Ejercicios: Distribuciones de variable discreta

Clasifica las siguientes variables aleatorias según sean discretas o continuas, justificando brevemente tu respuesta en función de si los valores son aislados o pueden tomar cualquier valor en un intervalo:

1. a) El número de notificaciones que recibe un adolescente en su celular durante una hora.
2. b) El tiempo exacto que tarda un estudiante en llegar desde su casa hasta la escuela secundaria.
3. c) El número de "me gusta" obtenidos en la última fotografía publicada en Instagram.
4. d) La estatura de los jugadores de la selección de baloncesto.

Un grupo de amigos decide crear un sistema de puntos para un juego de mesa. Lanzan un dado de seis caras y definen la variable aleatoria $X$ como "puntuación obtenida", según las siguientes reglas:

• Si sale un número par, se obtienen $2$ puntos.

• Si sale el número $1$ o el $3$, se obtiene $1$ punto.

• Si sale el número $5$, se pierden $3$ puntos (es decir, $-3$ puntos).

Escribe el espacio muestral del experimento y construye la tabla de la función de probabilidad de la variable $X$.

La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$, que representa el número de materias reprobadas en el primer período por los estudiantes de una clase:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_i$	$0,55$	$0,25$	$k$	$0,05$

1. a) Halla el valor de $k$ para que la tabla represente una distribución de probabilidad válida.
2. b) Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar haya reprobado al menos una materia.

Una cafetería cercana a la escuela secundaria quiere premiar la fidelidad de sus clientes adolescentes. Al pagar, cada cliente elige al azar una tarjeta de una urna que contiene: $5$ tarjetas con un descuento de $0,50 \in$, $3$ tarjetas con un descuento de $1 \in$ y $2$ tarjetas con un premio de un bocadillo gratis valorado en $5 \in$.

Si definimos la variable aleatoria $X$ como "valor del premio obtenido en dólares":

1. a) Indica los valores que puede tomar $X$.
2. b) Construye la tabla de la función de probabilidad.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un premio superior a $0,75 \in$?

Se ha realizado un estudio sobre el número de veces que los estudiantes de 11.º grado van al cine al mes. Los resultados se recogen en la siguiente tabla de probabilidad:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_i$	$0,1$	$0,4$	$0,3$	$0,2$

Calcula la esperanza matemática (o media) de esta distribución e interpreta el resultado obtenido en el contexto del problema.

Dada la siguiente función de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$:

$x_i$	$1$	$2$	$3$
$p_i$	$0,2$	$0,5$	$0,3$

Calcula los siguientes parámetros:

1. a) La varianza $\sigma^2$.
2. b) La desviación típica $\sigma$.

Recuerda que $\sigma^2 = \sum (x_i^2 \cdot p_i) - \mu^2$.

Observa el siguiente gráfico que representa la función de probabilidad del número de videojuegos que compran los jóvenes de una ciudad en un año:

A partir del gráfico:

1. a) Construye la tabla de la función de probabilidad.
2. b) Calcula la probabilidad de que un joven compre menos de 3 videojuegos al año.

Sea $X$ una variable aleatoria discreta que define el número de hermanos de los estudiantes de tu escuela. Su función de probabilidad viene dada por:

$P[X=0] = 0,20$

$P[X=1] = 0,45$

$P[X=2] = 0,25$

$P[X=3] = 0,10$

Calcula e interpreta las siguientes probabilidades:

1. a) $P[X \le 1]$
2. b) $P[X > 2]$
3. c) $P[1 \le X \le 2]$

Un estudio sobre hábitos de consumo en jóvenes analiza cuántos dispositivos electrónicos (celular, tableta, computadora portátil, etc.) utilizan simultáneamente para estudiar. La variable aleatoria $X$ describe este número y su distribución de probabilidad viene dada por la siguiente tabla:

$x_i$	0	1	2	3	4
$P(X=x_i)$	$0,1$	$0,2$	$k$	$0,3$	$0,1$

1. a) Calcula el valor de $k$ para que sea una distribución de probabilidad válida.
2. b) Halla la esperanza matemática $\mu$ e interpreta su significado en el contexto del problema.
3. c) Calcula la desviación típica $\sigma$ del número de dispositivos utilizados.

