Ejercicios: Definiciones y propiedades

Un creador de contenido en TikTok decide sortear tres premios diferentes entre sus seguidores. Para ello, utiliza un bombo con bolas numeradas del $1$ al $20$. Se considera el experimento aleatorio de extraer una bola y anotar su número.

Define los siguientes elementos:

1. a) El espacio muestral $E$.
2. b) El suceso $A$: "obtener un número que sea múltiplo de $5$".
3. c) El suceso $B$: "obtener un número primo mayor que $10$".
4. d) El suceso $C$: "obtener un número menor que $4$".

Escriba todos los sucesos elementales que forman cada uno de los conjuntos anteriores.

En una urna hay $12$ bolas de colores: $5$ son rojas, $4$ son azules y $3$ son amarillas. Se extrae una bola al azar y observamos su color. Utilizando la Regla de Laplace, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. a) $P(R)$: "la bola sea roja".
2. b) $P(A \cup M)$: "la bola sea azul o amarilla".
3. c) $P(\bar{R})$: "la bola no sea roja".
4. d) $P(V)$: "la bola sea verde".

Observe el siguiente diagrama de Venn que representa los sucesos $A$ y $B$ dentro de un espacio muestral $E$. Los números representan la cantidad de sucesos elementales en cada región.

Si el experimento consiste en elegir al azar uno de los sucesos elementales de $E$, todos ellos equiprobables, calcule:

1. a) $P(A)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(A \cup B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (que no esté ni en $A$ ni en $B$).

Una aplicación de música ha analizado las preferencias de un grupo de jóvenes. Se sabe que la probabilidad de que a un usuario le guste el Trap es $P(T) = 0,65$, la probabilidad de que le guste el Pop es $P(P) = 0,40$ y la probabilidad de que le gusten ambos géneros es $P(T \cap P) = 0,15$.

Calcule la probabilidad de que, al elegir un usuario al azar:

1. a) Le guste el Trap o el Pop.
2. b) No le guste el Trap.
3. c) Le guste el Trap pero no el Pop ($P(T - P)$).

Indique razonadamente si las siguientes asignaciones de probabilidad para un espacio muestral $E = \{x_1, x_2, x_3\}$ son válidas según los axiomas de Kolmogorov:

1. a) $P(x_1) = 0,4; \quad P(x_2) = 0,3; \quad P(x_3) = 0,3$
2. b) $P(x_1) = 0,7; \quad P(x_2) = -0,1; \quad P(x_3) = 0,4$
3. c) $P(x_1) = 0,5; \quad P(x_2) = 0,5; \quad P(x_3) = 0,2$
4. d) $P(x_1) = 1; \quad P(x_2) = 0; \quad P(x_3) = 0$

Se lanza un dado de seis caras numeradas del $1$ al $6$. Se consideran los sucesos:

• $A = \{2, 4, 6\}$ (salir par)

• $B = \{1, 2, 3\}$ (salir menor o igual que $3$)

• $C = \{5\}$ (salir el cinco)

Determine si las siguientes parejas de sucesos son compatibles o incompatibles:

1. a) $A$ y $B$
2. b) $A$ y $C$
3. c) $B$ y $C$

Justifique su respuesta comprobando si la intersección de cada pareja es el conjunto vacío $\emptyset$.

En una escuela secundaria, el $25\%$ de los estudiantes de 11.º grado están inscritos en clases de guitarra, y el $15\%$ están inscritos en clases de piano. Si sabemos que no hay ningún estudiante que estudie ambos instrumentos a la vez:

1. a) ¿Cómo se llaman este tipo de sucesos en probabilidad?
2. b) Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido al azar estudie guitarra o piano.
3. c) Calcule la probabilidad de que un estudiante no estudie ninguno de estos dos instrumentos.

Se extrae una carta de una baraja española de $40$ naipes. Calcule la probabilidad de obtener:

1. a) Un rey.
2. b) Una carta de copas.
3. c) El as de oros.
4. d) Una figura (sota, caballo o rey).
5. e) Una carta que no sea un as.

