Ejercicios: Reglas de derivación y función derivada de funciones usuales

Un dron de vigilancia despega verticalmente desde una plataforma. La altura $h$ en pies respecto al tiempo $t$ en segundos viene dada por la función polinómica $h(t) = t^3 - 4t^2 + 5t + 2$. Calcule la función derivada $h'(t)$, que representa la velocidad instantánea del dron en cualquier instante $t$.

Una cuenta de una red social ha analizado su crecimiento y ha determinado que el número de seguidores $S$ evoluciona según la función exponencial $S(t) = 150 \cdot e^{0,4t}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses desde su creación. Determine la función derivada $S'(t)$ para conocer el ritmo de crecimiento de seguidores.

Calcule la función derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación de las funciones elementales (potencias y raíces):

1. a) $f(x) = x^7 - 5x^3 + \pi$

1. b) $g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$

Dada la función cuadrática $f(x) = x^2 - 6x + 5$, se pide:

1. a) Hallar la función derivada $f'(x)$.

1. b) Calcular el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 4$.

Halle la función derivada de las siguientes funciones trascendentes utilizando la tabla de derivadas de funciones usuales:

1. a) $f(x) = 4 \cdot \ln(x) + \log_{2}(x)$

1. b) $g(x) = 3^x - 5 \cdot \sin(x)$

Un resorte oscila siguiendo un movimiento armónico simple descrito por la función $y(x) = 5 \cdot \cos(x) + 2$, donde $y$ es la posición en pulgadas y $x$ es el tiempo. Obtenga la expresión de la función derivada $y'(x)$, que representa la velocidad de oscilación del resorte.

Calcule la derivada de las siguientes funciones compuestas sencillas utilizando la regla de la cadena de forma directa:

1. a) $f(x) = (2x + 3)^5$

1. b) $g(x) = e^{x^2 - 1}$

Dada la función $f(x) = \frac{x^4}{4} - \sqrt[3]{x}$, calcule su función derivada $f'(x)$ y simplifique el resultado expresando la raíz de nuevo en forma radical.

Calcule la función derivada de la siguiente función compuesta, aplicando la regla de la cadena y simplificando el resultado al máximo:

$f(x) = \cos^3(e^{x^2+1})$

Dada la función racional que involucra logaritmos neperianos:

$g(x) = \frac{\ln(x^2 + 4)}{x}$

Halle la expresión de su derivada $g'(x)$ y determine los valores de $x$ para los cuales la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $g(x)$ es igual a cero.

Un dron de vigilancia sigue una trayectoria cuya altura en pies viene dada por la función $h(t) = 15t \cdot e^{-0.2t}$, donde $t$ es el tiempo en segundos desde el despegue.

1. a) Calcule la función que representa la velocidad vertical del dron, $v(t) = h'(t)$.
2. b) ¿Cuál es la velocidad vertical del dron en el instante $t = 5$ segundos?

Halle los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x) = a \cdot \sin(x) + b \cdot e^{-x}$ cumpla las siguientes condiciones simultáneamente:

• Pasa por el punto $(0, 3)$.

• Su derivada en el origen es $f'(0) = 2$.

Utilice la técnica de la derivación logarítmica para obtener la derivada de la siguiente función potencial-exponencial:

$f(x) = (x^2 + 1)^{\sin(x)}$

Calcule la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x) = \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$ en el punto de abscisa $x = 2$.

Dada la función $f(x) = \ln(\cos(x))$, obtenga:

1. a) La primera derivada $f'(x)$.
2. b) La segunda derivada $f''(x)$, simplificando el resultado utilizando funciones trigonométricas usuales.

Calcule la derivada de la siguiente función simplificando el resultado final tanto como sea posible mediante identidades trigonométricas:

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)$

Dada la función trascendente definida por $f(x) = (\arctan x)^x$ para $x > 0$, utilice la técnica de derivación logarítmica para calcular su función derivada $f'(x)$. Una vez obtenida, calcule el valor exacto de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.

Determine los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que la siguiente función definida a trozos sea derivable en todo su dominio:

Explique razonadamente la relación entre la continuidad y la derivabilidad en el punto de ruptura $x = 1$.

Helle la expresión general de la derivada n-ésima ($f^{(n)}(x)$) para la función racional:

Indicación: Descomponga la función en fracciones simples antes de comenzar a derivar sucesivamente.

Considere la curva definida de forma implícita por la ecuación:

1. a) Halle la expresión de la derivada $y'$ en función de $x$ e $y$ mediante derivación implícita.
2. b) Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva en el punto $P(3, 1)$.

Sea la función $f(x) = x^3 + 2x + \cos(x - 1)$.

1. a) Demuestre que $f(x)$ es biyectiva en todo $\mathbb{R}$ (puede apoyarse en el estudio de su crecimiento).
2. b) Sabiendo que $f(1) = 4$, calcule el valor de la derivada de la función inversa en ese punto, es decir, $(f^{-1})'(4)$.

Un dron de vigilancia se desplaza siguiendo la trayectoria dada por la función $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. Un operario situado en el punto $A(2, 0)$ observa el dron.

Calcule el punto de la trayectoria donde el dron se encuentra a la distancia mínima del operario.

Nota: Para minimizar la distancia $d$, basta con minimizar el cuadrado de la distancia $d^2$. Deberá derivar la función resultante de la distancia.

Calcule la derivada de la siguiente función compuesta y simplifique el resultado al máximo utilizando identidades trigonométricas:

¿Qué curiosidad observa en el resultado final simplificado?

En un laboratorio de biotecnología, el volumen de una población de bacterias (en $mm^3$) crece según la función $V(t) = 20 \cdot e^{0.5t}$, donde $t$ es el tiempo en horas. Al mismo tiempo, el radio de la placa de cultivo circular donde crecen las bacterias se expande de forma que el área ocupada por la población es $A(t) = \pi \cdot [r(t)]^2$.

Si suponemos que el grosor de la capa bacteriana es constante e igual a $0.1 mm$ (de modo que $V = A \cdot h$), calcule la tasa de variación instantánea del radio de la población en el instante $t = 2$ horas.