Ejercicios: Demostraciones con coordenadas

Un dron vuela en línea recta desde un punto de entrega $A(1, 2)$ hasta una base de recarga $B(4, 6)$ en un plano de coordenadas donde cada unidad representa $1$ milla. Utiliza la fórmula de la distancia para calcular exactamente cuántas millas recorre el dron. Muestra tu trabajo algebraico.

Dos antenas de celular están ubicadas en las coordenadas $P(-4, -2)$ y $Q(6, 8)$ de un mapa topográfico. La compañía de telecomunicaciones necesita instalar una estación repetidora exactamente a mitad de camino entre ambas antenas. Calcula las coordenadas de la nueva estación utilizando la fórmula del punto medio.

Un planificador urbano está diseñando dos calles rectas. La calle A pasa por los puntos $(0, 3)$ y $(2, 7)$. La calle B pasa por los puntos $(1, 0)$ y $(3, 4)$. Demuestra algebraicamente, calculando y comparando sus pendientes, si estas dos calles son paralelas.

Un arquitecto revisa los planos de una nueva plaza. El borde de un jardín está definido por el segmento que une $M(-1, 1)$ y $N(2, 3)$. El borde de una acera adyacente está definido por el segmento que une $N(2, 3)$ y $P(4, 0)$. Demuestra algebraicamente si estos dos bordes forman un ángulo recto perpendicular.

Verifica mediante la fórmula de la distancia si el punto de monitoreo $P(0, 5)$ es equidistante de dos sensores térmicos ubicados en $A(-3, 1)$ y $B(3, 1)$. ¿Qué indica este resultado sobre la posición de $P$ respecto a la mediatriz del segmento $AB$?

Las cuatro esquinas de una parcela de terreno agrícola en Nebraska están en las coordenadas $A(0, 0)$, $B(4, 0)$, $C(5, 3)$ y $D(1, 3)$. Demuestra que la parcela tiene forma de paralelogramo verificando que ambos pares de lados opuestos son paralelos.

El punto medio de un túnel subterráneo está en las coordenadas $M(3, -1)$. Si la entrada este del túnel se encuentra en $E(5, 2)$, determina las coordenadas de la entrada oeste $W$ utilizando la fórmula del punto medio.

Un aspersor de jardín está ubicado en el origen $(0, 0)$ y puede rociar agua hasta un radio máximo de $15$ pies. Demuestra algebraicamente si el agua alcanzará a un rosal que está plantado en las coordenadas $(5, 12)$.

Los vértices de un parque de la ciudad forman un triángulo en las coordenadas $P(-2, -1)$, $Q(2, 2)$ y $R(5, -2)$. Demuestra algebraicamente que el parque tiene forma de triángulo rectángulo isósceles. Debes verificar tanto las longitudes de los lados como la perpendicularidad.

Los cimientos de un nuevo edificio de oficinas están marcados en las coordenadas $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$, $C(5, -3)$ y $D(2, -5)$. Demuestra que la base del edificio es un rectángulo. Debes probar que es un paralelogramo y que sus diagonales son congruentes, o que sus lados consecutivos son perpendiculares.

Una ciudad planea construir una nueva carretera que actúe como mediatriz (perpendicular bisector) del segmento que conecta el hospital central en $H(-2, 4)$ y la estación de policía en $S(6, -2)$. Determina la ecuación exacta de esta nueva carretera en la forma $y = mx + b$.

Cuatro drones deben posicionarse en el aire formando un paralelogramo perfecto para un espectáculo de luces. Tres de los drones ya están en las posiciones $A(-1, 2)$, $B(3, 1)$ y $C(4, -2)$. Encuentra las coordenadas del cuarto dron $D$ (asumiendo que $D$ es opuesto a $B$) y demuestra algebraicamente que la figura resultante $ABCD$ es un paralelogramo.

El diseño de un diamante de béisbol para una liga local se traza en un plano de coordenadas con las bases en $K(-3, 0)$, $L(0, 4)$, $M(3, 0)$ y $N(0, -4)$. Demuestra que este cuadrilátero es un rombo comprobando que sus diagonales se intersecan en ángulos rectos y se bisecan mutuamente.