En una plataforma de streaming, el $65\ \%$ de los suscriptores ha visto la última temporada de una serie de ciencia ficción ($S$), el $40\ \%$ ha visto un documental sobre naturaleza ($D$) y el $25\ \%$ ha visto ambos contenidos. Si se selecciona un usuario al azar, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Que haya visto la serie o el documental.

b) Que no haya visto ni la serie ni el documental.

c) Que haya visto la serie pero no el documental.

Se ha realizado una encuesta a los estudiantes de una escuela secundaria sobre el uso de redes sociales. Se sabe que la probabilidad de que un estudiante use Instagram ($I$) es $P(I) = 0,82$ y la probabilidad de que use TikTok ($T$) es $P(T) = 0,55$. Si la probabilidad de que no use ninguna de las dos es $P(\bar{I} \cap \bar{T}) = 0,10$, utilice las Leyes de Morgan para calcular:

a) La probabilidad de que use al menos una de las dos redes sociales.

b) La probabilidad de que use ambas simultáneamente.

c) ¿Son los sucesos "usar Instagram" y "usar TikTok" incompatibles? Razone la respuesta.

En una academia de idiomas, los alumnos se dividen según el nivel que cursan y el idioma elegido. Los datos se recogen en la siguiente tabla de contingencia:

	Inglés ($A$)	Francés ($B$)	TOTAL
Nivel B1 ($M$)	$45$		$75$
Nivel B2 ($N$)		$20$
TOTAL	$100$

a) Complete los datos que faltan en la tabla.

b) Si se elige un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que estudie Francés o sea del nivel B2.

c) Sabiendo que el estudiante elegido es del nivel B1, ¿cuál es la probabilidad de que estudie Inglés?

Un equipo de e-sports participa en un torneo con dos fases eliminatorias independientes. La probabilidad de superar la primera fase es $0,7$ y la de superar la segunda es $0,6$. Represente la situación mediante un diagrama de árbol y calcule:

a) La probabilidad de que el equipo gane ambas fases.

b) La probabilidad de que sea eliminado en alguna de las dos fases.

c) La probabilidad de que supere exactamente una de las dos fases.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos asociados a un experimento aleatorio de los que se conocen sus probabilidades: $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cup B) = 0,7$.

a) Calcule $P(A \cap B)$.

b) Determine si $A$ y $B$ son sucesos independientes.

c) Calcule la probabilidad del suceso unión de los contrarios, es decir, $P(\bar{A} \cup \bar{B})$.

En un centro de salud juvenil, el $30\ \%$ de los pacientes acude por motivos nutricionales ($N$), el $50\ \%$ por salud mental ($S$) y el $20\ \%$ por revisiones rutinarias ($R$). Se sabe que el $10\ \%$ de los que acuden por nutrición, el $20\ \%$ por salud mental y el $5\ \%$ por revisiones son mayores de 18 años ($M$).

a) Calcule la probabilidad de que un paciente elegido al azar sea mayor de 18 años.

b) Si se elige un paciente y resulta ser mayor de 18 años, ¿cuál es la probabilidad de que haya acudido por motivos de salud mental?

Una caja contiene 10 audífonos inalámbricos, de los cuales 3 son defectuosos. Si se extraen dos audífonos de forma consecutiva y sin reemplazo, calcule la probabilidad de que:

a) Los dos audífonos funcionen correctamente.

b) Al menos uno de los audífonos sea defectuoso.

c) El segundo audífono sea defectuoso sabiendo que el primero no lo era.

En un sorteo benéfico organizado por estudiantes para el viaje de fin de curso, se venden boletos numerados del $000$ al $999$. Consideramos los sucesos:

$A =$ "El número termina en cifra par (0, 2, 4, 6, 8)".

$B =$ "El número es múltiplo de 25".

a) Calcule $P(A)$ y $P(B)$ aplicando la Regla de Laplace.

b) ¿Son $A$ y $B$ sucesos compatibles o incompatibles? Justifique su respuesta encontrando el suceso $A \cap B$.

c) Calcule la probabilidad de que el número premiado termine en par o sea múltiplo de 25.

Dados dos sucesos $A$ y $B$ asociados a un mismo experimento aleatorio, sabemos que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,2$. Además, se conoce que $P(A) = 0,5$ y que la probabilidad de que ocurra $A$ pero no ocurra $B$ es $P(A - B) = 0,3$.

