Ejercicios: Funciones de variable real. Tipos de funciones

Determina el dominio de definición más amplio posible para la siguiente función real de variable real, expresando el resultado mediante la unión de intervalos:

Para resolverlo, deberás considerar simultáneamente las restricciones impuestas por la raíz cuadrada, el logaritmo neperiano y el denominador de la fracción.

Una empresa de ingeniería aeroespacial está diseñando la trayectoria de ascenso de una sonda. La altura $h$ en millas, medida desde un nivel de referencia (negativa por debajo de él), respecto al tiempo $t$ en minutos viene dada por una función compuesta. Se sabe que la función externa es $f(x) = \frac{x-2}{x+3}$ y la función interna es $g(t) = \sqrt{t^2 - 1}$.

Calcule la expresión analítica de la función de altura total $H(t) = (f \circ g)(t)$ y determine razonadamente su dominio y su recorrido en el contexto físico del problema, sabiendo que la sonda comienza su misión en $t = 1$.

Sea la función $f(x) = \frac{3^x - 1}{3^x + 1}$. Demuestre analíticamente que la función es inyectiva en todo su dominio. A continuación, obtenga la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$ y especifique claramente el dominio y el recorrido de dicha inversa.

Dada la función definida a trozos:

Halle los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que la función pasa por el punto $(-2, 0)$ y que presenta una discontinuidad evitable en el punto de abscisa $x = 1$. Una vez hallados, estudie la simetría de la función en el intervalo $[1, +\infty)$.

En el estudio de señales sonoras, se utiliza la función $s(t) = \ln(t)$ para representar la intensidad de una señal primaria. Debido a una interferencia, la señal resultante se transforma según la regla $g(t) = |s(|t-2|)-1|$.

Represente gráficamente la función final $g(t)$ partiendo de la función elemental $\ln(t)$ y explicando detalladamente cada una de las transformaciones geométricas (traslaciones, simetrías y valores absolutos) que tienen lugar.

Se considera la familia de funciones $f_k(x) = \frac{x^2 - k^2}{x^2 + k^2}$ donde $k \in \mathbb{R}, k \neq 0$.

1. Demuestre que para cualquier valor de $k$, la función es par.

2. Determine los puntos de corte con los ejes en función de $k$.

3. Encuentre el valor de $k$ para que la función tome el valor $y = 1/2$ cuando $x = 3$.

4. Discuta si existe algún valor de $k$ para el cual la función tenga asíntotas verticales.

Un algoritmo de inteligencia artificial procesa datos de entrada $x$ mediante una función de activación logística modificada:

Se desea encontrar la función inversa $A^{-1}(x)$ para que el sistema pueda realizar el proceso inverso (decodificación). Halle dicha inversa y determine para qué valores de la salida $y$ es posible realizar la decodificación (rango de la función original).

Toda función $f(x)$ puede descomponerse, en los puntos $x$ en los que existen $f(x)$ y $f(-x)$, de forma única como la suma de una función par $g(x)$ y una función impar $h(x)$, de tal manera que:

Dada la función $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$, halle sus componentes par e impar. Compruebe analíticamente que, efectivamente, $g(x)$ es una función par y $h(x)$ es una función impar. ¿Cuáles son los dominios de cada una de estas tres funciones?

Un nuevo servicio de streaming de videojuegos aplica una tarifa mensual basada en el consumo de datos de alta velocidad. Los primeros $20$ GB están incluidos en una cuota fija de $\$15$. A partir de ahí, el precio por cada GB adicional aumenta de forma lineal según la función $P(x) = 15 + 0,5(x - 20)$, donde $x$ es el número total de GB consumidos.

Sin embargo, si el usuario supera los $100$ GB, la empresa aplica una penalización por exceso de tráfico y la función pasa a ser $P(x) = 0,1x^2 - 45$.

Escriba la expresión analítica de la función costo total $C(x)$ como una función definida a trozos y compruebe si el precio "salta" o es continuo justo en el momento de consumir $100$ GB.

Dada la función racional $f(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - x - 2}$:

1. Calcule su dominio.

2. Identifique si existe algún punto donde la función presente una "discontinuidad evitable" (un punto donde el numerador y el denominador se anulen simultáneamente).

3. Calcule los puntos de corte con los ejes de coordenadas.

Considere las funciones $f(x) = \sqrt{x + 2}$ y $g(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$.

1. Halle la expresión de la función compuesta $(g \circ f)(x)$.

2. Determine el dominio de $(g \circ f)(x)$.

3. ¿Coincide este dominio con el de la función $h(x) = \frac{1}{x+1}$? Justifique su respuesta.

Un dron de vigilancia realiza un vuelo de prueba siguiendo una trayectoria cuya altura en pies respecto al tiempo en segundos viene dada por la función:

1. ¿Desde qué altura despega el dron?

2. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza y en qué segundo ocurre?

3. Si el dron debe aterrizar cuando su batería llega al $5\%$ (lo que ocurre a los $21$ segundos), ¿a qué altura se encontrará en ese momento? Explique si el resultado tiene sentido físico.

Halle la función inversa $f^{-1}(x)$ de la función $f(x) = \frac{e^x + 3}{2}$. Indique el dominio y el recorrido de ambas funciones y compruebe gráficamente su simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Estudie la simetría (par, impar o asimétrica) de las siguientes funciones justificando los pasos mediante el cálculo de $f(-x)$:

1. $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$

2. $g(x) = x \cdot \cos(x)$

3. $h(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (Función coseno hiperbólico)

Determine el dominio de definición de las siguientes funciones de variable real basándose en las restricciones de las operaciones que las forman:

1. a) $f(x) = \frac{2x - 5}{x^2 - 9}$

1. b) $g(x) = \sqrt{3x + 12}$

1. c) $h(x) = \ln(x - 1)$

A partir de la siguiente gráfica de la función $f(x)$, identifique los valores de los límites laterales y la imagen de la función en el punto de discontinuidad $x = 1$:

1. a) $\lim_{x \to 1^-} f(x)$

1. b) $\lim_{x \to 1^+} f(x)$

1. c) $f(1)$

Clasifique las siguientes funciones según su tipo (polinómica, racional, irracional, exponencial o logarítmica):

1. a) $f(x) = 3^x - 1$

1. b) $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$

1. c) $h(x) = \log_{10}(x^2)$

1. d) $i(x) = x^3 - 5x + 2$

1. e) $j(x) = \sqrt[3]{x - 4}$

Calcule los siguientes límites directos por sustitución, comprobando si el valor obtenido es finito:

1. a) $\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)$

1. b) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + 1}{x + 3}$

1. c) $\lim_{x \to -1} \sqrt{x + 5}$

Una compañía telefónica ofrece un plan de datos donde los primeros $10$ GB cuestan $\$15$ fijos. A partir de ahí, cada GB extra se cobra a $\$2$. La función que representa el costo total $C(x)$ en función de los GB consumidos $x$ es:

$C(x) = \begin{cases} 15 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ 15 + 2(x - 10) & \text{si } x > 10 \end{cases}$

Estudie si la función es continua en el punto crítico $x = 10$.

Dadas las funciones $f(x) = x + 3$ y $g(x) = x^2 - 1$, realice las siguientes operaciones y determine el dominio de la función resultante:

1. a) $(f + g)(x)$

1. b) $(f \cdot g)(x)$

1. c) $(\frac{f}{g})(x)$

Observe la siguiente gráfica e identifique visualmente las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales:

Dada la función con valor absoluto $f(x) = |x - 3|$, represéntela como una función definida a trozos y calcule su valor para $x = 0$ y $x = 5$.