Ejercicios: La distribución binomial

En un popular juego de mesa de estrategia, un jugador lanza un dado especial de cuatro caras (tetraédrico) numeradas del 1 al 4. Se define la variable aleatoria $X$ como "puntuación obtenida en el dado".

1. a) Elabore la tabla de la distribución de probabilidad de la variable $X$.
2. b) Calcule la esperanza matemática o media $\mu$ e interprete su significado en el contexto del juego.

Una cafetería cercana a la escuela secundaria ha analizado el número de cafés que pide cada cliente en una mañana. La distribución de probabilidad de la variable $X$ = "número de cafés por cliente" viene dada por la siguiente tabla:

1. a) Halle el valor de $k$ para que sea una distribución de probabilidad válida.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente pida al menos 2 cafés?

Determine razonadamente si los siguientes experimentos aleatorios pueden modelizarse mediante una distribución binomial. En caso afirmativo, indique sus parámetros $n$ y $p$:

1. a) Lanzar una moneda 15 veces y anotar el número de caras obtenidas.
2. b) Extraer, una a una y sin devolución, 3 cartas de una baraja española y contar el número de oros.
3. c) Preguntar a 40 personas elegidas al azar en un centro comercial si han visto la última película de superhéroes, sabiendo que el $30\%$ de la población ya la ha visto.

Un tirador con arco tiene una probabilidad de hacer diana del $80\%$. Si realiza una tanda de 10 lanzamientos independientes, calcule los parámetros de la distribución binomial correspondiente:

1. a) Número esperado de dianas (media $\mu$).
2. b) Desviación típica $\sigma$.

Se sabe que el $10\%$ de los mensajes que recibe un influencer en sus redes sociales son críticas negativas (el resto son comentarios positivos o neutros). Si hoy ha recibido 6 mensajes nuevos:

1. a) Defina la variable aleatoria y su distribución.
2. b) Calcule la probabilidad de que exactamente 2 de esos mensajes sean críticas negativas.

En una fábrica de componentes electrónicos, la probabilidad de que un circuito sea defectuoso es de $0,02$. Si se empaquetan en cajas de 5 unidades, calcule la probabilidad de que en una caja no haya ningún circuito defectuoso.

Un examen de opción múltiple consta de 8 preguntas con 4 opciones cada una, de las cuales solo una es correcta. Si un alumno responde a todas las preguntas al azar:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna pregunta?
2. b) Utilizando el suceso contrario, calcule la probabilidad de que acierte al menos una pregunta.

Dada una distribución binomial $X \sim B(4; 0,3)$, construya su tabla de distribución de probabilidad completa calculando las probabilidades para todos los valores posibles de la variable ($k = 0, 1, 2, 3, 4$). Compruebe que la suma de todas las probabilidades es igual a 1.

Un estudio reciente sobre hábitos digitales afirma que el $35 \%$ de los adolescentes de entre 15 y 16 años prefiere utilizar podcasts como fuente principal de entretenimiento frente a las redes sociales convencionales. Si seleccionamos un grupo aleatorio de 10 estudiantes de 11.º grado:

1. a) Justifique por qué este experimento se puede modelizar mediante una distribución binomial y defina sus parámetros $n$ y $p$.
2. b) Calcule la probabilidad de que exactamente 4 de ellos prefieran los podcasts.
3. c) Halle la media y la desviación estándar del número de estudiantes que prefieren los podcasts en este grupo.

En una partida de un conocido juego de mesa, un jugador necesita sacar al menos un "6" al lanzar un dado equilibrado de seis caras en 5 intentos para evitar ser eliminado. Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale el número "6" en los 5 lanzamientos.

1. a) Determine la función de probabilidad de la variable $X$.
2. b) Calcule la probabilidad de que el jugador no sea eliminado (es decir, que obtenga al menos un seis).
3. c) Represente gráficamente la distribución mediante un diagrama de barras.

Una empresa de mensajería utiliza camionetas eléctricas para sus repartos urbanos. Se sabe por experiencia que la probabilidad de que una camioneta necesite una recarga adicional antes de terminar su turno es de $0,15$. Si la empresa tiene una flota de 8 camionetas operando simultáneamente:

1. a) Calcule la probabilidad de que, en un día determinado, como máximo 2 camionetas necesiten la recarga adicional.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 6 camionetas completen su turno sin necesidad de recarga extra? (Tenga cuidado con definir correctamente qué considera "éxito").

Una cadena de tiendas de ropa "vintage" ha comprobado que el $20 \%$ de los clientes que entran en su establecimiento realizan una compra superior a $\$50$. Si en una mañana entran 12 clientes de forma independiente:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de clientes que gasten más de $\$50$ sea igual a la media de la distribución?
2. b) Calcule la probabilidad de que al menos 3 clientes realicen dicha compra.

Un servidor de correo electrónico detecta que el $10 \%$ de los mensajes que recibe son "spam" (correo no deseado). El filtro de seguridad analiza los mensajes en bloques de 20.

1. a) Halle el número esperado de correos "spam" por bloque y su desviación estándar.
2. b) Calcule la probabilidad de que en un bloque haya exactamente un mensaje de "spam".
3. c) Si el bloque se marca como "sospechoso" cuando contiene más de 3 mensajes de "spam", ¿cuál es la probabilidad de que un bloque sea marcado como tal?