La siguiente gráfica representa la función de distribución $F(x) = P(X \le x)$ de una variable aleatoria discreta $X$ que cuenta el número de goles que marca un equipo de fútbol local en sus partidos en casa.

A partir de la gráfica, donde los saltos en el eje vertical corresponden a los valores $0,2$; $0,3$; $0,4$ y $0,1$ respectivamente:

1. a) Construye la tabla de la función de probabilidad $P(X = x_i)$.
2. b) Calcula la probabilidad de que el equipo marque más de un gol.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que marque al menos un gol pero menos de tres?

Se sabe que el $15\%$ de los usuarios de una plataforma de streaming cancelan su suscripción antes de terminar el mes de prueba gratuito. Si este mes se han registrado $12$ nuevos usuarios:

1. a) Justifica por qué esta situación se puede modelar mediante una distribución Binomial.
2. b) Identifica los parámetros $n$ y $p$.
3. c) Calcula la probabilidad de que exactamente $2$ usuarios cancelen la suscripción.
4. d) Calcula la probabilidad de que al menos uno de ellos cancele la suscripción.

Un examen de opción múltiple consta de $10$ preguntas con $4$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un estudiante que no ha estudiado nada decide responder al azar todas las preguntas.

1. a) ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas?
2. b) Calcula la desviación típica del número de aciertos.
3. c) Calcula la probabilidad de que obtenga un "aprobado raspado" (exactamente $5$ aciertos).
4. d) Si para aprobar necesita al menos $5$ aciertos, plantea (sin calcular el resultado final) la operación necesaria para hallar la probabilidad de aprobado.

En una empresa de fabricación de componentes para smartphones, se ha estimado que la probabilidad de que un componente sea defectuoso es de $0,02$. Los componentes se empaquetan en cajas de $50$ unidades.

1. a) Calcula la media y la varianza del número de componentes defectuosos por caja.
2. b) Calcula la probabilidad de encontrar exactamente un componente defectuoso en una caja.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja no haya ningún componente defectuoso?

Dos jugadores de e-sports, A y B, compiten en un torneo de disparos de precisión. El jugador A tiene una probabilidad de acierto del $80\%$, mientras que el jugador B tiene una probabilidad del $75\%$. Cada uno realiza $6$ disparos de forma independiente.

1. a) Calcula la probabilidad de que el jugador A acierte todos los disparos.
2. b) Calcula la probabilidad de que el jugador B acierte al menos $5$ disparos.
3. c) ¿Cuál de los dos tiene mayor probabilidad de fallar al menos un disparo? Razona la respuesta.

Un centro de adopción de mascotas sabe que el número de perros adoptados por semana sigue una distribución de probabilidad discreta. Se han recogido datos de las últimas semanas:

Perros ($x_i$)	0	1	2	3	4
$P(X=x_i)$	$0,05$	$0,15$	$0,35$	$0,25$	$0,20$

1. a) Calcula el número medio de adopciones semanales.
2. b) Si el centro recibe una subvención fija de $\$100$ por semana más $\$50$ por cada perro adoptado, define la nueva variable aleatoria $Y$ (Ingresos semanales) y calcula su esperanza matemática $E[Y]$.
3. c) Calcula la probabilidad de que en una semana los ingresos sean superiores a $\$220$.

Una compañía de seguros telefónicos ha detectado que el $10\%$ de los terminales asegurados sufren rotura de pantalla cada año. En una oficina con $20$ empleados que tienen el teléfono asegurado:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que este año se rompan exactamente $3$ pantallas?
2. b) Calcula la probabilidad de que se rompan como máximo $2$ pantallas.
3. c) ¿Cuántas pantallas rotas es "lo más normal" esperar en este grupo de empleados? (Calcula la moda de la distribución o el valor con mayor probabilidad).

Una conocida agencia de marketing digital analiza el impacto de sus creadores de contenido. Sea $X$ la variable aleatoria que representa el número de publicaciones virales que un "influencer" logra en una semana. La función de probabilidad de $X$ viene dada por la expresión:

$$P(X=x) = \frac{k}{(x+1)!} \quad \text{para } x \in \{0, 1, 2, 3\}$$

Se pide:

1. a) Determina el valor exacto de la constante $k$ para que sea una función de probabilidad válida.
2. b) Calcula la probabilidad de que el "influencer" consiga al menos dos publicaciones virales en una semana.
3. c) Halla la esperanza matemática $E[X]$ e interpreta su significado en el contexto del problema.

