Ejercicios: Chi-cuadrado e inferencia sobre la regresión

Una empresa de dulces afirma que sus bolsas de gomitas contienen un $30\%$ de gomitas rojas, un $20\%$ de amarillas, un $20\%$ de verdes, un $15\%$ de naranjas y un $15\%$ de moradas. Un estudiante de estadística compra una bolsa grande que contiene $150$ gomitas para realizar una prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado ($\chi^2$). Calcula el conteo esperado de gomitas naranjas que el estudiante debe usar para su prueba.

Un investigador de mercado seleccionó aleatoriamente a $200$ adultos de una ciudad y les preguntó sobre su principal fuente de noticias. Los resultados se resumen en la siguiente tabla.

Si se realiza una prueba de chi-cuadrado para la independencia, ¿cuál es el conteo esperado para la celda correspondiente a "Jóvenes" que prefieren "Internet"?

Un sociólogo está investigando si existe una asociación entre la región de Estados Unidos en la que vive una persona (Noreste, Sur, Medio Oeste, Oeste) y su tipo de vehículo preferido (Sedán, SUV, Camioneta, Híbrido, Eléctrico). Recolecta una muestra aleatoria de $1,500$ conductores y organiza los datos en una tabla de contingencia de dos vías. Determina los grados de libertad que se utilizarán para la prueba de chi-cuadrado de independencia.

Un analista de bienes raíces quiere predecir el precio de venta de una casa (en miles de dólares) basándose en su tamaño (en pies cuadrados). Toma una muestra aleatoria de $40$ casas vendidas recientemente en un suburbio de Chicago y utiliza un software estadístico para ajustar una recta de regresión de mínimos cuadrados. Parte de la salida de la computadora se muestra a continuación.

Identifica el valor de la pendiente de la muestra ($b$) y el error estándar de la pendiente ($SE_b$) a partir de la salida de la computadora.

Un profesor cree que existe una relación lineal positiva entre la cantidad de horas que un estudiante estudia para el examen final y la puntuación obtenida. Recopila datos de $25$ estudiantes y realiza una inferencia sobre la pendiente de la recta de regresión. La salida de la computadora muestra que para la variable Horas, el valor $T$ es $2.84$ y el valor $P$ es $0.009$. Si el profesor realiza una prueba de hipótesis con $H_0: \beta = 0$ y $H_a: \beta > 0$, determina el valor $p$ correcto para esta prueba unilateral, asumiendo que la salida de la computadora reporta el valor $P$ bilateral por defecto.

Se sospecha que un dado de seis caras utilizado en un casino de Las Vegas está trucado. Para probar esto, un inspector lanza el dado $120$ veces. Si el dado fuera justo, se esperarían $20$ apariciones de cada número. Sin embargo, el número $6$ apareció $32$ veces en la muestra. Calcula la contribución individual de la categoría "número 6" al estadístico de prueba chi-cuadrado ($\chi^2$).

Un biólogo quiere realizar una prueba de chi-cuadrado de bondad de ajuste para ver si la distribución de tipos de sangre (A, B, AB, O) en una pequeña población de lobos coincide con la distribución histórica (40%, 30%, 10%, 20%). Toma una muestra aleatoria de $30$ lobos. Verifica si se cumple la condición de los conteos esperados para realizar la prueba de chi-cuadrado y justifica tu respuesta.

Una investigadora está estudiando la relación entre el peso de un automóvil (en libras) y su eficiencia de combustible (en millas por galón). Toma una muestra aleatoria de $18$ modelos de automóviles diferentes y ajusta un modelo de regresión lineal simple. Si desea construir un intervalo de confianza para la verdadera pendiente de la recta de regresión poblacional, ¿cuántos grados de libertad debe usar para encontrar el valor crítico $t^*$?

El departamento de transporte de una ciudad afirma que los colores de los automóviles en la ciudad siguen la distribución nacional: $35\%$ blancos, $25\%$ negros, $20\%$ plateados/grises, $10\%$ rojos y $10\%$ de otros colores. Un estudiante de secundaria toma una muestra aleatoria de $200$ automóviles en un estacionamiento local y observa las siguientes frecuencias: $80$ blancos, $40$ negros, $30$ plateados/grises, $30$ rojos y $20$ de otros colores. Calcula el valor del estadístico de prueba chi-cuadrado ($\chi^2$) para evaluar si la distribución local difiere de la nacional.

Considera los dos siguientes diseños de estudio:

• Estudio A: Un investigador selecciona una muestra aleatoria de $500$ adultos en Texas y les pregunta sobre su nivel educativo (Secundaria, Universidad, Posgrado) y su estado de empleo (Empleado, Desempleado).