Un camión de reparto sale de un almacén en $W(2, 1)$, viaja a la tienda A en $A(8, 9)$ y luego se dirige a la tienda B en $B(14, 1)$. Cada unidad en el mapa representa $5$ millas. Calcula algebraicamente cuántas millas extra recorre el camión siguiendo esta ruta en lugar de viajar directamente desde el almacén $W$ hasta la tienda $B$.

La tubería principal de agua de un vecindario sigue la línea recta que pasa por los puntos $(1, 4)$ y $(5, 2)$. El departamento de obras públicas necesita instalar una nueva tubería secundaria que sea exactamente perpendicular a la principal y que pase por la biblioteca pública situada en $(3, 6)$. Determina la ecuación de la línea que representa la nueva tubería.

El borde de una piscina circular está modelado por una circunferencia con centro en el origen $(0, 0)$ y radio $5$ yardas. Una pasarela recta de madera pasa por los puntos $P(3, 4)$ y $Q(7, 1)$. Demuestra algebraicamente que esta pasarela es tangente a la piscina en el punto $P(3, 4)$. (Pista: demuestra que la línea $PQ$ es perpendicular al radio en el punto $P$).

Una placa de metal tiene la forma de un cuadrilátero irregular con vértices en $A(0, 0)$, $B(8, 0)$, $C(6, 6)$ y $D(2, 8)$. Un ingeniero marca los puntos medios de cada uno de los cuatro lados y los conecta para formar un nuevo cuadrilátero interno. Demuestra algebraicamente (encontrando los puntos medios y analizando sus pendientes) que este cuadrilátero interno es siempre un paralelogramo (Teorema de Varignon).

Un terreno de inversión está delimitado por los vértices $W(-4, 3)$, $X(1, 4)$, $Y(2, -1)$ y $Z(-3, -2)$. El agente inmobiliario afirma que el terreno es un cuadrado perfecto y por lo tanto vale $\$1,250,000.00$. Clasifica este cuadrilátero de la manera más específica posible (paralelogramo, rectángulo, rombo o cuadrado) demostrando algebraicamente tus conclusiones. ¿Tiene razón el agente inmobiliario?

La trayectoria de un satélite está programada para seguir la línea recta $y = 2x - 1$. Existen dos estaciones de control en la Tierra ubicadas en las coordenadas relativas $A(1, 5)$ y $B(5, 3)$. Demuestra algebraicamente que cualquier punto $(x, y)$ que se encuentre sobre la trayectoria del satélite es equidistante de ambas estaciones de control.

El soporte principal del techo de un estadio forma un triángulo con vértices en $A(0, 0)$, $B(4, 3)$ y $C(-3, 4)$. Primero, demuestra algebraicamente que $\triangle ABC$ es un triángulo rectángulo. Luego, encuentra la longitud exacta de la altura trazada desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa.

Un arquitecto paisajista está diseñando una plaza cuadrada. Hasta ahora, ha fijado las posiciones de dos vértices consecutivos en $P(-1, 2)$ y $Q(2, 6)$. Determina algebraicamente las coordenadas de los otros dos vértices, $R$ y $S$. (Nota: existen dos posibles ubicaciones para el cuadrado, encuentra al menos un conjunto válido de coordenadas para $R$ y $S$).

Tres postes de luz de alta tensión están programados para ser instalados en las coordenadas $A(-2, -5)$, $B(1, 1)$ y $C(4, 7)$ de un mapa topográfico. Utiliza estrictamente la fórmula de la distancia para demostrar que estos tres puntos son colineales (es decir, demuestra que $AB + BC = AC$).

Realiza una demostración general con coordenadas. Coloca un triángulo isósceles genérico en el plano cartesiano con vértices en $A(-2a, 0)$, $B(2a, 0)$ y $C(0, 2b)$. Demuestra algebraicamente que las medianas trazadas hacia los dos lados congruentes (desde $A$ hasta el punto medio de $BC$, y desde $B$ hasta el punto medio de $AC$) tienen exactamente la misma longitud.

Una compañía petrolera necesita construir una estación de bombeo $P$ para conectar dos instalaciones ubicadas en $A(-5, 3)$ y $B(7, 9)$. Por regulaciones de presión, la estación $P$ debe estar situada exactamente sobre la mediatriz del segmento $AB$. Además, por logística, $P$ debe construirse sobre una carretera existente cuya ecuación es $3x - y = 5$. Encuentra las coordenadas exactas de la estación de bombeo $P$.