Ejercicios: Semejanza

Tres rectas paralelas cortan a dos rectas secantes $r$ y $s$. Los segmentos determinados en $r$ miden $5 \text{ cm}$ y $x \text{ cm}$. Los segmentos correspondientes determinados en $s$ miden $7 \text{ cm}$ y $21 \text{ cm}$. Calcule el valor de $x$.

Compruebe si dos triángulos son semejantes sabiendo que los lados del primero miden $6 \text{ cm}$, $8 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$, y los del segundo miden $9 \text{ cm}$, $12 \text{ cm}$ y $18 \text{ cm}$. Justifique su respuesta indicando el criterio de semejanza utilizado.

Halle los valores de $x$ e $y$ en la siguiente figura, sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos.

En un mapa a escala $1:250\,000$, la distancia entre dos ciudades es de $8 \text{ cm}$. Calcule la distancia real entre ambas ciudades expresada en millas.

Dos pentágonos regulares son semejantes con una razón de semejanza de $k = 4$. Si el perímetro del pentágono menor es de $15 \text{ cm}$, ¿cuál es el perímetro del pentágono mayor?

Calcule la altura $h$ del árbol sabiendo que, a la misma hora del día, un poste de $2 \text{ m}$ proyecta una sombra de $1.5 \text{ m}$ y el árbol proyecta una sombra de $4.5 \text{ m}$.

En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos (proyecciones) que miden $3 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Calcule la medida de dicha altura.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $25 \text{ cm}$ y la proyección de uno de sus catetos sobre la hipotenusa mide $9 \text{ cm}$. Aplique el teorema del cateto (el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de dicho cateto sobre ella) para hallar la longitud de dicho cateto.

Calcule el valor de $x$ en la siguiente figura, sabiendo que las tres rectas horizontales son paralelas.

El plano de una vivienda está dibujado a escala $1:120$. Si la superficie de la sala en el plano es de $60 \text{ cm}^2$, ¿cuál es la superficie real de la sala expresada en pies cuadrados ($m^2$)?

Halle la altura $h$ del edificio utilizando la reflexión en un espejo situado en el piso, sabiendo que el rayo de luz cumple la ley de reflexión (los ángulos de incidencia y reflexión son iguales).

Una maqueta de un depósito industrial está construida a escala $1:40$. Si el volumen de la maqueta es de $0.5 \text{ litros}$, ¿cuál es el volumen real del depósito expresado en pies cúbicos ($m^3$)?

Los catetos de un triángulo rectángulo miden $10 \text{ cm}$ y $24 \text{ cm}$. Calcule la longitud de la hipotenusa, la medida de la altura trazada sobre la hipotenusa y las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la misma.

Los lados de un cuadrilátero miden $5 \text{ cm}$, $7 \text{ cm}$, $9 \text{ cm}$ y $12 \text{ cm}$. Construimos un cuadrilátero semejante a él cuyo perímetro es de $99 \text{ cm}$. Calcule la longitud de cada uno de los lados del nuevo cuadrilátero.

Calcule la distancia $y$ indicada en la figura y la anchura del río sabiendo que las dos líneas visuales punteadas son rectas que se cruzan en un punto.

Dos esferas son semejantes y la razón entre sus áreas (superficies) es $9$. Si el volumen de la esfera más pequeña es de $20 \text{ cm}^3$, ¿cuál es el volumen de la esfera más grande?

Un proyector de cine muestra una diapositiva que mide $3.5 \text{ cm}$ de alto. La diapositiva está situada a $15 \text{ cm}$ del centro óptico de la lente del proyector. Si la pantalla de proyección se encuentra a $4.5 \text{ m}$ de la lente, calcule la altura de la imagen proyectada en la pantalla.

Una estatua de bronce de $1.2 \text{ m}$ de altura pesa $150 \text{ kg}$ y el costo de pintarla con una capa protectora es de $\$40 \text{ \$}$. Se encarga una réplica exacta de la estatua, hecha del mismo material, pero con una altura de $3.6 \text{ m}$. Calcule cuánto pesará la nueva estatua y cuánto costará pintarla.

En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa mide $6 \text{ cm}$. Dicha altura divide a la hipotenusa en dos proyecciones cuyas longitudes son $x$ y $x+5$ pulgadas. Plantee una ecuación, halle el valor de $x$ y calcule la medida de los tres lados del triángulo rectángulo.

En el trapecio de la figura, las bases miden $10 \text{ cm}$ y $25 \text{ cm}$, y la altura total es de $21 \text{ cm}$. Las diagonales se cortan en un punto, dividiendo la altura total en dos partes. Calcule el área de los dos triángulos sombreados formados por las bases y las diagonales.

Una copa tiene forma de cono invertido con una altura interior de $15 \text{ cm}$. Se vierte agua hasta alcanzar una altura de $10 \text{ cm}$ desde el vértice inferior. ¿Qué fracción del volumen total de la copa está llena de agua? Exprese el resultado como una fracción irreducible.

El plano de una parcela está dibujado a escala $1:400$. Se realiza una fotocopia del plano aplicando una ampliación al $150\%$ (cada longitud de la copia mide el $150\%$ de la original). ¿Cuál es la nueva escala del plano resultante? Si en la fotocopia la parcela ocupa una superficie de $12 \text{ cm}^2$, ¿cuál es su área real en pies cuadrados?

Un pozo cilíndrico seco tiene un diámetro de $1.5 \text{ m}$. Una persona, cuyos ojos se encuentran a $1.6 \text{ m}$ del suelo, se sitúa a $0.5 \text{ m}$ del borde del pozo. Desde esa posición, su línea visual roza el borde del pozo y alcanza exactamente la esquina inferior opuesta del fondo. Calcula la profundidad del pozo.

Un poste de luz tiene una altura de $4.5 \text{ m}$. Una persona de $1.8 \text{ m}$ de estatura arranca desde la base del poste de luz y se aleja caminando en línea recta a una velocidad constante de $1.5 \text{ m/s}$. Calcula la longitud de la sombra que proyecta la persona exactamente a los $4 \text{ segundos}$ de haber empezado a caminar.