Ejercicios: Funciones definidas a trozos

Dada la siguiente función definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$

Calcula el valor de la función en los puntos $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.

Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.

Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida por partes.

Un estacionamiento céntrico cobra una tarifa de $\$2$ por la primera hora de estancia (o fracción). A partir de la primera hora, cobra a razón de $\$1.50$ por cada hora adicional, facturando el tiempo extra de forma proporcional a los minutos exactos de estancia. Escribe la función definida por partes $C(x)$ que representa el costo total en función de las horas $x$ que el carro permanece en el estacionamiento.

Halla el punto de ruptura de la siguiente función y determina si es continua en dicho punto:

$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$

Asocia la siguiente descripción con la estructura de una función definida por partes: "Se enciende un horno y su temperatura sube de forma constante durante 10 minutos hasta alcanzar los 200 °F. Se mantiene a esa temperatura durante 40 minutos para hornear una pizza y, finalmente, se apaga, descendiendo su temperatura hasta la temperatura ambiente (20 °F) de forma constante en 30 minutos."

Escribe los intervalos de tiempo que definirían las tres secciones de la función temperatura $T(t)$.

Representa gráficamente en tu cuaderno la siguiente función definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

A partir de la gráfica de la función $g(x)$, determina su expresión analítica sabiendo que está formada por dos semirrectas.

Una compañía de telefonía celular ofrece una tarifa de datos que funciona de la siguiente manera: se paga una cuota fija mensual de $\$15$ que incluye los primeros $5$ GB de descarga. Si se supera ese límite, cada gigabyte adicional (o fracción proporcional) se cobra a $\$2$.

Escribe la función $C(x)$ que representa el costo mensual en función de los gigabytes $x$ consumidos, y calcula cuánto pagará un cliente que ha consumido $3$ GB y otro que ha consumido $8.5$ GB.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida por partes sea continua en todo su dominio:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Expresa la función $f(x) = |x - 2| + 3x$ como una función definida por partes sin utilizar el valor absoluto y calcula los valores de $f(0)$ y $f(5)$.

Un tren urbano arranca desde una estación y acelera de forma constante hasta alcanzar una velocidad de $20$ pies/s en $10$ segundos. Mantiene esa velocidad de crucero durante $30$ segundos y, finalmente, frena de manera uniforme hasta detenerse por completo en la siguiente estación en $5$ segundos. Escribe la función por partes $v(t)$ que describe la velocidad del tren en función del tiempo transcurrido desde el arranque.

A partir de la gráfica de la función $h(x)$, que está compuesta por un arco de parábola y una semirrecta, halla su expresión analítica.

La factura de electricidad de una vivienda tiene un término fijo de $\$10$ mensuales. Además, los primeros $100$ kWh consumidos se facturan a $\$0.12$/kWh. Si se superan los $100$ kWh, el exceso de consumo se cobra a $\$0.15$/kWh. Escribe la función $F(x)$ que da el importe total del recibo en función de los kWh $x$ consumidos.

Dada la función definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Represéntala gráficamente y determina sus máximos y mínimos relativos, si los tiene.

En un país ficticio, el impuesto sobre la renta se calcula de la siguiente manera: por los primeros $\$10\,000$ de ingresos no se pagan impuestos ($0$%). Por la cantidad que exceda de $\$10\,000$ y hasta $\$20\,000$, se paga un $10$%. Por la cantidad que exceda de $\$20\,000$, se paga un $20$%.

Escribe la función definida por partes $I(x)$ que calcula el impuesto a pagar en función de los ingresos $x$.

Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$ y pase por el punto $(4, 9)$.

$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$

Una vez hallados $a$ y $b$, comprueba matemáticamente si la función resulta ser continua también en $x=3$.

Expresa la función $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como una función definida por partes, eliminando los valores absolutos, y simplifica la expresión de cada una de las secciones resultantes.

Una sala de teatro ofrece un precio de entrada de $\$10$ si asisten hasta un máximo de $50$ personas. Para fomentar la asistencia de grupos grandes, por cada persona que exceda de $50$, el precio de la entrada para todos los asistentes se reduce en $\$0.10$.

Escribe la función de ingresos totales del teatro $I(x)$ en función del número de asistentes $x$ (como función por partes) y determina cuántas personas deben asistir para que el teatro obtenga el máximo ingreso posible.

Observa la siguiente gráfica de la función $p(x)$ y determina su expresión analítica completa. A partir de ella, indica su dominio, su recorrido y clasifica las discontinuidades que presenta.

Un cohete de prueba despega verticalmente. Durante los primeros $10$ segundos, su altura en pies se modela mediante la función lineal $h(t) = 5t$. A los $10$ segundos se apaga el motor y el cohete sigue una trayectoria parabólica de caída libre $h(t) = at^2 + bt + c$, de forma que la transición es continua. Sabiendo que el cohete impacta contra el suelo a los $50$ segundos, encuentra la expresión de la parábola y determina la altura máxima alcanzada por el cohete.

Dada la función definida por partes:

$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$

Calcula el valor del parámetro $k$ para que el área total de la figura geométrica encerrada entre la gráfica de la función y el eje de abscisas (eje $X$) sea exactamente de $24$ unidades cuadradas.

Un tanque de agua de $6000$ galones de capacidad está inicialmente vacío. Se enciende una bomba que introduce agua a un ritmo constante de $50$ galones por minuto. Pasados $60$ minutos, se enciende una segunda bomba auxiliar que añade un caudal adicional de $30$ galones por minuto. Escribe la función por partes $V(t)$ que representa el volumen de agua en el tanque en función del tiempo, y calcula cuánto tiempo en total se tardará en llenar el tanque por completo.

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función definida por partes $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ y la recta $y = x + 2$.