Ejercicios: Características de las funciones

Determine el dominio de definición de la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2-9}$.

Calcule el dominio de la función con radical $g(x) = \sqrt{2x-8}$.

Halle los puntos de intersección con los ejes de coordenadas de la función polinómica $h(x) = x^2 - 5x + 6$.

Estudie la simetría (par, impar o ninguna) de la función polinómica $p(x) = x^4 - 2x^2 + 7$.

Determine los intervalos en los que la función $q(x) = -3x + 12$ tiene signo positivo y en cuáles tiene signo negativo.

Indique cuál es el rango o imagen de la función cuadrática $r(x) = x^2 + 4$.

A partir de la representación gráfica de la parábola $y = f(x)$, indique sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como las coordenadas de su extremo relativo.

Calcule el dominio de la función logarítmica $s(x) = \log_3(x+2)$.

Halle el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x-3}}$.

Calcule los puntos de intersección con los ejes y estudie el signo de la función racional $g(x) = \frac{x^2-4}{x-1}$.

Determine analíticamente si la función $h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$ es par, impar o no tiene simetría.

Se lanza un proyectil verticalmente hacia arriba. La altura $h(t)$ en pies que alcanza tras $t$ segundos viene dada por la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Determine en qué instante alcanza la altura máxima y cuál es el valor de dicha altura.

Un agricultor dispone de $100$ pies de cerca para cercar un huerto rectangular aprovechando un muro de piedra ya existente (no necesita cerca en ese lado). Si $x$ es la longitud de los lados perpendiculares al muro, la función que describe el área es $A(x) = x(100-2x)$. Determine el dominio de la función en el contexto del problema y calcule las dimensiones que maximizan el área.

Observe la gráfica de la siguiente función periódica que modela el voltaje en un circuito electrónico. Determine su periodo $T$ y calcule el valor de $f(17)$.

Dada la función definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} 2x+6 & \text{si } x < -1 \\ x^2+3 & \text{si } x \ge -1 \end{cases}$

Halle sus puntos de intersección con los ejes y estudie su signo en todo su dominio.

Determine el dominio de definición de la función $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 3)$.

Calcule de forma razonada el dominio de la función $f(x) = \sqrt{\log_2(x-3)}$.

Determine los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(3, -4)$ y que interseca al eje X en $x = 1$.

El costo medio mensual (en dólares) por unidad producida en una fábrica de componentes electrónicos viene dado por la función $C_m(x) = \frac{300x + 1200}{x}$, donde $x$ es el número de unidades producidas ($x > 0$). Determine el dominio en el contexto del problema, estudie su signo y demuestre analíticamente en qué intervalos el costo medio es creciente o decreciente.

Demuestre analíticamente que la función $f(x) = \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$ es impar y determine su dominio de definición.

La gráfica adjunta muestra la altura $h(t)$ en pies de una cabina de una rueda de la fortuna en función del tiempo $t$ en minutos. Sabiendo que el movimiento se modela con una función trigonométrica, determine su periodo, las alturas máxima y mínima que alcanza la cabina, y los instantes de tiempo en los que se alcanzan durante el primer ciclo completo.

Halle los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \frac{x^2+a}{x-b}$ tenga como dominio $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ e interseca al eje X en los puntos $x = 4$ y $x = -4$.

Calcule la función inversa de $f(x) = \frac{2x-5}{x+1}$ y utilícela para determinar el rango (imagen) de la función $f(x)$.

A partir de la gráfica de la función $y = f(x)$, realice un análisis completo indicando: dominio, rango, simetría, ecuaciones de las asíntotas, extremos relativos e intervalos de signo positivo y negativo.