Ejercicios: Razones del ángulo suma de dos ángulos

Calcule el valor exacto de $\sin(75^\circ)$ descomponiendo el ángulo como la suma de dos ángulos notables ($45^\circ$ y $30^\circ$).

Determine el valor exacto de $\cos(105^\circ)$ utilizando la fórmula del coseno de la suma, sabiendo que $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.

Halle el valor exacto de $\tan(75^\circ)$ aplicando la fórmula de la tangente de la suma a partir de los ángulos de $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionalice el resultado si es necesario.

Simplifique la siguiente expresión trigonométrica a un solo término numérico exacto aplicando las fórmulas de adición a la inversa:

$\sin(22^\circ)\cos(8^\circ) + \cos(22^\circ)\sin(8^\circ)$

Reduzca la siguiente expresión a un valor numérico exacto:

$\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$

Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos agudos (pertenecientes al primer cuadrante), calcule el valor exacto de $\sin(\alpha + \beta)$.

Dados dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = 2$, determine el valor exacto de $\tan(\alpha + \beta)$.

Exprese $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en función de las razones trigonométricas del ángulo $x$ desarrollando la fórmula de la suma correspondiente y simplificando el resultado.

Dados los ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ y $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con $\beta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, calcule el valor exacto de $\cos(\alpha + \beta)$.

Demuestre la siguiente identidad trigonométrica desarrollando el numerador mediante la fórmula correspondiente y simplificando la fracción:

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$

En un proyecto de ingeniería solar, un panel fotovoltaico tiene una inclinación inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para optimizar la captación en invierno, un mecanismo aumenta la inclinación en un ángulo adicional de $15^\circ$. Calcule el valor exacto de $\tan(\alpha + 15^\circ)$ sin utilizar aproximaciones decimales, sabiendo que $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.

Simplifique la expresión trigonométrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ de modo que quede en función únicamente de $\cos x$ y/o $\sin x$.

Sabiendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ y que la tangente del ángulo suma es $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determine el valor exacto de $\tan \beta$ planteando la ecuación correspondiente a partir de la fórmula de adición.

Un cañón lanza un proyectil con un ángulo de elevación $\alpha$ respecto a la ladera de una montaña, cumpliéndose que $\sin \alpha = 0.6$ (siendo $\alpha$ un ángulo agudo). La propia ladera tiene una inclinación $\beta$ respecto a la horizontal con $\cos \beta = 0.96$ (siendo $\beta$ agudo). Halle el valor exacto del seno del ángulo total de lanzamiento respecto a la horizontal, es decir, $\sin(\alpha + \beta)$.

Calcule de forma exacta el valor de la expresión $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utilice este resultado geométrico para hallar el área exacta de un paralelogramo cuyos lados adyacentes miden $8$ pulgadas y $10$ pulgadas, sabiendo que el ángulo que forman es precisamente la suma de $15^\circ$ y $30^\circ$.

En un experimento de óptica, un haz de luz atraviesa dos prismas consecutivos que desvían su trayectoria en el mismo plano. El primer prisma produce una desviación $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{3}$, y el segundo una desviación adicional $\beta$ tal que $\tan \beta = \frac{1}{2}$. Demuestre que la desviación total $\alpha + \beta$ es exactamente $45^\circ$ calculando la tangente del ángulo suma.

Resuelva la ecuación trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para el intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Exprese las soluciones de forma exacta en grados.

Encuentre todas las soluciones exactas de la ecuación $\sin(x + \frac{\pi}{6}) - \cos x = 0$ en el intervalo $[0, 2\pi)$.

Desarrolle la expresión $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ en función exclusiva de los senos y cosenos de los ángulos simples $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$. Agrupe los términos adecuadamente.

Un brazo robótico planar consta de dos eslabones. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal, donde $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (estando en el primer cuadrante). El segundo eslabón forma un ángulo $\beta$ de giro relativo respecto a la prolongación del primer eslabón. Si para alcanzar una pieza crítica se requiere que la inclinación total del segundo eslabón respecto a la horizontal sea tal que $\tan(\alpha + \beta) = 2$, calcule el valor exacto de $\tan \beta$.

En cualquier triángulo no rectángulo $ABC$, sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es $A+B+C = 180^\circ$, demuestre matemáticamente la siguiente relación fundamental:

$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$

Un topógrafo observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación $\alpha$, cumpliéndose que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Detrás de este edificio, en la misma línea visual, hay una torre de telecomunicaciones. El ángulo adicional de elevación desde la azotea del edificio hasta la punta de la torre, medido desde la visual anterior, es $\beta$, con $\sin \beta = \frac{7}{25}$. Sabiendo que ambos ángulos son agudos, calcule el valor exacto del coseno del ángulo total de elevación $\alpha + \beta$ hacia la punta de la torre.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ y dé los valores exactos de $x$ e $y$ en radianes:

$\sin(x+y) = 1$

$\cos x \sin y = \frac{1}{2}$

Un avión de reconocimiento vuela inicialmente con un rumbo que forma un ángulo $\alpha$ al norte del este, verificándose que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Una fuerte corriente de viento lateral desvía su trayectoria un ángulo adicional $\beta$ hacia el norte, de modo que el rumbo efectivo sobre el suelo forma un ángulo $\alpha + \beta$ con el este. Si la torre de control mide que la tangente del rumbo efectivo es $\frac{12}{5}$, halle los valores exactos de $\sin \beta$ y $\cos \beta$ sin recurrir al cálculo de los ángulos con calculadora.