Ejercicios: Teorema del seno

En un triángulo $ABC$, se conocen los ángulos $A = 45^\circ$ y $B = 60^\circ$, y la longitud del lado $a = 12$ pulgadas. Calcule la longitud del lado $b$ utilizando el teorema del seno.

Dado un triángulo $ABC$ del que se conocen los lados $a = 15$ pulgadas, $b = 10$ pulgadas y el ángulo obtuso $A = 120^\circ$. Determine el valor del ángulo $B$.

En un triángulo cualquiera, el lado $c$ mide $24$ pulgadas y el ángulo opuesto $C$ mide $30^\circ$. Calcule el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

En el triángulo $ABC$, se sabe que la longitud del lado $a$ es el doble que la del lado $b$ ($a = 2b$). Si $\sin A = 0,8$, halle el valor exacto de $\sin B$.

Un triángulo $PQR$ tiene los ángulos $P = 50^\circ$ y $Q = 75^\circ$. Si el lado $r = 20$ pies, calcule la longitud del lado $p$.

Determine si es posible construir un triángulo $ABC$ con los siguientes datos: $a = 8$ pulgadas, $b = 14$ pulgadas y $A = 45^\circ$. Justifique su respuesta matemáticamente empleando el teorema del seno.

En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide $40^\circ$ y los lados iguales miden $15$ pulgadas. Calcule la longitud del lado desigual aplicando directamente el teorema del seno.

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. Si la relación entre dos lados es $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$ y el ángulo $B = 30^\circ$, halle la medida del ángulo $A$, sabiendo de antemano que es un ángulo agudo.

En el triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 10$ pulgadas, $b = 14$ pulgadas y el ángulo $A = 30^\circ$. Calcule los dos posibles valores para el ángulo $B$ y las longitudes correspondientes del lado $c$ para cada caso.

Dos estaciones de guardacostas, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $50$ millas a lo largo de una costa rectilínea. Un barco $S$ emite una señal de socorro. La estación $A$ detecta la señal formando un ángulo de $40^\circ$ con la línea de la costa, mientras que la estación $B$ la detecta con un ángulo de $65^\circ$. Calcule la distancia en línea recta desde cada estación hasta el barco.

Una torre antigua se ha inclinado y ahora forma un ángulo de $85^\circ$ con el suelo horizontal. Un topógrafo se sitúa a $40$ pies de la base de la torre, exactamente en la dirección hacia la que esta se inclina. Desde ese punto, mide el ángulo de elevación hasta la cúspide de la torre, obteniendo $50^\circ$. Calcule la longitud total de la torre desde su base hasta la cúspide.

Calcule el perímetro de un heptágono regular (polígono de 7 lados) que está inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ pulgadas. Utilice el teorema del seno en los triángulos isósceles que se forman desde el centro del polígono.

Una parcela de terreno con forma triangular tiene dos ángulos que miden $60^\circ$ y $75^\circ$. El lado comprendido entre estos dos ángulos está delimitado por un muro recto que mide $120$ pies. Calcule el área total de la parcela.

En un triángulo $ABC$, se cumple la proporción $\frac{a}{\sin A} = 24$. Si la suma de los ángulos $A + B = 120^\circ$ y el lado $a = 12\sqrt{3}$ pulgadas, determine la longitud exacta del lado $c$.

Un teleférico asciende en línea recta desde una estación base $A$ hasta la cima $C$ de una montaña. Desde un punto $D$, situado $200$ pies por detrás de $A$ en el mismo plano horizontal, el ángulo de elevación hacia $C$ es de $22^\circ$. Desde la estación $A$, el ángulo de elevación hacia la cima es de $35^\circ$. Calcule la longitud del cable $AC$ del teleférico resolviendo el triángulo $ADC$.

Dos observadores $A$ y $B$ están separados por $1200$ millas en la superficie terrestre (distancia que consideraremos rectilínea para este cálculo local). Ambos observan un satélite $S$ que transita en el mismo plano vertical que los une, de modo que su proyección sobre el suelo queda entre $A$ y $B$. El ángulo de elevación medido desde $A$ es de $82^\circ$ y el medido desde $B$ es de $85^\circ$. Calcule la distancia exacta desde el observador $A$ hasta el satélite.

Demuestre, partiendo del teorema del seno, que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente identidad trigonométrica que relaciona sus lados y ángulos:

$a \sin(B - C) + b \sin(C - A) + c \sin(A - B) = 0$

En un triángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta al lado opuesto $BC$ en el punto $D$. Aplique el teorema del seno en los triángulos $ABD$ y $ACD$ para demostrar formalmente el teorema de la bisectriz, es decir, que se cumple la proporción:

$\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$

Demuestre que el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a un triángulo $ABC$ está directamente relacionado con el área del triángulo $S$ mediante la fórmula:

$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$

(Pista: Exprese el área del triángulo usando el seno de uno de sus ángulos y combínelo con el teorema del seno).

En la construcción de un triángulo $ABC$, se fijan el lado $a = 10$ pulgadas y el ángulo $A = 45^\circ$. El lado $b$ tiene una longitud variable $x$ pulgadas. Determine, de forma razonada, el intervalo estricto de valores reales de $x$ para los cuales existen exactamente dos triángulos distintos que cumplen estas condiciones simultáneamente.

La ladera de una montaña presenta una inclinación constante de $15^\circ$ respecto al plano horizontal. Dos puntos $A$ y $B$ se encuentran sobre la ladera, estando $B$ situado $50$ pies más arriba que $A$ a lo largo de la pendiente. En el punto $B$ se ha instalado un poste vertical de telecomunicaciones. Desde el punto $A$, el ángulo de elevación hasta el extremo superior del poste es de $42^\circ$ medido desde la horizontal. Calcule la altura exacta del poste.

En un triángulo $ABC$, el ángulo $A$ es exactamente el doble del ángulo $B$ ($A = 2B$). Demuestre, empleando el teorema del seno y las identidades trigonométricas del ángulo doble, que las longitudes de los lados cumplen la relación $a = 2b \cos B$.

En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados $a$, $b$ y $c$ se encuentran en progresión aritmética, cumpliéndose la relación $2b = a + c$. Demuestre que los senos de los ángulos opuestos mantienen una relación análoga: $\sin A + \sin C = 2 \sin B$.

Un avión vuela en línea recta a una altitud constante. Un observador estático en tierra lo divisa inicialmente con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Exactamente $10$ segundos después, el avión, que vuela directamente hacia la vertical del observador, es divisado con un ángulo de elevación de $45^\circ$. Si la velocidad constante del avión es de $600$ mph, calcule la altitud a la que vuela resolviendo el triángulo formado por el observador y las dos posiciones del avión mediante el teorema del seno.