Ejercicios: Muestreo y diseño de experimentos

Un investigador quiere estimar el ingreso promedio de los hogares en un condado de Texas. Para ello, obtiene una lista computarizada de todos los $45,000$ hogares registrados a efectos de impuestos. Mediante un generador de números aleatorios en su computadora, selecciona $500$ hogares de la lista de manera que cada posible grupo de $500$ hogares tenga exactamente la misma probabilidad de ser elegido. Identifica el método de muestreo utilizado y explica brevemente su principal característica.

El director de una high school en Florida desea conocer la opinión de los estudiantes sobre la calidad de la comida en la cafetería. Decide dividir a los estudiantes en cuatro grupos según su grado escolar (Freshmen, Sophomores, Juniors, Seniors). Luego, selecciona al azar $40$ estudiantes de cada grado para que completen una encuesta. Determina qué tipo de diseño muestral se está aplicando e indica cuál es la ventaja de usar este método frente a seleccionar $160$ estudiantes al azar de toda la escuela.

Una empresa ensambladora de celulares en California implementa un nuevo protocolo de control de calidad en su línea de producción. El supervisor decide inspeccionar el primer celular del turno y, a partir de ahí, retirar y examinar cada $50^{\circ}$ celular que pasa por la banda transportadora a lo largo del día. Nombra el método de muestreo empleado y menciona una posible desventaja si la maquinaria tiene un defecto cíclico que ocurre exactamente cada $50$ celulares.

Un estudio médico en Nueva York siguió a $2,500$ adultos durante $10$ años. Los investigadores registraron cuántas tazas de café consumía cada persona al día y monitorearon la incidencia de enfermedades cardíacas. Al final del estudio, encontraron que los adultos que bebían más de $3$ tazas de café al día tenían un $15\%$ menos de riesgo de sufrir un infarto. Clasifica este estudio como observacional o experimento, y explica si los investigadores pueden concluir que beber café causa una reducción en el riesgo de infarto.

Una compañía farmacéutica está probando una nueva crema para combatir el acné. Reclutan a $120$ adolescentes voluntarios y los dividen al azar en dos grupos. Al primer grupo se le da la nueva crema, y al segundo grupo se le da una crema idéntica en apariencia y textura, pero que no contiene el ingrediente activo. Ni los adolescentes ni los dermatólogos que evalúan el progreso saben qué crema recibió cada paciente. Identifica los siguientes elementos del diseño experimental: los tratamientos, el grupo de control, el placebo y el tipo de cegamiento utilizado.

El alcalde de una ciudad de Ohio quiere saber si los ciudadanos apoyan un aumento en los impuestos a la propiedad para financiar un nuevo estadio de béisbol. Se publica una encuesta en el sitio web del periódico local y se invita a los lectores a votar en línea. De las $3,200$ respuestas recibidas, el $85\%$ se opone al aumento de impuestos. Identifica el principal tipo de sesgo presente en esta forma de recolección de datos y explica en qué dirección es probable que se desvíe la estimación del verdadero apoyo en la ciudad.

Una revista de automóviles envía por correo un cuestionario a $5,000$ de sus suscriptores preguntando sobre sus hábitos de manejo y la cantidad de millas que conducen al año. Solo $412$ suscriptores devuelven el cuestionario completado. Identifica la fuente de sesgo más evidente en este escenario (subcobertura, falta de respuesta o redacción de la pregunta) y explica por qué los resultados podrían no ser representativos de todos los suscriptores de la revista.

Un agrónomo en Iowa quiere probar si un nuevo fertilizante aumenta el rendimiento del maíz. Tiene $20$ parcelas de tierra idénticas. Decide aplicar el nuevo fertilizante a las $10$ parcelas del lado este de la finca y el fertilizante estándar a las $10$ parcelas del lado oeste. Explica por qué este diseño experimental es defectuoso debido a la falta de aleatorización y cómo podría afectar las conclusiones si el lado este recibe más luz solar.

El diagrama anterior ilustra dos métodos diferentes para seleccionar una muestra de $8$ individuos de una población dividida en $4$ grupos. Los puntos naranjas representan a los individuos seleccionados.

Analiza los paneles A y B. Identifica qué panel representa un muestreo estratificado y cuál representa un muestreo por conglomerados (cluster sampling). Luego, supón que los grupos representan diferentes vecindarios de una ciudad. Explica en qué situación el método del Panel B sería preferible por razones de costo y tiempo, y qué condición deben cumplir los vecindarios para que este método no introduzca un sesgo importante.

Una marca de tecnología quiere evaluar dos diseños de teclado de computadora para ver cuál permite una mayor velocidad de escritura (medida en palabras por minuto). Tienen $60$ voluntarios: $30$ programadores profesionales y $30$ estudiantes de high school. Se sabe que la experiencia previa afecta significativamente la velocidad de escritura.

