los planes con aportaciones crecientes el ahorro acumulado no crece de forma directamente proporcional al tiempo transcurrido.

Un padre le ofrece a su hija dos planes de mesada mensual:

• Plan A: $\$20$ el primer mes, aumentando $\$2$ cada mes.

• Plan B: $\$8$ el primer mes, aumentando $\$3$ cada mes.

1. a) Escribe el término general de la mesada de cada plan en el mes $n$.

1. b) ¿En qué mes coincide por primera vez la mesada mensual de ambos planes?

1. c) ¿En qué mes el total acumulado del plan B supera por primera vez al del plan A? Justifícalo con las fórmulas de la suma y por tanteo razonado.

Un inversionista coloca un capital inicial $C_0$ en un depósito bancario remunerado a una tasa de interés simple anual del $4\text{ \%}$ ($r = 0.04$). Quiere averiguar cuántos años completos deben transcurrir para que el capital total acumulado alcance al menos el triple del capital inicial invertido ($C_n \ge 3\times C_0$). Dos estudiantes proponen estrategias distintas:

• Método de Javier (término general): Modela la evolución como una progresión aritmética cuyo primer término es el capital al final del primer año, $a_1 = C_0(1 + 0.04) = 1.04\times C_0$, y cuya diferencia anual es el interés fijo generado, $d = 0.04\times C_0$. Plantea $a_n = a_1 + (n - 1)\times d \ge 3\times C_0$ y despeja $n$.

• Método de Miriam (intereses acumulados): Razona que, para triplicar el capital total, los intereses netos generados deben igualar al doble del capital inicial ($I = 2\times C_0$). Aplica la fórmula del interés simple $I = C_0\times r\times n$, plantea $C_0\times 0.04\times n \ge 2\times C_0$ y despeja $n$.

1. a) Resuelve el problema aplicando ambos métodos paso a paso. ¿Se obtiene el mismo resultado? ¿Depende el tiempo obtenido de la cuantía concreta del capital inicial $C_0$?
2. b) Compara con sentido crítico ambos caminos: ¿cuál resulta más directo y reduce el riesgo de cometer errores de desfase temporal en el índice $n$?
3. c) Generaliza el resultado: si el interés simple anual es del $r\text{ \%}$ y el objetivo es multiplicar el capital inicial por un factor $k$ ($k > 1$), deduce la fórmula simplificada que proporciona directamente los años necesarios $n$ en función de $r$ y $k$. Explica qué método te ha permitido deducirla con mayor claridad.

Dos compañeros de trabajo, Carlos y Lucía, contratan cada uno un plan de ahorro a 10 años (120 meses) en una institución financiera:

• Plan A (Carlos): Aporta $\$100$ el primer mes y aumenta su aportación en $\$2$ cada mes ($d_A = \$2$).

• Plan B (Lucía): Comienza con una aportación más baja, $\$40$ el primer mes, pero incrementa su cuota mensual a mayor ritmo, en $\$3$ cada mes ($d_B = \$3$).

1. a) Determina en qué mes concreto la aportación mensual de Lucía supera por primera vez a la de Carlos ($b_n > a_n$). ¿Significa eso que en ese mismo mes Lucía ya habrá acumulado más dinero total que Carlos? Justifica tu respuesta sin calcular aún las sumas.
2. b) Plantea las expresiones de las sumas acumuladas $S_n^A$ y $S_n^B$ y resuelve la ecuación $S_n^B = S_n^A$. Interpreta las dos soluciones que arroja la ecuación cuadrática: ¿qué significado financiero tiene la solución $n = 0$ y en qué mes exacto Lucía empataría con Carlos en dinero acumulado total si el plan continuara indefinidamente?
3. c) Sabiendo que el plan vence a los 120 meses, calcula el capital acumulado final de cada uno. Explica la aparente contradicción de por qué Carlos termina con más dinero si Lucía ha estado pagando cuotas mensuales superiores durante prácticamente la mitad de la vida del plan.