Ejercicios: Números binarios y desbordamiento

Convierte el número binario $1011$ a decimal. Luego convierte el número binario de 8 bits $00110101$ a decimal.

Convierte el número decimal $25$ a un número binario de 8 bits. Muestra los valores posicionales ($128, 64, 32, \ldots$) que usaste.

Un bit es un solo 0 o 1, y un byte son 8 bits.

1. a) ¿Cuántos valores distintos se pueden representar con 6 bits?

1. b) ¿Cuántos bytes se necesitan para guardar exactamente 40 bits?

Una calculadora sencilla guarda números enteros sin signo usando solo 4 bits, así que el valor más grande que puede almacenar es $15$. Aaliyah le pide calcular $9 + 8$.

1. a) ¿Cuál es la suma verdadera, escrita en decimal y en binario?

1. b) ¿Qué ocurre dentro de la calculadora y qué valor termina guardando? (Pista: piensa en lo que pasa con el bit extra.)

1. c) ¿Cómo se llama este tipo de error?

Una escuela con 300 clubes quiere asignar a cada club un número de identificación único, guardado como número binario con la misma cantidad de bits para todos los clubes.

1. a) ¿Cuál es el número mínimo de bits necesario?

1. b) Si la escuela agrega un bit más al identificador, ¿cuántos clubes en total puede identificar?

1. c) Explica en una o dos oraciones por qué agregar un bit duplica la cantidad de valores.

En muchos lenguajes de programación, la expresión 0.1 + 0.2 = 0.3 da falso, aunque en la clase de matemáticas es verdadera.

1. a) Explica por qué ocurre. Usa la idea de que las computadoras guardan los números con una cantidad limitada de bits.

1. b) ¿Cómo se llama este tipo de error?

1. c) Describe una forma más segura de que un programa compruebe si dos resultados decimales son «iguales».

Marcus está programando un juego de recolectar monedas. El puntaje se guarda en un contador de 8 bits sin signo, y cada moneda vale 25 puntos. El juego permite hasta 10,000 monedas en un nivel.

1. a) ¿Después de cuántas monedas se desborda por primera vez el contador? ¿Qué puntaje muestra la pantalla después de 11 monedas? Supón que el desbordamiento regresa al residuo de dividir entre $256$.

1. b) Explica por qué un jugador vería esto como un error del juego.

1. c) ¿Cuál es el número mínimo de bits que necesita Marcus para que el puntaje nunca se desborde, aunque un jugador junte las 10,000 monedas? Muestra los números que respaldan tu respuesta.

El patrón de 8 bits $01000001$ podría significar el número $65$, la letra «A» o el brillo de un píxel en una foto.

1. a) Explica cómo «sabe» una computadora cuál significado usar para el mismo patrón.

1. b) La señal de un micrófono se muestrea 1,000 veces por segundo durante 3 segundos. Cada muestra se guarda con 8 bits. ¿Cuántos bytes se necesitan para la grabación?

1. c) Compara usar 2 bits por muestra con usar 8 bits por muestra. ¿Cuántos niveles distintos permite cada uno y cómo afecta esto qué tan parecida es la grabación digital al sonido analógico original?