Diseña un experimento por bloques (randomized block design) para probar los teclados. Explica claramente cómo se formarán los bloques, cómo se asignarán los tratamientos dentro de cada bloque y por qué este diseño es superior a un diseño completamente aleatorizado (completely randomized design) en este contexto.

Un analista político desea predecir el resultado de las próximas elecciones para gobernador en Michigan. Utiliza un programa de computadora para marcar números de teléfono fijos al azar y encuesta a las personas que responden. El analista logra completar $1,000$ encuestas.

Describe cómo el sesgo de subcobertura (undercoverage) y el sesgo de falta de respuesta (nonresponse) podrían afectar los resultados de esta encuesta. Específicamente, identifica qué grupos demográficos tienen más probabilidades de ser excluidos o de no responder, y cómo esto alteraría la estimación del voto.

Un fabricante de zapatillas deportivas para corredores ha desarrollado un nuevo material para la suela que afirma reducir el impacto en las rodillas. Para probarlo, reclutan a $40$ corredores de maratón. Quieren comparar las nuevas zapatillas con el modelo anterior.

Propón un diseño de pares emparejados (matched pairs design) para este experimento. Describe detalladamente cómo se asignarán los tratamientos a los corredores y qué papel juega la aleatorización en tu diseño.

En una ciudad costera de Florida, un investigador recopiló datos durante los meses de verano y descubrió una fuerte asociación positiva entre la cantidad de helados vendidos diariamente y el número de ataques de tiburón en las playas locales. El investigador publica un artículo sugiriendo que el consumo de helado atrae a los tiburones.

Refuta esta conclusión explicando el concepto de variable de confusión (confounding variable). Identifica una variable de confusión lógica en este escenario y explica cómo afecta tanto a la venta de helados como a los ataques de tiburón.

Se realiza una encuesta en un centro comercial de Chicago para conocer la opinión pública sobre la prohibición de las bolsas de plástico. La pregunta se formula de la siguiente manera: "Considerando el daño devastador que los plásticos de un solo uso causan a la vida marina y al medio ambiente, ¿está usted a favor de prohibir las bolsas de plástico en los supermercados?"

El $78\%$ de los encuestados respondió que sí. Identifica el tipo de sesgo presente en esta encuesta. Reescribe la pregunta de manera neutral para eliminar este sesgo y explica por qué tu nueva redacción proporcionaría datos más confiables.

Un distrito escolar grande con $50$ escuelas primarias quiere evaluar el nivel de lectura de sus estudiantes de tercer grado. Realizar una Muestra Aleatoria Simple (MAS) de todos los estudiantes de tercer grado en el distrito sería logísticamente difícil y costoso, ya que requeriría enviar evaluadores a casi todas las escuelas para evaluar a solo uno o dos niños en cada una.

Describe cómo el distrito podría utilizar un muestreo por conglomerados (cluster sampling) en una sola etapa para resolver este problema logístico. Si las escuelas están segregadas por nivel socioeconómico, advierte sobre un posible problema estadístico que este método podría generar.

Una universidad quiere estudiar el efecto de tomar apuntes a mano versus usar una computadora portátil. Reclutan a $100$ estudiantes universitarios y los asignan al azar a dos grupos: el Grupo 1 debe tomar notas en un cuaderno, y el Grupo 2 debe usar su laptop. Después de una conferencia de $45$ minutos, ambos grupos toman el mismo examen de comprensión. El Grupo 1 obtiene una puntuación promedio significativamente mayor.

Dado que este es un experimento bien diseñado, ¿pueden los investigadores concluir que tomar notas a mano causa una mejor comprensión en esta población de estudiantes? Justifica tu respuesta basándote en los principios de aleatorización y control.

El diagrama de flujo muestra el diseño de un experimento médico para probar una nueva medicina para el ritmo cardíaco. Los investigadores saben que la presión arterial basal de los pacientes afecta drásticamente la eficacia de este tipo de medicamentos.

Analiza el esquema. Explica matemáticamente y conceptualmente por qué la variabilidad dentro de los grupos de tratamiento se reduce al crear los "Bloques" antes de la asignación aleatoria (flechas naranjas punteadas). Además, detalla un método riguroso para realizar la asignación aleatoria en el Bloque 1 utilizando una tabla de dígitos aleatorios, asumiendo que hay $40$ pacientes en el Bloque 1.

Una firma encuestadora a nivel nacional quiere estimar el porcentaje de hogares en Estados Unidos que poseen al menos un vehículo eléctrico. Realizar una Muestra Aleatoria Simple (MAS) de todos los hogares de EE. UU. es imposible por falta de un registro centralizado. La firma decide utilizar un diseño de muestreo multietápico (multistage sampling).

Diseña un plan de muestreo multietápico de tres etapas para este estudio, utilizando estados, condados y cuadras/bloques residenciales. Explica cómo la aleatorización interviene en cada etapa. Finalmente, discute si este método garantiza que cada hogar en EE. UU. tenga la misma probabilidad de ser seleccionado.

