Ejercicios: Tablas de doble entrada e independencia

En una preparatoria (high school) de Texas, se encuestó a los estudiantes sobre si tienen un trabajo de medio tiempo. Los resultados se muestran en la siguiente tabla de doble entrada:

Grado	Tiene trabajo	No tiene trabajo	Total
9.º (Freshmen)	$15$	$105$	$120$
10.º (Sophomores)	$30$	$90$	$120$
11.º (Juniors)	$65$	$45$	$110$
12.º (Seniors)	$80$	$20$	$100$
Total	$190$	$260$	$450$

Si se selecciona un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que tenga un trabajo de medio tiempo, dado que es un estudiante de 12.º grado. Expresa tu respuesta como una fracción simplificada.

Una tienda de electrónica en California analizó las ventas de sus computadoras y tabletas según el sistema operativo.

Dispositivo	Windows/Android	macOS/iOS	Total
Computadora portátil	$45$	$55$	$100$
Tableta	$30$	$70$	$100$
Total	$75$	$125$	$200$

Sea $A$ el evento "el cliente compró una computadora portátil" y $B$ el evento "el dispositivo tiene macOS/iOS". Encuentra la probabilidad de la unión de estos eventos, $P(A \cup B)$.

El diagrama de Venn muestra los resultados de una encuesta a $120$ estudiantes sobre si juegan fútbol (soccer) o béisbol. Utiliza el diagrama para calcular la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar juegue béisbol, dado que sabemos que juega fútbol.

En un estudio sobre hábitos de transporte en Nueva York, se recopilaron los siguientes datos sobre cómo llegan los empleados al trabajo y si llegan a tiempo:

	Llega a tiempo	Llega tarde	Total
Metro (Subway)	$180$	$20$	$200$
Automóvil	$70$	$30$	$100$
Total	$250$	$50$	$300$

Para comprobar si los eventos "Tomar el metro" y "Llegar tarde" son independientes, calcula $P(\text{Llegar tarde})$ y $P(\text{Llegar tarde} \mid \text{Metro})$. ¿Son independientes estos dos eventos?

De acuerdo con la regla de la suma para probabilidades, para dos eventos cualesquiera $A$ y $B$, se cumple que $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

En una escuela, la probabilidad de que un estudiante participe en el club de teatro es $0.35$, la probabilidad de que participe en el coro es $0.40$, y la probabilidad de que participe en ambos es $0.15$. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar participe en el club de teatro o en el coro?

Se encuestó a un grupo de personas sobre su plataforma de streaming favorita. Los resultados fueron: $40$ prefieren Netflix, $30$ prefieren Hulu, $20$ prefieren Max, y $10$ prefieren Disney+.

Sea el evento $A$ "la persona prefiere Hulu". Utilizando la notación de complemento ($A^c$), calcula $P(A^c)$ y explica qué representa este valor en el contexto del problema.

Una cafetería en Seattle anotó las ventas de bebidas calientes y frías durante la mañana y la tarde:

	Mañana	Tarde
Bebida caliente	$150$	$50$
Bebida fría	$40$	$80$

Calcula la probabilidad marginal de que un cliente compre una bebida fría, independientemente de la hora del día.

Una clínica médica en Florida realiza pruebas para detectar una alergia común. La tabla de doble entrada está incompleta. Sabemos que se evaluó a un total de $500$ pacientes. De ellos, $120$ realmente tienen la alergia. La prueba dio un resultado positivo a $105$ de los pacientes que tienen la alergia, y dio un resultado positivo a $38$ pacientes que no tienen la alergia (falsos positivos).

1. Construye la tabla de doble entrada completa con las frecuencias conjuntas y marginales.

2. Si un paciente recibe un resultado positivo en la prueba, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga la alergia?

El diagrama de árbol muestra las probabilidades de los solicitantes a una universidad de Ohio. Los estudiantes pueden ser del estado (In-state) o de fuera del estado (Out-of-state), y luego ser admitidos o rechazados.

