Ejercicios: Las leyes del movimiento planetario

Johannes Kepler dedujo tres leyes que describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol a partir de las observaciones de Tycho Brahe.

1. a) Enuncia la primera ley de Kepler (ley de las órbitas).
2. b) Dibuja en tu cuaderno una órbita elíptica y señala en ella los dos focos de la elipse, la posición del Sol, el perihelio (punto más cercano al Sol) y el afelio (punto más alejado).
3. c) Indica qué es el semieje mayor $a$ de la órbita y escribe su expresión en función de las distancias del perihelio, $r_p$, y del afelio, $r_a$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

1. a) Enuncia la segunda ley de Kepler (ley de las áreas).
2. b) Un planeta recorre su órbita elíptica pasando por el perihelio y por el afelio. Aplica la ley de las áreas para razonar en cuál de esos dos puntos se mueve más rápido.
3. c) La velocidad areolar (área barrida por el radio vector por unidad de tiempo) es constante porque el momento angular del planeta se conserva. Explica cualitativamente por qué un radio vector más corto en el perihelio implica una velocidad mayor.

1. a) Enuncia la tercera ley de Kepler (ley de los periodos) y escribe su expresión matemática, $\frac{T^2}{a^3} = C$, indicando el significado de $T$ y de $a$.
2. b) La constante vale $C = \frac{4\times\pi^2}{G\times M}$, donde $M$ es la masa del cuerpo central. Razona si $C$ es la misma para todos los planetas del sistema solar y si lo sería también para las lunas de Júpiter.

La Tierra pasa por el perihelio a una distancia del Sol $r_p = 1.471\times10^{11}\ \text{m}$ y por el afelio a $r_a = 1.521\times10^{11}\ \text{m}$. La figura muestra la órbita con ambas distancias (sin escala):

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita terrestre, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Sabiendo que $1\ \text{UA} = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$ (unidad astronómica: distancia media Tierra–Sol), expresa el resultado en unidades astronómicas y comenta lo que observas.

Para los cuerpos que orbitan el Sol, si el periodo $T$ se expresa en años y el semieje mayor $a$ en unidades astronómicas, la tercera ley de Kepler se reduce a $T^2 = a^3$. Mercurio orbita con un semieje mayor $a = 0.387\ \text{UA}$.

1. a) Calcula el periodo orbital de Mercurio, en años.
2. b) Exprésalo en días terrestres ($1$ año $= 365.25$ días).

Un asteroide del cinturón principal tarda $T = 8$ años en completar su órbita alrededor del Sol. Para los cuerpos que orbitan el Sol se cumple $T^2 = a^3$, con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Despeja el semieje mayor $a$ de la expresión anterior.
2. b) Calcula su valor, en $\text{UA}$.

Un estudiante afirma: «como $\frac{T^2}{a^3} = C$ es una constante universal, su valor es el mismo para la Tierra alrededor del Sol que para la Luna alrededor de la Tierra».

1. a) Razona por qué la afirmación es falsa, teniendo en cuenta que $C = \frac{4\times\pi^2}{G\times M}$, siendo $M$ la masa del cuerpo central.
2. b) Indica un conjunto de cuerpos para el que sí coincidiría la constante con la de las lunas de Júpiter.

Dibuja en tu cuaderno una órbita elíptica alargada con el Sol situado en uno de sus focos.

1. a) Marca dos intervalos de tiempo iguales, uno centrado en el perihelio y otro en el afelio, y sombrea las áreas barridas por el radio vector en ambos tramos.
2. b) De acuerdo con la ley de las áreas, ¿qué relación existe entre las dos áreas sombreadas?
3. c) Razona, a partir del dibujo, en qué tramo el planeta recorre un arco más largo en el mismo tiempo y qué implica eso sobre su velocidad.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Marte orbita el Sol con un semieje mayor $a = 1.524\ \text{UA}$. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Calcula la duración del año marciano, en años terrestres.
2. b) Expresa el resultado en días ($1$ año $= 365.25$ días).

Venus completa su órbita alrededor del Sol en $T = 0.615$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita de Venus, en $\text{UA}$.
2. b) Exprésalo en kilómetros, usando notación científica.

Un equipo de astrónomos descubre un objeto cuyo periodo orbital es $T = 27$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas.

1. a) Calcula el semieje mayor de su órbita, en $\text{UA}$.
2. b) Compáralo con la órbita de Neptuno ($a \approx 30\ \text{UA}$): ¿orbita el objeto más cerca o más lejos del Sol que Neptuno?

Kepler comprobó su tercera ley con los datos de varios planetas. La Tierra tiene $a = 1\ \text{UA}$ y $T = 1$ año; Júpiter tiene $a = 5.20\ \text{UA}$ y $T = 11.86$ años.

1. a) Calcula el cociente $\frac{T^2}{a^3}$ para la Tierra, en $\text{años}^2/\text{UA}^3$.
2. b) Calcula el mismo cociente para Júpiter y comprueba que coincide con el anterior (salvo redondeos).
3. c) Explica por qué ese cociente solo es idéntico para cuerpos que orbitan el mismo cuerpo central.

La excentricidad de una elipse es $e = \frac{c}{a}$, donde $a$ es el semieje mayor y $c$ la distancia del centro de la elipse a uno de los focos. Para la Tierra: $r_p = 1.471\times10^{11}\ \text{m}$ (perihelio) y $r_a = 1.521\times10^{11}\ \text{m}$ (afelio). Observa la geometría de la órbita en la figura (sin escala):

1. a) Calcula el semieje mayor, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Calcula la distancia focal, $c = \frac{r_a - r_p}{2}$, y la excentricidad $e$ de la órbita terrestre.
3. c) Un valor $e = 0$ corresponde a una circunferencia y un valor próximo a $1$, a una elipse muy alargada. Comenta la forma de la órbita terrestre según el valor obtenido.

Ceres, el mayor cuerpo del cinturón de asteroides, tiene un periodo orbital de $T = 4.60$ años. Para los cuerpos que orbitan el Sol, $T^2 = a^3$ con $T$ en años y $a$ en unidades astronómicas; $1\ \text{UA} = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el semieje mayor de la órbita de Ceres, en $\text{UA}$.
2. b) Expresa su distancia media al Sol en metros, usando notación científica.

Un cometa tiene un semieje mayor doble que el de otro cometa del mismo sistema.

1. a) Demuestra, a partir de $T^2 = a^3$, que si $a' = 2\times a$ entonces $T' = \sqrt{8}\times T \approx 2.83\times T$.
2. b) Un asteroide orbita el Sol con $a = 2\ \text{UA}$. Calcula su periodo, en años.
3. c) Razona, sin hacer nuevos cálculos, si un planeta situado a la mitad de distancia del Sol que la Tierra tendría un año más largo o más corto que el terrestre.