Ejercicios: Distancia entre dos puntos

Calcule la distancia exacta entre los puntos $A(2, 3)$ y $B(5, 7)$ en el plano cartesiano.

Un barco se encuentra en las coordenadas $P(-4, 1)$ y un faro en $Q(2, -7)$. Si cada unidad del plano equivale a una milla, ¿a qué distancia en línea recta se encuentra el barco del faro?

Halle la longitud del segmento cuyos extremos son el origen de coordenadas $O(0, 0)$ y el punto $M(-8, 6)$.

Los vértices de un triángulo son $A(1, 1)$, $B(4, 1)$ y $C(1, 5)$. Calcule el perímetro de este triángulo sumando las longitudes de sus tres lados.

En una pantalla de radar bidimensional, dos aviones están localizados en los puntos $R(-3, -2)$ y $S(9, 3)$. Determine la distancia lineal entre ambos en las unidades del radar.

Calcule la longitud de la diagonal de un rectángulo si sabe que dos de sus vértices opuestos tienen las coordenadas $V_1(-1, 4)$ y $V_2(5, -4)$.

Compruebe matemáticamente si los segmentos $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ tienen exactamente la misma longitud, siendo las coordenadas de los puntos $A(0, 2)$, $B(3, 6)$, $C(-2, -1)$ y $D(2, 2)$.

Un topógrafo marca dos puntos en un terreno plano: $T_1(12, 5)$ y $T_2(24, 10)$. Si las coordenadas están expresadas en pies, ¿cuántos pies de cable necesita para unirlos en línea recta?

La distancia entre los puntos $A(1, 2)$ y $B(x, 5)$ es de exactamente $5$ unidades. Encuentre los dos posibles valores de la coordenada $x$.

Un dron de reparto despega desde el centro logístico $O(0,0)$, vuela en línea recta hasta el primer punto de entrega $A(6, 8)$ y luego cambia de rumbo para dirigirse a un segundo punto en $B(15, -4)$. Si cada unidad del plano representa $100$ metros, ¿cuál es la distancia total recorrida por el dron en kilómetros?

En un plano de arquitectura, tres columnas principales se situarán en las coordenadas $P(-2, 1)$, $Q(2, 4)$ y $R(5, 0)$. Demuestre matemáticamente si el triángulo que forman estas tres columnas es isósceles.

Una antena de telecomunicaciones tiene un alcance circular máximo de $10\text{ km}$. Si la antena está ubicada en el punto $C(3, -2)$ de un mapa (donde $1$ unidad de coordenada equivale a $1\text{ km}$), averigüe si un usuario situado en la posición $U(-4, 5)$ se encuentra dentro de la zona de cobertura.

Encuentre las coordenadas de todos los puntos situados sobre el eje de abscisas (eje X) que se encuentren a exactamente $10$ unidades de distancia del punto $M(-6, 8)$.

En una jugada ensayada de fútbol, un jugador situado en $J_1(10, 20)$ realiza un pase raso a su compañero en $J_2(34, 27)$, quien sin parar el balón patea directamente hacia el centro de la portería en $P(50, 15)$. Calcule la distancia total que recorre el balón. (Las coordenadas están dadas en pies).

Demuestre, calculando las longitudes de los tres lados y utilizando el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices $A(2, 1)$, $B(6, 1)$ y $C(2, 4)$ es un triángulo rectángulo.

La estación base de un teleférico está en $B(0, 0)$ y la cima de la montaña en $C(120, 50)$ en un plano bidimensional. Se requiere instalar una torre de soporte exactamente en el punto medio del trayecto lineal. Calcule las coordenadas de dicho punto medio y la distancia desde la base hasta la torre.

Encuentre las coordenadas de un punto $P$ situado sobre la bisectriz del primer cuadrante (la recta $y = x$) que equidiste de los puntos fijos $A(2, 0)$ y $B(0, 4)$.

Los puntos $A(-1, 3)$, $B(4, 5)$ y $C(2, -2)$ son tres vértices consecutivos de un paralelogramo $ABCD$. Encuentre las coordenadas del cuarto vértice $D$ y calcule la longitud exacta de ambas diagonales del paralelogramo.

En un simulador de vuelo espacial en 3D, una nave se mueve desde la coordenada $P_1(2, -1, 4)$ hasta la estación orbital en $P_2(5, 3, 16)$. Calcule la distancia lineal exacta que recorre la nave en el espacio.

Una tubería recta debe conectar un pozo situado en el punto $A(-3, 2)$ con una bomba de agua $P$ que obligatoriamente debe instalarse sobre el eje de ordenadas (eje Y). Si por restricciones de presión la longitud de la tubería debe ser exactamente de $\sqrt{29}$ unidades, encuentre las posibles coordenadas para la bomba $P$.

Los vértices de un terreno con forma triangular son $A(-4, -2)$, $B(2, 6)$ y $C(6, 3)$. Demuestre primero que el terreno forma un triángulo rectángulo y, a continuación, calcule su perímetro y su área exacta.

Un sistema de riego automatizado consta de un aspersor circular con centro en $C(x, y)$ que debe regar por igual tres árboles situados en las coordenadas $T_1(0, 0)$, $T_2(6, 0)$ y $T_3(0, 8)$. Determine las coordenadas en las que debe colocarse el aspersor $C$ y cuál será su radio de alcance exacto.

Determine si los puntos $A(-2, 1)$, $B(1, 3)$ y $C(7, 7)$ están perfectamente alineados. Para ello, calcule las distancias $d(A,B)$, $d(B,C)$ y $d(A,C)$, y compruebe si se cumple la igualdad $d(A,B) + d(B,C) = d(A,C)$.

Una empresa de telecomunicaciones quiere instalar un cable de fibra óptica que conecte dos edificios $E_1(0, 0)$ y $E_2(21, 0)$. El costo de instalación es de $150\text{ \$}$ por cada unidad de longitud. Si deciden añadir un nodo intermedio en $N(16, 12)$ y conectar $E_1$ con $N$, y luego $N$ con $E_2$, ¿cuánto dinero extra costará esta desviación respecto a la conexión directa entre ambos edificios?