Ejercicios: Paralelismo y perpendicularidad de rectas

Escriba la pendiente de una recta que sea paralela y la pendiente de una recta que sea perpendicular a la recta de ecuación $y = 4x - 7$.

Dadas las rectas $r: y = -2x + 5$ y $s: y = \frac{1}{2}x - 3$, indique razonadamente si son paralelas, perpendiculares o secantes no perpendiculares.

Halle la ecuación explícita de la recta que es paralela a $y = -3x + 2$ y que pasa por el punto $P(0, 5)$.

Un vector director de la recta $r$ es $\vec{v} = (3, -1)$. Escriba un vector director para una recta que sea paralela a $r$ y otro para una recta que sea perpendicular a $r$.

Determine la ecuación punto-pendiente de la recta perpendicular a $y = \frac{2}{5}x - 1$ que pasa por el punto $A(4, 2)$.

Compruebe analíticamente si las rectas dadas en forma general $r: 3x - 6y + 2 = 0$ y $s: x - 2y - 5 = 0$ son paralelas.

Escriba la ecuación general de la recta que es paralela al eje de abscisas (eje X) y pasa por el punto $Q(-3, 8)$.

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos $A(2, -1)$ y $B(5, 8)$, y deduzca a partir de ella cuál sería la pendiente de cualquier recta perpendicular a la misma.

En el plano de una ciudad, la calle Alcalá sigue la trayectoria de la recta $2x + 5y - 10 = 0$. La calle Goya es perpendicular a ella y pasa por una plaza situada en las coordenadas $P(-2, 3)$. Halle la ecuación general de la calle Goya.

Calcule el valor del parámetro $k$ para que la recta $kx - 3y + 6 = 0$ sea paralela a la recta que une los puntos $A(1, 2)$ y $B(4, 11)$.

Un haz láser viaja a lo largo de la recta $y = 3x - 2$. En el punto exacto donde el láser cruza el eje de ordenadas (eje Y), se coloca un espejo perpendicular a la trayectoria del rayo. Determine la ecuación explícita de la recta que representa al espejo.

Los lados contiguos de una parcela rectangular se asientan sobre las rectas $r: 2x - 4y + 7 = 0$ y $s: 4x + 2y - 3 = 0$. Compruebe analíticamente que los lados forman un ángulo recto. Después, halle la ecuación de una recta paralela a $r$ que pase por el origen de coordenadas.

Dos aviones vuelan a la misma altitud. La ruta del primer avión viene dada por las ecuaciones paramétricas $x = 1 + 5t$, $y = -2 - 3t$. La ruta del segundo avión es paralela a la del primero y pasa por la torre de control $T(0, 0)$. Escriba las ecuaciones paramétricas de la ruta del segundo avión.

Determine el valor del parámetro $m$ para que las rectas $r: mx + 4y - 1 = 0$ y $s: 2x - 5y + 8 = 0$ sean perpendiculares.

Una tubería principal de riego sigue la recta de ecuación continua $\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{-3}$. Se necesita instalar una tubería secundaria perpendicular a la principal que conecte con un aspersor situado en $S(-1, 5)$. Halle la ecuación continua de esta tubería secundaria.

Halle la ecuación explícita de la mediatriz del segmento de extremos $A(-2, 3)$ y $B(4, 1)$. (Recuerde que la mediatriz es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio).

El diseño del techo de un pabellón deportivo incluye dos vigas de acero que se cruzan. La viga 1 se apoya en la recta $ax + 3y - 5 = 0$ y la viga 2 en la recta $2x - by + 4 = 0$. Calcule los valores exactos de $a$ y $b$ sabiendo que las vigas son perpendiculares y que la viga 1 pasa por el punto $P(1, -2)$.

Demuestre analíticamente que el cuadrilátero cuyos vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(4, 5)$ y $D(0, 3)$ es un rectángulo. Para ello, compruebe las pendientes de sus lados y confirme que los ángulos contiguos son rectos.

Un barco navega en línea recta siguiendo la trayectoria $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Un faro se encuentra situado en el punto $F(7, 7)$. Calcule la distancia más corta desde el faro hasta la trayectoria del barco. (Pista: halle la recta perpendicular a $r$ que pasa por $F$, encuentre el punto de corte y calcule la distancia entre ambos puntos).

Dadas las rectas $r: \frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{k}$ y $s: 3x - 5y + 2 = 0$, determine el valor de $k$ para que sean paralelas. A continuación, calcule el valor de $k$ para que sean perpendiculares.

Calcule las coordenadas exactas del ortocentro (punto de corte de las tres alturas) del triángulo de vértices $A(-2, 1)$, $B(4, 3)$ y $C(2, -5)$.

Un panel solar está alineado con la recta que pasa por los puntos $P(1, 4)$ y $Q(5, 2)$. Para maximizar la eficiencia, los rayos del sol deben incidir de forma perpendicular sobre el panel. Escriba las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de un rayo de sol que impacta exactamente en el punto medio del panel.

Halle las coordenadas exactas de la proyección ortogonal del punto $P(3, -2)$ sobre la recta $r: x - 2y + 5 = 0$. (Nota: la proyección ortogonal es el punto de intersección de la recta $r$ con la recta perpendicular a ella que pasa por $P$).

Dos robots aspiradores se mueven por una sala diáfana. El primero sigue la trayectoria dada por la ecuación $y = \frac{1}{2}x + 2$. El segundo se mueve por una línea perpendicular a la del primero, de forma que ambos chocarían en el punto exacto de corte de la primera trayectoria con el eje de ordenadas (eje Y). Halle la ecuación explícita de la trayectoria del segundo robot y calcule el área del triángulo formado por las trayectorias de ambos robots y el eje de abscisas (eje X).