El gráfico siguiente representa la función de distribución $F(x)$ de una variable aleatoria discreta $X$ que mide el número de intentos necesarios para que un dron de reparto aterrice correctamente en una plataforma móvil.

A partir de la gráfica:

1. a) Obtén la tabla de la función de probabilidad $P(X=x_i)$.
2. b) Calcula la varianza $\sigma^2$ y la desviación típica $\sigma$ del número de intentos.
3. c) ¿Cuál es la probabilidad de que el dron necesite estrictamente más intentos que la media aritmética?

En un juego de azar propuesto en una feria escolar, se extraen simultáneamente dos bolas de una urna que contiene 4 bolas numeradas con el $\{1, 2, 3, 4\}$. La variable aleatoria $X$ se define como el valor absoluto de la diferencia de los números obtenidos.

1. a) Define el espacio muestral del experimento y los valores que puede tomar $X$.
2. b) Construye la tabla de la distribución de probabilidad de $X$.
3. c) El juego cuesta $\$2,50$ y el premio en dólares es igual a $X^2$. Calcula la ganancia esperada del jugador. ¿Es un juego justo, ventajoso o desventajoso para el organizador?

Una aplicación de transporte colaborativo estudia el número de pasajeros ($X$) que viajan en cada vehículo en hora pico. Se conoce la siguiente tabla incompleta de su función de probabilidad:

$x_i$	1	2	3	4
$P(X=x_i)$	$0,4$	$a$	$b$	$0,1$

Sabiendo que el número medio de pasajeros por vehículo es exactamente $2,1$:

1. a) Calcula los valores de $a$ y $b$.
2. b) Determina la probabilidad de que en un vehículo viajen más de dos personas.
3. c) Si la empresa quiere incentivar el uso compartido cobrando una tarifa de $\$T = 5 - X$ por trayecto, calcula la tarifa media que recaudará por vehículo.

Un diseñador de videojuegos está equilibrando una mecánica de "botín" (loot). Al abrir un cofre, el jugador recibe una cantidad de gemas $X$ según la siguiente distribución de probabilidad dependiente de un parámetro $m$:

Gemas ($x_i$)	10	50	100
$P(X=x_i)$	$m^2$	$m$	$0,11$

1. a) Halla el valor de $m$ (ten en cuenta que la probabilidad debe ser un valor positivo).
2. b) Calcula la desviación típica de las gemas obtenidas.
3. c) Si un jugador abre 300 cofres, ¿cuántas gemas se espera que haya acumulado en total?

Se lanzan dos dados tetraédricos (caras del 1 al 4) perfectamente equilibrados. Definimos la variable aleatoria $X$ como el máximo de las puntuaciones obtenidas en los dos dados.

1. a) Escribe la función de probabilidad de $X$ en forma de tabla.
2. b) Representa gráficamente la función de probabilidad mediante un diagrama de barras.
3. c) Calcula la probabilidad de que el valor máximo sea par sabiendo que la suma de las puntuaciones ha sido mayor que 5.

Una empresa de ciberseguridad detecta intentos de acceso no autorizados. El número de ataques diarios exitosos sigue una distribución de probabilidad dada por:

$$P(X=x) = k \cdot x \cdot (5-x) \quad \text{para } x \in \{1, 2, 3, 4\}$$

1. a) Determina el valor de la constante $k$.
2. b) Calcula el número esperado de ataques exitosos al día.
3. c) Se considera un "día crítico" si ocurren más de 2 ataques exitosos. Calcula la probabilidad de que en una semana laboral (5 días independientes) haya exactamente 2 días críticos.

Sea $X$ una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

$x_i$	-2	-1	0	1	2
$P(X=x_i)$	$0,1$	$0,2$	$0,4$	$0,2$	$0,1$

Se define una nueva variable aleatoria $Y$ mediante la transformación $Y = X^2 - 1$.

1. a) Determina los valores que puede tomar la variable $Y$ y su función de probabilidad.
2. b) Comprueba si se cumple que $E[Y] = E[X^2] - 1$.
3. c) Calcula el coeficiente de variación de $X$ ($\frac{\sigma}{\mu}$) y explica por qué en este caso particular el resultado presenta una anomalía matemática.