Ejercicios: Vectores en el plano

Dados los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 3)$, calcule las componentes del vector $\vec{AB}$ y su módulo.

Considere los vectores $\vec{u} = (3, -2)$ y $\vec{v} = (-1, 4)$. Calcule las componentes del vector resultante de la operación $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$.

Determine las coordenadas del punto medio $M$ del segmento cuyos extremos son los puntos $P(-4, 7)$ y $Q(2, -3)$.

El punto $M(1, 2)$ es el punto medio del segmento $AB$. Si conocemos las coordenadas del extremo $A(-3, 5)$, halle las coordenadas del extremo $B$.

Observe los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ representados en la cuadrícula. Escriba sus componentes y calcule analíticamente las coordenadas del vector suma $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v}$.

Indique si los vectores $\vec{a} = (6, -9)$ y $\vec{b} = (-2, 3)$ son paralelos (tienen la misma dirección). Justifique su respuesta matemáticamente.

Calcule el producto escalar de los vectores $\vec{p} = (4, 5)$ y $\vec{q} = (-2, 3)$. A partir del resultado, indique si son perpendiculares.

Halle los posibles valores de $x$ para que el vector $\vec{v} = (x, -8)$ tenga un módulo exactamente igual a $10$.

Un dron de entrega vuela con una velocidad propia representada por el vector $\vec{v}_d = (12, 5)$ mph. En ese instante, el viento sopla con una velocidad $\vec{v}_v = (-3, 2)$ mph. Calcule el vector velocidad real del dron y su rapidez (el módulo del vector resultante).

Para instalar un panel solar con forma de paralelogramo $ABCD$, los técnicos han fijado tres de sus vértices en las coordenadas $A(1, 1)$, $B(5, 2)$ y $C(6, 6)$ (en pies). Calcule las coordenadas del cuarto vértice $D$ utilizando operaciones con vectores.

En el diseño de un puente, tres pilares deben estar perfectamente alineados. En el plano del arquitecto, las bases de los pilares están situadas en las coordenadas $P(-2, 1)$, $Q(2, 3)$ y $R(8, k)$. Determine el valor de $k$ para que la alineación sea correcta.

En un experimento de física, se aplican dos fuerzas $\vec{F}_1 = (2, -1)$ N y $\vec{F}_2 = (-1, 3)$ N. Queremos obtener una fuerza resultante $\vec{R} = (4, 3)$ N combinando las dos primeras mediante un sistema que multiplica su intensidad. Halle los valores de los escalares $a$ y $b$ tales que $\vec{R} = a\vec{F}_1 + b\vec{F}_2$.

Una tubería rectilínea conecta una estación de bombeo $A(-15, 20)$ con un depósito $B(45, -12)$ (coordenadas en pies). Se quiere instalar una válvula de control exactamente en el punto medio del trayecto. Calcule las coordenadas donde se ubicará la válvula y la longitud total de la tubería.

En una mesa de billar, una bola es golpeada y sigue la trayectoria del vector $\vec{u} = (4, 3)$. Tras rebotar en la banda, su nueva trayectoria está dada por el vector $\vec{v} = (-3, k)$. Calcule el valor de $k$ para que la trayectoria de rebote forme un ángulo de $90^\circ$ con la trayectoria de llegada.

Un rayo láser parte de una fuente situada en $F(-3, -2)$ y se refleja en un espejo plano que coincide con el eje de abscisas (eje X). Si el punto exacto de impacto en el espejo es $I(1, 0)$, halle las coordenadas del punto simétrico de $F$ respecto al espejo y escriba las componentes del vector que define la trayectoria reflejada.

Averigüe si el triángulo formado por las antenas de telecomunicaciones situadas en las coordenadas $A(1, 2)$, $B(4, 6)$ y $C(9, -1)$ es un triángulo rectángulo. Utilice el producto escalar de los vectores que forman sus lados para justificar su respuesta.

Una viga de acero cuyos extremos están en las coordenadas $A(-4, 2)$ y $B(8, 14)$ debe cortarse en tres partes idénticas para fabricar soportes. Calcule las coordenadas de los dos puntos de corte $P$ y $Q$ que dividen al segmento $AB$ en tres partes de igual longitud.

Determine las coordenadas de un punto $P$ situado sobre el eje de ordenadas (eje Y) que se encuentre a la misma distancia de los puntos $A(2, 5)$ y $B(-4, 1)$.

Considere los vectores dependientes de un parámetro $\vec{u} = (m, 2)$ y $\vec{v} = (3, m-1)$. Halle los valores del parámetro $m$ en dos casos geométricos distintos:

1. a) Para que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean perpendiculares.
2. b) Para que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean paralelos.

Cuatro boyas delimitan una zona de reserva marina en los puntos $A(-2, -1)$, $B(4, 1)$, $C(5, 5)$ y $D(-1, 3)$. Demuestre en primer lugar, utilizando vectores, que la figura formada es un paralelogramo. A continuación, calcule el producto escalar de sus diagonales para comprobar si se trata específicamente de un rombo.

Encuentre las componentes de un vector $\vec{w}$ que sea perpendicular al vector $\vec{u} = (-5, 12)$ y cuyo módulo sea exactamente la mitad del módulo de $\vec{u}$. ¿Cuántas soluciones matemáticas existen para $\vec{w}$? Escríbalas todas.

Dos remolcadores tiran de un barco averiado situado en el origen de coordenadas. El primer remolcador ejerce una fuerza definida por el vector $\vec{F}_1 = (6, 8)$ kN. El segundo remolcador ejerce una fuerza $\vec{F}_2$. Sabiendo que la fuerza resultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ tiene la dirección del eje X positivo y un módulo de $12$ kN, determine las componentes del vector $\vec{F}_2$ y calcule su módulo.

Los puntos $A(-1, 3)$ y $B(5, -5)$ representan dos vértices opuestos de un terreno con forma de cuadrado $ABCD$. Calcule la longitud de la diagonal del cuadrado y el área total del terreno. A continuación, halle las coordenadas del centro exacto del cuadrado.

El baricentro $G$ (centro de gravedad) de un triángulo siempre se encuentra a una distancia de $\frac{2}{3}$ desde cualquier vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Si los vértices de una placa triangular metálica son $A(1, 1)$, $B(7, 3)$ y $C(4, 8)$, halle primero el punto medio $M$ del lado $BC$. Luego, usando el vector $\vec{AM}$, calcule las coordenadas exactas del baricentro $G$.