Utilizando el diagrama, calcula la probabilidad de que un estudiante haya sido admitido. Luego, encuentra la probabilidad de que un estudiante sea de fuera del estado, dado que fue admitido.

Se encuestó a $400$ adultos sobre si prefieren café o té, y si prefieren beberlo con azúcar o sin azúcar.

• $240$ personas prefieren café.

• $180$ personas prefieren su bebida con azúcar.

• $110$ personas prefieren té sin azúcar.

Sea $C$ el evento "prefiere café" y $A$ el evento "prefiere con azúcar". Construye una tabla de doble entrada para encontrar $P(C \cup A)$ y expresa el resultado como un porcentaje.

Una compañía de seguros de automóviles en Illinois analizó $1,200$ accidentes de tráfico recientes. Clasificaron los accidentes según si el conductor llevaba puesto el cinturón de seguridad y si sufrió lesiones graves.

	Lesión grave	Sin lesión grave	Total
Con cinturón	$48$	$852$	$900$
Sin cinturón	$62$	$238$	$300$
Total	$110$	$1,090$	$1,200$

1. Calcula $P(\text{Lesión grave})$.

2. Calcula $P(\text{Lesión grave} \mid \text{Con cinturón})$.

3. Basándote en tus cálculos, ¿son matemáticamente independientes los eventos "Sufrir una lesión grave" y "Llevar puesto el cinturón"? Justifica tu respuesta.

En una baraja estándar de $52$ cartas (sin comodines), hay $4$ palos: corazones, diamantes, tréboles y espadas. Cada palo tiene $13$ cartas, de las cuales $3$ son figuras (J, Q, K).

Se extrae una carta al azar. Sean los eventos:

• $F$: La carta es una figura.

• $C$: La carta es de corazones.

Calcula $P(F \cap C^c)$, es decir, la probabilidad de que la carta sea una figura Y NO sea de corazones.

En una fábrica de ensamblaje de celulares, hay dos máquinas, la Máquina A y la Máquina B. La Máquina A produce el $65\%$ de los celulares, y la Máquina B produce el $35\%$ restante. Se sabe que el $4\%$ de los celulares producidos por la Máquina A son defectuosos, mientras que el $2\%$ de los producidos por la Máquina B son defectuosos.

Si se selecciona un celular al azar del inventario total, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

Los resultados de una encuesta a votantes registrados en un condado sobre la "Proposición 10" se muestran en porcentajes relativos al total de encuestados:

Afiliación	A favor	En contra	Indeciso	Total
Partido Demócrata	$28\%$	$12\%$	$5\%$	$45\%$
Partido Republicano	$15\%$	$25\%$	$5\%$	$45\%$
Independiente	$4\%$	$3\%$	$3\%$	$10\%$
Total	$47\%$	$40\%$	$13\%$	$100\%$

Si se selecciona al azar a un votante que está "A favor" de la Proposición 10, ¿cuál es la probabilidad de que esté afiliado al Partido Demócrata? Redondea tu respuesta a dos decimales.

Se está diseñando un juego de feria con dos ruletas. El diseñador quiere que el evento $A$ ("ganar en la ruleta 1") y el evento $B$ ("ganar un peluche en la ruleta 2") sean completamente independientes. La tabla de doble entrada muestra las frecuencias esperadas para $1,000$ jugadores, pero falta un valor $x$.

	Gana peluche ($B$)	No gana peluche ($B^c$)	Total
Gana en ruleta 1 ($A$)	$x$	$120$	$x + 120$
Pierde en ruleta 1 ($A^c$)	$210$	$490$	$700$
Total	$x + 210$	$610$	$1,000$

Determina el valor exacto de $x$ que hace que los eventos $A$ y $B$ sean independientes.

En una preparatoria, $200$ estudiantes pueden elegir estudiar Español ($E$), Francés ($F$) y/o Alemán ($A$). El diagrama de Venn muestra la distribución de los estudiantes. Sabemos además que:

• El total de estudiantes que estudian Español es $60$.

