Ejercicios: Discusión de sistemas con un parámetro

Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = m \end{array} \right. $

Determine el valor de $k$ para que el siguiente sistema sea compatible indeterminado e interprete geométricamente el resultado:

$ \left\{ \begin{array}{l} kx + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{array} \right. $

Calcule para qué valor del parámetro $a$ el sistema es incompatible:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + ay = 7 \\ 2x - 4y = 3 \end{array} \right. $

Dado el siguiente sistema escalonado, discuta sus soluciones en función del parámetro $p$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ 2y - z = 4 \\ (p - 3)z = 5 \end{array} \right. $

Halle el valor del parámetro $t$ para que el par $(2, -1)$ sea la solución del sistema:

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x + ty = 8 \\ tx - 5y = 9 \end{array} \right. $

Discuta el siguiente sistema en función del parámetro $b$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 1 \\ bx + 4y = -2 \end{array} \right. $

Estudie la posición relativa de las rectas $r: 5x + 2y = 1$ y $s: 10x + 4y = k$ en función del parámetro $k$.

Determine el valor de $c$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones:

$ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $

En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción de dos tipos de microchips viene dado por un sistema de ecuaciones lineales. Si $p$ representa un impuesto variable sobre el primer microchip, el sistema es:

$ \left\{ \begin{array}{l} (p+1)x + 3y = 25 \\ 2x + py = 10 \end{array} \right. $

Discuta el sistema en función del impuesto $p$.

Aplique el método de Gauss para discutir el siguiente sistema en función del parámetro $m$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{array} \right. $

Tres trayectorias de drones de vigilancia en un plano vienen dadas por las ecuaciones de tres rectas. Determine el valor del parámetro $a$ para que los tres drones pasen por el mismo punto exacto (es decir, que el sistema tenga solución única).

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \\ 2x + ay = 4 \end{array} \right. $

Discuta el siguiente sistema en función del parámetro $k$ e indique para qué valores el sistema representa dos rectas secantes, paralelas o coincidentes. Resuélvalo para $k = 0$.

$ \left\{ \begin{array}{l} kx + (k-1)y = 2 \\ 3x + ky = k+1 \end{array} \right. $

En un experimento químico se mezclan tres sustancias. Las condiciones de equilibrio del experimento dependen de un catalizador cuya concentración es $c$. El modelo matemático es el siguiente sistema homogéneo:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 0 \\ 2x - cy + 3z = 0 \\ cx + 2y - 2z = 0 \end{array} \right. $

Determine para qué valores de la concentración $c$ el sistema tiene soluciones distintas a la trivial ($x=0, y=0, z=0$).

Discuta la compatibilidad del siguiente sistema en función del parámetro $a$:

$ \left\{ \begin{array}{l} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{array} \right. $

Un inversor reparte su capital en tres fondos de inversión. La rentabilidad del tercer fondo depende de una tasa de interés $r$. Las ecuaciones que modelan los beneficios son:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 100 \\ 2x + y + 3z = 150 \\ x - y + rz = 50 \end{array} \right. $

Discuta el sistema según los valores de la tasa $r$.

Halle los valores del parámetro $m$ para los cuales el siguiente sistema de ecuaciones es incompatible, y resuélvalo para $m = 2$:

$ \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2z = 3 \\ 2x + my - z = 1 \\ 3x - 2y + z = m \end{array} \right. $

Discuta el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$, utilizando el método de Gauss. Para el caso en que sea compatible indeterminado, halle la solución general expresada en función de un parámetro $\lambda$.

$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - z = 1 \\ -x + y + 3z = 2 \\ 2x + y + kz = -1 \end{array} \right. $

En el análisis de una red de tráfico urbano, el flujo de vehículos por hora en tres intersecciones principales se modela mediante un sistema de ecuaciones. Debido a unas obras, una de las vías tiene una capacidad variable $m$. El sistema que rige el flujo es:

$ \left\{ \begin{array}{l} mx + y + z = m \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m \end{array} \right. $

Discuta el flujo de la red (compatibilidad del sistema) para todos los valores reales de $m$.

Estudie la posición relativa de los tres planos en el espacio tridimensional dados por el siguiente sistema, en función del parámetro $a$.

$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 3z = 1 \\ x + ay - z = 2 \\ 3x + 2y + 2z = a \end{array} \right. $

Acompañe la discusión con la siguiente representación gráfica de la situación geométrica cuando el sistema es incompatible y los planos se cortan dos a dos formando un prisma triangular.

Una empresa de logística distribuye tres tipos de mercancías utilizando una flota de camiones. Las restricciones de peso, volumen y tiempo de entrega generan el siguiente sistema de ecuaciones, donde $t$ es un parámetro relacionado con el tiempo máximo permitido:

$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + tz = 1 \\ tx + y + z = t \\ x + ty + z = t^2 \end{array} \right. $

Discuta el sistema según los valores de $t$ y resuelva para el caso $t = -2$.

Discuta el siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$. Preste especial atención a los valores que anulan los coeficientes principales durante el proceso de triangulación de Gauss.

$ \left\{ \begin{array}{l} x + \alpha y - z = 2 \\ 2x - y + \alpha z = 5 \\ x + 10y - 6z = 1 \end{array} \right. $

En un estudio de dinámica de poblaciones, la interacción entre tres especies (depredador, presa y planta) en estado de equilibrio se describe con el siguiente sistema, donde $\beta$ representa la tasa de consumo de la presa por el depredador:

$ \left\{ \begin{array}{l} \beta x + y + z = 4 \\ x + y + z = \beta + 2 \\ x - y + \beta z = 2 \end{array} \right. $

Determine los valores de $\beta$ para los que el ecosistema tiene un único punto de equilibrio, infinitos o ninguno.

Considere las tres rectas en el plano dadas por las ecuaciones:

$r: x + 2y = 3$

$s: 2x - y = 1$

$t: mx + (m+1)y = 4$

Discuta la posición relativa de las tres rectas en función del parámetro $m$. Observe el siguiente diagrama que ilustra la situación en la que las tres rectas se cortan en un único punto (haz de rectas concurrentes).

Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$ y halle la solución cuando sea compatible indeterminado:

$ \left\{ \begin{array}{l} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = m \\ 2x - 5y + mz = -1 \end{array} \right. $