Ejercicios: Sistemas de ecuaciones lineales

Compruebe si el par de valores $(x, y) = (2, -1)$ es solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$3x + 2y = 4$

$x - 4y = 6$

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución:

$x = 2y + 5$

$3x - 4y = 11$

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de igualación:

$y = 3x - 2$

$y = -x + 6$

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción:

$5x + 3y = 21$

$2x - 3y = 0$

Observe la representación gráfica de dos rectas que forman un sistema de ecuaciones lineales. Indique cuál es la solución del sistema y clasifíquelo según su número de soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible).

La suma de dos números es $54$ y su diferencia es $12$. Plantee un sistema de ecuaciones lineales y calcule el valor de ambos números.

En una cafetería, por $3$ cafés y $2$ croissants nos han cobrado $\$7,50$. Si compramos $1$ café y $4$ croissants del mismo tipo, el precio es de $\$6,50$. ¿Cuánto cuesta cada café y cada croissant?

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el método analítico que considere más adecuado:

$4x - y = 7$

$2x + y = 11$

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales, operando previamente para eliminar los paréntesis:

$2(x - 3) + 3(y + 1) = 4$

$x - 4(y + 2) = -10$

Resuelva el siguiente sistema eliminando primero los denominadores:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$

$\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$

Hace $5$ años, la edad de una madre era el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad de la madre será el doble que la del hijo. Plantee un sistema de ecuaciones lineales para calcular las edades actuales de ambos.

El perímetro de una parcela rectangular mide $120$ pies. Si el largo de la parcela mide $10$ pies más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?

Un comerciante mezcla aceite de oliva de $\$4$/galón con aceite de girasol de $\$2$/galón para obtener $60$ galones de una mezcla que venderá a $\$3,50$/galón. Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos galones de cada tipo de aceite ha utilizado.

En una alcancía hay $40$ monedas, algunas de $\$0,20$ y otras de $\$0,50$. Si en total hay $\$12,50$, ¿cuántas monedas de cada tipo contiene la alcancía?

Represente gráficamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales e indique su solución a partir de la gráfica:

$x + y = 5$

$2x - y = 4$

En un taller de reparación de vehículos hay entre carros y motos un total de $35$ vehículos. Si contamos las ruedas de todos ellos (sin tener en cuenta las de repuesto), hay un total de $110$ ruedas. ¿Cuántos carros y cuántas motos hay en el taller?

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales, simplificando previamente las expresiones con fracciones y paréntesis:

$\frac{3(x - 1)}{2} + \frac{y + 2}{4} = \frac{11}{4}$

$\frac{x + y}{5} - \frac{x - y}{2} = \frac{3}{2}$

Determine el valor del parámetro $k$ para que el siguiente sistema de ecuaciones sea incompatible (es decir, que las rectas que lo representan sean paralelas):

$kx + 3y = 5$

$4x - 2y = 7$

En una tienda de electrónica, una computadora portátil y una tableta cuestan juntas $\$1500$. Durante la semana de rebajas, aplican un descuento del $15\,\%$ a la computadora portátil y un $10\,\%$ a la tableta, por lo que el precio conjunto pasa a ser de $\$1305$. Plantee un sistema de ecuaciones para averiguar el precio original de cada artículo.

Determine el valor del parámetro $m$ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones (sea un sistema compatible indeterminado):

$3x - my = 12$

$-6x + 8y = -24$

Dos ciclistas salen al mismo tiempo de dos ciudades, A y B, separadas por $78$ millas, y se dirigen el uno hacia el otro en línea recta. Tardan exactamente $3$ horas en encontrarse. Si la velocidad del primer ciclista es $4$ mph mayor que la del segundo, ¿a qué velocidad circula cada uno?

En un laboratorio se dispone de dos disoluciones de un mismo ácido, una al $10\,\%$ de concentración y otra al $25\,\%$. Se desea obtener $45$ galones de una nueva disolución al $16\,\%$ de concentración. ¿Cuántos galones de cada disolución original se deben mezclar?

Observe la siguiente representación gráfica de un sistema formado por dos rectas, $r_1$ y $r_2$, cuyas ecuaciones son de la forma $ax+by=c$ y $a'x+b'y=c'$. A partir del gráfico, clasifique el sistema según su número de soluciones y explique qué relación algebraica debe existir entre los coeficientes de ambas ecuaciones para que se dé esta situación.

Una persona invierte un total de $\$25000$ en dos fondos de inversión diferentes. El primer fondo le ofrece un interés anual del $4\,\%$, mientras que el segundo le ofrece un $6\,\%$. Si al cabo de un año los beneficios totales obtenidos por ambos fondos ascienden a $\$1320$, ¿qué cantidad de dinero invirtió en cada uno de ellos?