Calcule de forma razonada, utilizando las propiedades de la probabilidad y las leyes de Morgan:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cap B)$
3. c) $P(B)$
4. d) $P(\bar{A} \cup \bar{B})$

En un prestigioso torneo de e-Sports, se debe elegir un comité de control de dopaje digital formado por 4 miembros. El grupo de candidatos está compuesto por 8 analistas de datos y 6 expertos en ciberseguridad. Si la selección se realiza de forma aleatoria, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos:

1. a) El comité está formado exclusivamente por expertos en ciberseguridad.
2. b) En el comité hay, al menos, un representante de cada perfil.
3. c) El número de analistas de datos es estrictamente superior al de expertos en ciberseguridad.

Un estudio de mercado sobre el consumo de plataformas digitales en jóvenes de 16 años revela que el $70\%$ utiliza Spotify, el $55\%$ utiliza TikTok y el $45\%$ utiliza Netflix. Además, se sabe que el $30\%$ usa Spotify y TikTok, el $25\%$ usa Spotify y Netflix, y el $20\%$ utiliza TikTok y Netflix. Solo un $10\%$ de los jóvenes utiliza las tres plataformas simultáneamente.

Si se selecciona un joven al azar, calcule y explique la probabilidad de que:

1. a) Utilice alguna de las tres plataformas.
2. b) No utilice ninguna de estas plataformas.
3. c) Utilice únicamente una de las tres plataformas.

Demuestre razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, aportando un contraejemplo numérico en caso de que sean falsas:

1. a) Si dos sucesos $A$ y $B$ son incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), entonces deben ser obligatoriamente dependientes.
2. b) Si $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, entonces los sucesos $A$ y $B$ son independientes.
3. c) Si $P(A) = 0,6$ y $P(B) = 0,5$, entonces los sucesos $A$ y $B$ no pueden ser incompatibles.

En un centro educativo, el $65\%$ de los estudiantes practica fútbol ($F$) y el $50\%$ practica básquetbol ($B$). Sabiendo que la probabilidad de que un estudiante no practique ninguno de los dos deportes es $P(\bar{F} \cap \bar{B}) = 0,15$:

1. a) Determine si los sucesos $F$ y $B$ son independientes.
2. b) Si el club de ajedrez ($A$) es un suceso tal que $A \subset F$ y $P(A) = 0,2$, calcule la probabilidad de que un estudiante elegido al azar practique fútbol pero no ajedrez.
3. c) Calcule $P(\bar{F} \cup \bar{B})$ e interprete su significado en el contexto del problema.

Un sistema informático de seguridad tiene tres capas de protección independientes ($C_1, C_2, C_3$). La probabilidad de que un atacante logre vulnerar la primera capa es de $0,15$; la probabilidad de vulnerar la segunda es de $0,10$ y la de la tercera es de $0,05$. El sistema solo se considera comprometido si el atacante logra superar las tres capas.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema sea comprometido?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el atacante supere al menos una capa de protección?
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el atacante supere exactamente dos de las tres capas?

Se lanza un dado de seis caras que ha sido cargado de tal forma que las caras pares tienen todas la misma probabilidad de salir, y las caras impares también tienen la misma probabilidad entre ellas. Sin embargo, se sabe que la probabilidad de obtener un número par es el triple que la de obtener un número impar.

1. a) Determine la probabilidad de cada una de las seis caras del dado.
2. b) Si se lanza el dado dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas sea un número primo?
3. c) Calcule la probabilidad de obtener al menos un número mayor que 4 en tres lanzamientos consecutivos.

En un laboratorio biológico se están analizando muestras de ADN. Se ha observado que en un experimento con 5 muestras independientes, la probabilidad de que al menos una muestra presente una mutación específica es de $0,67232$.

1. a) Calcule la probabilidad de que una muestra individual elegida al azar presente dicha mutación (suponiendo que es la misma para todas las muestras).
2. b) Si se analizan 3 muestras, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente dos presenten la mutación?
3. c) ¿Cuántas muestras habría que analizar, como mínimo, para que la probabilidad de encontrar al menos una mutación sea superior a $0,95$?