Ejercicios: Razones del ángulo doble

Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcule el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.

Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determine el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.

Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcule el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.

Simplifique la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto:

$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$

Calcule el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora:

$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$

Escriba la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo:

$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$

Halle el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble:

$\frac{2\tan(22.5^\circ)}{1 - \tan^2(22.5^\circ)}$

Sabiendo que $\cos(x) = 0.6$, determine el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo simple.

En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que $\tan(\alpha) = 0.4$. Por motivos de drenaje de agua, la segunda cubierta se ha diseñado con un ángulo de inclinación que es exactamente el doble que el de la primera, es decir, $2\alpha$. Calcule la pendiente exacta (tangente) de la segunda cubierta.

En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la velocidad inicial, $\theta$ es el ángulo de lanzamiento y $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un cañón de prueba dispara un proyectil con una velocidad inicial de $30 \text{ m/s}$ y se desea alcanzar un objetivo situado a $45 \text{ m}$ de distancia, halle los posibles ángulos de lanzamiento $\theta$ en grados.

Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:

$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$

Un mecanismo de tijera para un elevador hidráulico tiene un pivote central que forma un ángulo de apertura $2\alpha$. La fuerza de cizalladura en el pasador central viene dada por una expresión proporcional a $F(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$. Demuestre que esta expresión se puede simplificar a una única razón trigonométrica del ángulo $\alpha$.

Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica y dé las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$:

$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$

Un rayo de luz incide sobre un sistema de espejos de manera que su ángulo de desviación final es $2\theta$. Si las mediciones del laboratorio indican que $\cos(2\theta) = 0.28$ y sabemos que el ángulo de incidencia $\theta$ es agudo, determine el valor exacto de $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$.

Demuestre la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo:

$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$

En el rombo $ABCD$ de la figura, las diagonales miden $AC = 16 \text{ cm}$ y $BD = 12 \text{ cm}$. Sea $\alpha$ la mitad del ángulo interior en el vértice $A$. Calcule el valor exacto de $\sin(2\alpha)$ y $\cos(2\alpha)$ para determinar el seno y el coseno del ángulo completo $\widehat{A}$.

Demuestre la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:

$\frac{1 + \sin(2x) - \cos(2x)}{1 + \sin(2x) + \cos(2x)} = \tan(x)$

Un brazo robótico plano consta de dos eslabones, ambos de longitud $L$. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con el eje horizontal positivo. El segundo eslabón forma un ángulo $2\alpha$ respecto a la horizontal. La coordenada $x$ del efector final $P$ viene dada por la expresión $x_P = L\cos(\alpha) + L\cos(2\alpha)$. Determine el valor exacto del ángulo $\alpha \in [0, \pi/2]$ para el cual el efector final se sitúa exactamente sobre el eje Y ($x_P = 0$).

Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:

$\tan(2x) \cdot \tan(x) = 1$

Encuentre los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $\cos(2x) - 4\sin(x) + k = 0$ tiene exactamente una solución en el intervalo $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.

Demuestre primero la identidad $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2x)$. A continuación, utilice este resultado para resolver la ecuación $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \frac{1}{2}$ en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.

En una circunferencia de centro $O$ y radio $R$, el ángulo central $\widehat{AOB}$ mide $2\alpha$ y subtiende la cuerda $AB$. Un punto $P$ situado en el arco mayor subtiende un ángulo inscrito $\widehat{APB}$ que mide $\alpha$. Sabiendo que $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$, calcule la razón (el cociente) entre el área del triángulo central $\triangle OAB$ y el área del triángulo inscrito $\triangle PAB$.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \pi/2]$:

$\begin{cases} \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y) = 1 \\ \cos(2x) - \cos(2y) = 0 \end{cases}$

La función de ingresos de una empresa por la venta de un producto estacional viene dada por la expresión $I(x) = 5\sin(x)\cos(x) - 2\sin^2(x) + 1$, donde $x$ es el tiempo en meses transcurrido ($x \ge 0$). Exprese $I(x)$ en función de $\sin(2x)$ y $\cos(2x)$, y determine el ingreso máximo que puede alcanzar la empresa.