• Estudio B: Un investigador selecciona tres muestras aleatorias independientes: $150$ personas de Nueva York, $150$ de Florida y $150$ de California. A todos se les pregunta cuál es su red social favorita (Instagram, TikTok, Twitter).

Identifica qué tipo de prueba de chi-cuadrado (Independencia o Homogeneidad) es apropiada para el Estudio A y cuál para el Estudio B, basándote en cómo se recolectaron los datos.

Una empresa de neumáticos quiere entender cómo la profundidad del dibujo de un neumático (en milímetros) disminuye a medida que aumenta la cantidad de millas conducidas (en miles de millas). Se toma una muestra aleatoria de $22$ neumáticos. La salida de la regresión lineal se muestra a continuación:

Sabiendo que para $df = 20$ el valor crítico es $t^* = 2.086$, construye el intervalo de confianza del $95\%$ para la pendiente de la recta de regresión poblacional.

En una prueba de chi-cuadrado para la independencia entre el hábito de fumar (Fumador, Ex-fumador, Nunca ha fumado) y el nivel de estrés laboral (Bajo, Medio, Alto) en una muestra de $300$ empleados corporativos, se obtuvo un estadístico de prueba de $\chi^2 = 11.34$. Determina los grados de libertad de la prueba y establece si hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula a un nivel de significancia de $\alpha = 0.05$. (Nota: para este $df$, el valor crítico de $\chi^2$ al $5\%$ es $9.49$ y al $1\%$ es $13.28$).

Un economista investiga la relación entre la tasa de desempleo ($x$, en porcentaje) y la tasa de criminalidad ($y$, incidentes por $100,000$ habitantes) en $30$ ciudades estadounidenses de tamaño similar. Al ajustar un modelo de regresión lineal, obtiene una pendiente muestral de $b = 15.4$ con un error estándar de $SE_b = 6.2$. Realiza el cálculo del estadístico $t$ para probar la hipótesis nula $H_0: \beta = 0$ frente a $H_a: \beta \neq 0$ y especifica los grados de libertad de la prueba.

Se realiza un estudio para ver si la proporción de estudiantes que participan en actividades extracurriculares difiere entre tres escuelas secundarias (A, B y C). Se toma una muestra aleatoria de cada escuela. En la Escuela A se encuestó a $100$ estudiantes, en la B a $150$ y en la C a $250$. En total, $200$ estudiantes de la muestra combinada participan en actividades. Si la hipótesis nula de homogeneidad es cierta, ¿cuál es el número esperado de estudiantes en la Escuela B que no participan en actividades extracurriculares?

Para verificar las condiciones de inferencia sobre la pendiente de una recta de regresión que predice el costo mensual de electricidad basándose en los metros cuadrados de una casa, un estudiante crea el siguiente gráfico de residuos.

Basándote en el gráfico, ¿qué condición fundamental para la inferencia de regresión (LINER) parece estar siendo violada y por qué?

Un botánico quiere probar si la distribución de tipos de árboles en un parque nacional coincide con los registros de hace 50 años. Los registros históricos indican: $60\%$ Pinos, $25\%$ Robles, $10\%$ Arces, $3\%$ Abedules y $2\%$ Cerezos. El botánico toma una muestra aleatoria de $150$ árboles. Al calcular los conteos esperados, descubre que una de las condiciones para la prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado no se cumple. Identifica qué categorías causan el problema y propón un método estándar aceptado estadísticamente para solucionar este problema y poder proceder con la prueba.

Un analista de marketing está estudiando la relación entre el presupuesto de publicidad (en miles de dólares) y los ingresos por ventas (en decenas de miles de dólares) de $27$ sucursales de una tienda minorista. Parte de la salida de la computadora se ha borrado accidentalmente (indicado con ?).

Utilizando la información disponible en la tabla, calcula el valor faltante del error estándar de la pendiente ($SE_b$) y determina si el valor $P$ faltante para la pendiente será mayor o menor que $0.01$ en una prueba bilateral (considera que para $df=25$, el valor crítico $t$ al $1\%$ es aproximadamente $2.787$).

El gerente de control de calidad de una fábrica de productos electrónicos en Silicon Valley quiere saber si el tipo de defecto encontrado en los teléfonos celulares es independiente del turno en el que se fabricaron. Toma una muestra aleatoria de $400$ teléfonos defectuosos.

Calcula la contribución de la celda "Mañana - Pantalla" al estadístico $\chi^2$. Luego, argumenta brevemente, basándote en la comparación entre el conteo observado y esperado de esa celda, qué indica esto sobre la calidad de la producción en el turno de la mañana respecto a las pantallas.