En un centro deportivo, el $75 \%$ de los usuarios inscritos en clases de natación son capaces de nadar 100 pies seguidos sin descansar. Si elegimos a 6 usuarios al azar:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos ellos sean capaces de nadar esa distancia?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea capaz?
3. c) Calcule la probabilidad de que la mitad de ellos (exactamente 3) cumplan el requisito.

Un examen de opción múltiple consta de 10 preguntas con 4 opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado nada decide responder a todas las preguntas al azar.

1. a) Determine la probabilidad de que el alumno acierte exactamente 5 preguntas.
2. b) Para aprobar el examen se necesita contestar correctamente al menos 5 preguntas. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe por puro azar?
3. c) ¿Cuál es la calificación más probable (moda) que obtendrá el alumno?

Se ha observado que el $5 \%$ de los focos LED de una determinada marca salen defectuosos de fábrica. Un hotel compra cajas de 15 unidades para renovar la iluminación de sus pasillos.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja no haya ningún foco defectuoso?
2. b) Si el hotel devuelve la caja si encuentra más de un foco defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que una caja sea devuelta?
3. c) Si se compran 100 cajas, ¿en cuántas de ellas se espera encontrar exactamente 2 focos defectuosos? (Utilice la probabilidad calculada para una sola caja).

Un creador de contenido en una conocida red social sabe que la probabilidad de que un seguidor comparta uno de sus videos es exactamente $p = 0,02$. Si el creador publica una serie de videos y quiere estar seguro, con una probabilidad superior al $95\%$, de que al menos uno de sus videos sea compartido por un seguidor específico que visualiza todos sus contenidos:

1. a) Determine el número mínimo de videos, $n$, que debe publicar para alcanzar dicho objetivo.

1. b) Si finalmente publica $n = 150$ videos, calcule la esperanza matemática y la desviación estándar del número de videos compartidos por ese seguidor. Interprete el significado de la esperanza en este contexto.

En una línea de ensamblaje de componentes para e-sports, se ha determinado que la probabilidad de que un microchip sea defectuoso es $p$. Se sabe que en un lote de $n$ microchips, la media de componentes defectuosos es de $12$ y la varianza es de $10,56$.

1. a) Calcule los valores de los parámetros $n$ (tamaño del lote) y $p$ (probabilidad de defecto).

1. b) Si se extrae una muestra aleatoria de $10$ microchips de un lote nuevo, ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente $2$ defectuosos? ¿Y la probabilidad de que haya como máximo uno?

Una empresa de mensajería utiliza drones para repartir paquetes en zonas rurales. La probabilidad de que un dron complete con éxito un trayecto es $p$. La empresa ha observado que la probabilidad de que, en un día con $4$ vuelos programados, todos sean exitosos es exactamente el doble de la probabilidad de que solo $3$ de ellos lo sean.

1. a) Calcule el valor de $p$.

1. b) Con el valor de $p$ obtenido, si un día se programan $6$ vuelos, ¿cuál es la probabilidad de que fallen al menos $2$ trayectos?

Para una variable aleatoria discreta $X$ que sigue una distribución binomial $B(n, p)$, se conoce que la probabilidad de obtener cero éxitos es $P(X=0) = 0,0001$ y la probabilidad de obtener $n$ éxitos es $P(X=n) = 0,01$.

1. a) Utilizando las propiedades de la potencia, halle el valor de $n$ y el de $p$.

1. b) Calcule la probabilidad de obtener un número de éxitos igual a la moda de la distribución. Ayuda: La moda en una binomial es el valor entero $k$ tal que $(n+1)p - 1 \le k \le (n+1)p$.

Dos jugadores de e-sports, Alex y Bea, compiten en un minijuego de puntería. Alex tiene una probabilidad de acierto del $70\%$, mientras que Bea tiene una probabilidad del $60\%$. Si cada uno realiza $5$ disparos de forma independiente:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que Alex consiga más aciertos que Bea?

1. b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre los dos sumen exactamente $9$ aciertos?

Un examen de oposición consta de $80$ preguntas de opción múltiple con $4$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un estudiante decide responder al azar a $12$ preguntas que no sabe contestar. Sea $X$ la variable que cuenta el número de respuestas acertadas de esas $12$.

1. a) Calcule el intervalo $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$ para esta variable.

1. b) Determine la probabilidad de que el número de aciertos se encuentre fuera de dicho intervalo. Comente si el resultado obtenido es coherente con la dispersión esperada en una distribución de este tipo.

Se lanza un dado de seis caras $n$ veces. Sea $X$ la variable aleatoria que expresa el número de veces que se obtiene un múltiplo de $3$. Si se sabe que la probabilidad de no obtener ningún múltiplo de $3$ en los $n$ lanzamientos es de $16/81$:

1. a) Calcule el número de lanzamientos $n$.

1. b) Para ese valor de $n$, calcule la probabilidad de obtener al menos dos veces un múltiplo de $3$ sabiendo que ha salido al menos una vez.

Una plataforma de streaming sabe que el $25\%$ de sus usuarios cancela la suscripción antes del tercer mes. En un grupo de $8$ amigos que se han suscrito simultáneamente:

1. a) Calcule la probabilidad de que el número de amigos que cancelen la suscripción sea superior a la media más una desviación estándar.

1. b) Si representamos por $P(X=k)$ la probabilidad de que cancelen exactamente $k$ amigos, justifique razonadamente, sin calcular todos los valores, cuál es el valor de $k$ que maximiza esta probabilidad.