Un distrito escolar introdujo un nuevo currículo de matemáticas en línea. Para evaluar su efectividad, el distrito asigna el nuevo currículo a tres escuelas secundarias recién construidas que cuentan con laboratorios de iPads y aire acondicionado central. El currículo tradicional (con libros de texto) se mantiene en tres escuelas secundarias más antiguas que no tienen aire acondicionado y usan pizarrones de tiza. Al final del semestre, los estudiantes con el currículo en línea obtienen un promedio de $88/100$ en el examen estatal, mientras que los del currículo tradicional obtienen $74/100$.

El superintendente afirma que el programa en línea es superior y debe implementarse en todo el distrito. Identifica al menos tres variables de confusión severas en este diseño observacional. Luego, propón un diseño experimental alternativo dentro de una sola escuela que aísle el efecto del currículo.

Un equipo de psicólogos deportivos quiere probar si beber una bebida energética con cafeína $30$ minutos antes de una carrera de $5$ millas mejora el tiempo de los atletas, en comparación con beber un placebo con sabor idéntico. Tienen $20$ corredores universitarios de élite. Deciden usar un diseño cruzado de pares emparejados (matched-pairs crossover design).

Describe la estructura exacta de este experimento. Debes incluir: cómo se usa la aleatorización para cada corredor (por ejemplo, usando el lanzamiento de una moneda), por qué es absolutamente necesario un período de "lavado" (washout period) entre las dos pruebas del mismo corredor, y por qué este diseño es estadísticamente más potente que dividir a los $20$ corredores en dos grupos separados de $10$.

La asociación de exalumnos de una universidad en Massachusetts envía por correo electrónico una encuesta a todos los $15,000$ graduados de los últimos cinco años, preguntándoles sobre su deuda estudiantil actual. Solo $1,800$ exalumnos completan la encuesta. El promedio de deuda reportado por estos encuestados es de $\$52,400.00$.

Analiza críticamente esta estimación. Discute la interacción entre el sesgo de falta de respuesta (nonresponse bias) y el sesgo de respuesta voluntaria (voluntary response bias). ¿Es probable que la cifra de $\$52,400.00$ sea una sobrestimación o una subestimación del verdadero promedio de deuda de todos los $15,000$ graduados? Justifica tu razonamiento basándote en la psicología de quiénes son más propensos a responder a una encuesta sobre deudas.

Un investigador en una universidad recluta a $60$ estudiantes voluntarios de sus clases de introducción a la psicología para participar en un estudio sobre privación del sueño y tiempo de reacción. Los estudiantes son asignados aleatoriamente a dormir $8$ horas o $4$ horas la noche anterior a la prueba. Al día siguiente, el grupo de $4$ horas muestra tiempos de reacción significativamente más lentos en un simulador de conducción.

Evalúa el alcance de la inferencia (scope of inference) de este estudio. Responde a dos preguntas clave, justificando estadísticamente cada una: 1) ¿Se puede inferir una relación de causa y efecto entre la privación del sueño y el tiempo de reacción? 2) ¿A qué población se pueden generalizar legítimamente estos resultados?

Un silvicultor quiere estimar el diámetro promedio de los troncos de los árboles en un bosque de $1,000$ acres en Oregón. El bosque contiene principalmente pinos viejos en el lado norte (troncos gruesos) y abedules jóvenes en el lado sur (troncos delgados).

El silvicultor está decidiendo entre dos métodos para seleccionar una muestra de $100$ árboles:

Método 1: Dividir el bosque en $100$ cuadrículas (conglomerados) de $10$ acres cada una, seleccionar al azar $2$ cuadrículas y medir todos los árboles en ellas.

Método 2: Estratificar el bosque por tipo de árbol (Norte/Pino y Sur/Abedul) y seleccionar al azar $50$ árboles de cada estrato.

Explica matemáticamente por qué, dada la fuerte asociación entre la ubicación/tipo de árbol y el diámetro del tronco, el Método 2 producirá una estimación con mucho menor margen de error (menor varianza muestral) que el Método 1.

Una empresa de cosméticos está probando dos nuevas fórmulas de protector solar (Fórmula A y Fórmula B) para ver cuál previene mejor las quemaduras solares. Reclutan a $50$ voluntarios de diversas etnias y tonos de piel.

Un investigador sugiere bloquear por tono de piel y luego aleatorizar. Otro investigador sugiere un diseño en el que cada voluntario pruebe la Fórmula A en un brazo y la Fórmula B en el otro brazo, asignando al azar qué brazo recibe qué fórmula.

Argumenta detalladamente por qué el segundo diseño (pares emparejados en la misma persona) controla mejor las variables de confusión que el diseño por bloques basado en categorías generales de tono de piel. Menciona al menos dos factores específicos que se controlan perfectamente en el segundo diseño pero no en el primero.