• El total de estudiantes que estudian Francés es $45$.

Encuentra los valores de $x$, $y$, y $z$. Luego, calcula la probabilidad condicional $P(E \mid (F \cup A)^c)$.

La "Paradoja de Simpson" ocurre cuando una tendencia aparece en diferentes grupos de datos, pero desaparece o se invierte cuando estos grupos se combinan. Observa los datos de éxito quirúrgico de dos hospitales:

Casos Graves:

• Hospital A: $15$ éxitos de $20$ cirugías.

• Hospital B: $40$ éxitos de $50$ cirugías.

Casos Leves:

• Hospital A: $75$ éxitos de $80$ cirugías.

• Hospital B: $18$ éxitos de $20$ cirugías.

• Construye una tabla de doble entrada combinada (Total de éxitos y fracasos por hospital, sin importar la gravedad).

• Calcula la tasa de éxito global (probabilidad de éxito) para el Hospital A y para el Hospital B.

• Demuestra matemáticamente cómo el Hospital B tiene una mejor tasa de éxito en casos graves y en casos leves individualmente, pero una peor tasa de éxito global que el Hospital A.

En un estudio de control de calidad, se sabe que los eventos $A$ y $B$ tienen las siguientes probabilidades:

• $P(A) = 0.55$

• $P(B) = 0.40$

• $P(A \cup B) = 0.73$

Calcula $P(B \mid A)$ y $P(A \mid B)$. Luego, demuestra algebraicamente si los eventos $A$ y $B$ son independientes o no.

Tres líneas de ensamblaje ($L_1$, $L_2$ y $L_3$) fabrican un componente electrónico.

• $L_1$ fabrica el $50\%$ de los componentes y tiene una tasa de defectos del $2\%$.

• $L_2$ fabrica el $30\%$ de los componentes y tiene una tasa de defectos del $3\%$.

• $L_3$ fabrica el $20\%$ de los componentes y tiene una tasa de defectos del $5\%$.

Si se selecciona un componente al azar y resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado por la línea $L_3$? (Sugerencia: Puedes usar un diagrama de árbol o construir una tabla de doble entrada para una población hipotética de $10,000$ componentes).

Se realiza una encuesta a $300$ residentes sobre una nueva ley de zonificación urbana. Sea $F$ el evento "está a favor de la ley" y $P$ el evento "es propietario de una vivienda".

Se conocen los siguientes datos:

• $P(F \mid P) = 0.60$

• $P(P \mid F) = 0.75$

• $P(F \cap P) = 0.30$

A partir de esta información, reconstruye la tabla de doble entrada de $2 \times 2$ con las cantidades exactas de personas para cada celda y determina cuántos residentes no están a favor de la ley y tampoco son propietarios.

Dos eventos $C$ y $D$ en un espacio muestral son mutuamente excluyentes (es decir, no pueden ocurrir al mismo tiempo). Sus probabilidades son $P(C) = 0.3$ y $P(D) = 0.4$.

Un estudiante afirma: "Como $C$ y $D$ no tienen nada que ver el uno con el otro, deben ser eventos independientes".

Utilizando las fórmulas de probabilidad condicional y la definición matemática de independencia, demuestra si la afirmación del estudiante es verdadera o falsa.

Una empresa de ciberseguridad clasifica los correos electrónicos entrantes en tres categorías de amenaza (Baja, Media, Alta) y según si contienen un archivo adjunto (Sí, No).

Amenaza	Con adjunto ($C$)	Sin adjunto ($S$)	Total
Baja ($B$)	$150$	$850$	$1,000$
Media ($M$)	$300$	$200$	$500$
Alta ($A$)	$450$	$50$	$500$
Total	$900$	$1,100$	$2,000$

Calcula la probabilidad condicional $P( (B \cup M) \mid C )$, es decir, la probabilidad de que un correo sea de amenaza Baja o Media, dado que sabemos que contiene un archivo adjunto. Expresa el resultado en forma de fracción simplificada.