Un estudio analizó la relación entre la edad de una casa (en años) y sus costos anuales de mantenimiento (en dólares). A partir de una muestra de $35$ casas, se generó un intervalo de confianza del $95\%$ para la pendiente de la recta de regresión poblacional, resultando en $(15.4, 42.6)$.

A partir de este intervalo, determina el valor de la pendiente muestral $b$ y el margen de error. Luego, deduce el error estándar de la pendiente ($SE_b$), asumiendo que el valor crítico $t^*$ utilizado fue aproximadamente $2.035$. Finalmente, concluye si existe evidencia significativa al nivel $\alpha = 0.05$ para afirmar que la edad de la casa es un predictor lineal útil del costo de mantenimiento.

Una cadena de cafeterías a nivel nacional quiere evaluar la satisfacción del cliente. Considera dos metodologías:

• Método 1: Seleccionar al azar $600$ recibos de toda la base de datos nacional y clasificar a cada cliente según su nivel de satisfacción (Satisfecho, Neutral, Insatisfecho) y la región donde compró (Norte, Sur, Este, Oeste).

• Método 2: Seleccionar al azar $150$ clientes del Norte, $150$ del Sur, $150$ del Este y $150$ del Oeste, y preguntarles su nivel de satisfacción.

Aunque las tablas de contingencia resultantes tendrían las mismas dimensiones ($3 \times 4$), la hipótesis nula, el nombre de la prueba y la justificación difieren. Explica detalladamente cuál prueba de chi-cuadrado corresponde a cada método y formula la hipótesis nula para el Método 2.

Un investigador estudia el crecimiento poblacional de una ciudad a lo largo del tiempo. Sabe que el crecimiento poblacional a menudo sigue un modelo exponencial, por lo que decide transformar la variable de respuesta. Sea $x$ el número de años desde el 2000 y $y$ la población. Ajusta un modelo de regresión lineal de $\ln(y)$ sobre $x$ usando datos de $20$ años. La salida indica que la pendiente es $b = 0.045$ con un $SE_b = 0.008$.

Realiza una prueba de hipótesis completa (estadístico de prueba, grados de libertad y conclusión) a un nivel de $\alpha = 0.01$ para determinar si existe una relación exponencial positiva estadísticamente significativa entre el tiempo y la población. (Nota: asume que las condiciones para la inferencia se cumplen. Para $df=18$, el valor $t$ crítico unilateral al $1\%$ es $2.552$).

En un experimento de genética de plantas que sigue las leyes de Mendel, se cruzan dos plantas heterocigotas. La teoría predice que la descendencia mostrará cuatro fenotipos (Alto/Verde, Alto/Amarillo, Bajo/Verde, Bajo/Amarillo) en una proporción de $9:3:3:1$. Un estudiante de agricultura cultiva $320$ de estas plantas y observa $190$ Altas/Verdes, $50$ Altas/Amarillas, $65$ Bajas/Verdes y $15$ Bajas/Amarillas.

Calcula el estadístico de prueba $\chi^2$ y determina si hay evidencia suficiente al nivel de significancia del $5\%$ para rechazar el modelo mendeliano. (Para $df=3$, el valor crítico de $\chi^2$ al $5\%$ es $7.81$).

Se ajustó un modelo de regresión lineal simple para predecir la resistencia a la compresión del concreto ($y$) en función de la cantidad de agua utilizada en la mezcla ($x$). Para evaluar si se cumplen las condiciones para la inferencia sobre la pendiente (LINER), el software produjo tres gráficos.

Analiza los tres gráficos y determina qué condición(es) para la inferencia de regresión se cumple(n) y cuál(es) se viola(n) claramente. Justifica tu respuesta haciendo referencia específica a las características visuales de cada gráfico.

En un análisis de regresión que predice el salario inicial de los recién graduados (en miles de dólares) en función de su promedio de calificaciones (GPA), se obtiene un valor $P$ de $0.002$ para la prueba $t$ de la pendiente. El coeficiente de determinación es $R^2 = 0.12$ y el error estándar de los residuos es $s = 14.5$.

Un estudiante concluye: "Dado que el valor $P$ es muy pequeño, el GPA es un predictor extremadamente preciso del salario inicial, y los puntos de datos deben estar muy cerca de la recta de regresión".

Evalúa críticamente la conclusión del estudiante. Explica la aparente contradicción entre el valor $P$ altamente significativo y los valores de $R^2$ y $s$, utilizando el vocabulario estadístico adecuado sobre la fuerza de la relación versus la evidencia de la relación.