Ejercicios: Ecuaciones con radicales

Resuelva la siguiente ecuación radical y compruebe la validez de la solución obtenida:

$\sqrt{3x - 2} = 4$

Determine el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación irracional:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Resuelva la siguiente ecuación que contiene una raíz de índice superior:

$\sqrt[3]{5x - 4} = -1$

Halle la solución de la ecuación igualando ambos radicales y verifique el resultado:

$\sqrt{x + 5} = \sqrt{3x - 1}$

El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer libremente desde una altura $h$ (en pies) viene dado por la fórmula física $t = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcule desde qué altura se dejó caer una piedra si tardó exactamente $3$ segundos en llegar al suelo.

Encuentre los valores de $x$ que verifican la siguiente igualdad con fracciones en el radicando:

$\sqrt{\frac{4x - 1}{3}} = 5$

El radio $r$ de la base de un cilindro de volumen $V$ y altura $h$ se calcula mediante la expresión $r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}}$. Si un envase cilíndrico de $15\text{ cm}$ de altura tiene un volumen de $471\text{ cm}^3$, plantee la ecuación correspondiente y halle el radio de su base (utilice la aproximación $\pi \approx 3,14$).

Resuelva la siguiente ecuación radical y explique por qué una de las posibles soluciones algebraicas obtenidas tras elevar al cuadrado no es válida:

$x - \sqrt{x + 1} = 5$

Resuelva la siguiente ecuación irracional que contiene dos radicales:

$\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 1} = 1$

Calcule la coordenada $x$ a la que debe situarse un punto $P(x, 4)$ del punto $A(-2, 1)$ para que la distancia euclídea entre ambos sea exactamente de $5$ unidades. Plantee la ecuación irracional correspondiente usando la fórmula de la distancia y resuélvela.

El costo de producción $C$ (en miles de dólares) de fabricar $x$ unidades de un componente electrónico de alta precisión sigue el modelo matemático $C(x) = 12 + \sqrt{5x + 4}$. Si el presupuesto exacto destinado para la producción de este lote es de $\$25$ miles, ¿cuántas unidades se pueden fabricar?

Encuentre las soluciones reales de la siguiente ecuación irracional aislando adecuadamente uno de los radicales antes de elevar al cuadrado:

$\sqrt{2x - 1} + \sqrt{x + 4} = 6$

El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple (en segundos) se relaciona con su longitud $L$ (en pies) mediante la expresión física $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$. Considerando la aceleración de la gravedad como $g \approx \pi^2\text{ m/s}^2$, plantee la ecuación y halle la longitud de un péndulo cuyo periodo de oscilación es exactamente de $2,5$ segundos.

Encuentre las soluciones reales de la siguiente ecuación que contiene un radical anidado (un radical dentro de otro):

$\sqrt{x + \sqrt{x + 3}} = 3$

Resuelva la siguiente ecuación irracional. Le resultará más sencillo si aplica un cambio de variable adecuado, por ejemplo $t = \sqrt{x^2 - 2}$:

$x^2 - 3\sqrt{x^2 - 2} = 6$

En un proyecto de arquitectura, se diseña una rampa de acceso apoyada en un muro vertical de $12\text{ m}$ de altura. La longitud de la rampa es $\sqrt{x^2 + 144}$ y la distancia horizontal desde el inicio de la rampa hasta la base del muro es $x$. Si por normativa de seguridad y pendiente la rampa debe medir exactamente $4\text{ m}$ más que la distancia horizontal $x$, plantee y resuelva la ecuación irracional para hallar $x$.

Resuelva la siguiente ecuación irracional que contiene tres radicales. Tenga especial cuidado al agrupar términos tras la primera elevación al cuadrado:

$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 3} = \sqrt{3x + 4}$

Un cable de fibra óptica debe conectar dos torres de comunicaciones $A$ y $B$ de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura respectivamente, pasando por un punto de anclaje $P$ situado en el suelo entre ambas torres. La distancia horizontal entre las torres es de $35\text{ m}$. Si el punto $P$ se sitúa a $x$ pies de la torre $A$, la longitud total del cable viene dada por $L = \sqrt{x^2 + 225} + \sqrt{(35 - x)^2 + 400}$. Si se dispone de exactamente $50\text{ m}$ de cable y se quiere usar en su totalidad sin cortes, determine a qué distancia $x$ se debe situar el anclaje $P$.

Determine el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación irracional $\sqrt{x + k} = x - 1$ tenga una única solución real válida de multiplicidad uno. Razone su respuesta analizando el discriminante de la ecuación cuadrática resultante y las condiciones de validez del radical.

Resuelva la siguiente ecuación que combina las propiedades de los valores absolutos con expresiones irracionales. Considere cuidadosamente los casos del valor absoluto:

$|\sqrt{3x + 1} - 4| = 2$

Resuelva la siguiente ecuación irracional con raíces de distintos índices. Le será de gran ayuda realizar el cambio de variable $t = \sqrt[6]{x}$:

$\sqrt{x} - 7\sqrt[3]{x} + 12\sqrt[6]{x} = 0$

La teoría de la relatividad especial establece que la masa relativista $m$ de un objeto en movimiento viene dada por la ecuación $m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad del objeto y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Despeje algebraicamente la velocidad $v$ en función de $m$, $m_0$ y $c$. Posteriormente, calcule a qué fracción de la velocidad de la luz $c$ debe viajar una nave espacial para que su masa relativista sea exactamente el doble de su masa en reposo.

Discuta y resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineal que involucra radicales. Puede aprovechar la estructura algebraica de la segunda ecuación (diferencia de cuadrados) para simplificar el proceso:

$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x - y = 5 \end{cases}$

Demuestre algebraicamente y de forma razonada por qué la ecuación irracional $\sqrt{x - 4} + \sqrt{2 - x} = 5$ carece de soluciones en el conjunto de los números reales. Base su demostración en el análisis del dominio de definición de los radicales implicados, sin necesidad de elevar al cuadrado ambos miembros.