Ejercicios: Razones del ángulo resta de dos ángulos

Calcule el valor exacto de $\cos(15^\circ)$ sin utilizar la calculadora, aplicando la fórmula del coseno de la resta de dos ángulos y sabiendo que $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

Halle el valor exacto de $\sin(15^\circ)$ expresando el ángulo como la diferencia $60^\circ - 45^\circ$ y aplicando la identidad correspondiente.

Determine el valor exacto de $\tan(15^\circ)$ a partir de las tangentes de los ángulos notables $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionalice el resultado si es necesario.

Simplifique la expresión $\sin(90^\circ - x)$ aplicando la fórmula del seno de la resta de dos ángulos y compruebe que equivale a una de las razones trigonométricas básicas del ángulo $x$.

Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos del primer cuadrante, calcule el valor exacto de $\sin(\alpha - \beta)$.

Simplifique al máximo la siguiente expresión trigonométrica: $\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$. A continuación, utilice el resultado simplificado para evaluar la expresión de forma exacta cuando $x = 75^\circ$ e $y = 15^\circ$.

Demuestre paso a paso que $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ utilizando la fórmula del coseno para la resta de ángulos.

Calcule el valor exacto de $\tan(105^\circ)$ utilizando la fórmula de la resta de ángulos, considerando que $105^\circ = 135^\circ - 30^\circ$.

En una simulación de navegación marítima, un barco debe ajustar su rumbo actual. El ángulo de corrección necesario viene dado por la expresión $\alpha - \beta$. Sabiendo que $\alpha$ y $\beta$ son ángulos agudos, con $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = \frac{1}{2}$, calcule el valor exacto de $\tan(\alpha - \beta)$ y deduzca la amplitud del ángulo de corrección.

Simplifique la siguiente expresión algebraica trigonométrica y exprésela en función exclusivamente de las tangentes de los ángulos $a$ y $b$:

$\frac{\sin(a - b)}{\cos a \cos b}$

Un rayo de luz atraviesa dos medios distintos con ángulos de refracción $\alpha$ y $\beta$. Si por las propiedades de los materiales sabemos que $\cos \alpha = \frac{3}{5}$ (siendo $\alpha$ un ángulo del cuarto cuadrante) y $\sin \beta = \frac{5}{13}$ (siendo $\beta$ un ángulo del segundo cuadrante), determine el valor exacto de $\cos(\alpha - \beta)$.

Evalúe de forma exacta, sin hacer uso de la calculadora, la siguiente expresión trigonométrica identificando a qué desarrollo corresponde:

$\sin(75^\circ) \cos(15^\circ) - \cos(75^\circ) \sin(15^\circ)$

Dos fuerzas coplanarias se aplican sobre un objeto formando ángulos $\alpha$ y $\beta$ con la horizontal, respectivamente. Si $\sin \alpha = \frac{8}{17}$ y $\cos \beta = \frac{4}{5}$ (estando ambos ángulos en el primer cuadrante), calcule el seno del ángulo que forman entre sí ambas fuerzas, es decir, $\sin(\alpha - \beta)$.

Demuestre analíticamente que $\tan(45^\circ - x) = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$. Utilice este resultado para encontrar el valor exacto de $\tan(15^\circ)$ sabiendo que $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Sabiendo que dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ son complementarios ($\alpha + \beta = 90^\circ$), demuestre paso a paso que se cumple la identidad $\sin(\alpha - \beta) = \cos(2\beta)$.

En un estudio de mercado, los ciclos de ventas estacionales de dos productos se modelan mediante funciones trigonométricas. La diferencia de fase que determina la competencia directa está dada por el valor de $\cos(x - y)$. Si $\sin x = \frac{1}{3}$ y $\cos y = \frac{2}{5}$, con $x$ situado en el primer cuadrante e $y$ en el cuarto cuadrante, halle el valor exacto de $\cos(x - y)$.

Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones posibles para el intervalo $0^\circ \leq x < 360^\circ$:

$\sin(x - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Demuestre la siguiente identidad trigonométrica combinando adecuadamente las fórmulas de la suma y la resta de ángulos para el seno y el coseno:

$\frac{\cos(a - b) - \cos(a + b)}{\sin(a + b) + \sin(a - b)} = \tan b$

Un topógrafo observa un acantilado de altura $H$ y, situado justo en el borde sobre él, un faro de altura $h$. Desde su posición a una distancia horizontal $d$, el ángulo de elevación hasta la base del faro es $\beta$ y hasta la cúpula del faro es $\alpha$. Exprese la tangente del ángulo bajo el cual se ve exclusivamente el faro, es decir $\tan(\alpha - \beta)$, en función únicamente de las distancias $H$, $h$ y $d$.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas sabiendo que tanto $x$ como $y$ son ángulos pertenecientes al primer cuadrante:

$\sin x \cos y = \frac{3}{4}$

$\cos x \sin y = \frac{1}{4}$

Sugerencia: Calcule en primer lugar el valor de $\sin(x - y)$ y $\sin(x + y)$ sumando y restando ambas ecuaciones.

En el diseño de un brazo robótico, el ángulo de rotación de la articulación final depende de la resta de dos ángulos de control internos $\alpha$ y $\beta$. Si la tangente del ángulo resultante es $\tan(\alpha - \beta) = 2$ y por restricciones mecánicas sabemos que $\tan \alpha = 3 \tan \beta$, determine los posibles valores exactos de $\tan \beta$.

Demuestre analíticamente que $\sin(\alpha - \beta) \cdot \sin(\alpha + \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$. A continuación, utilice este resultado algebraico para calcular mentalmente el valor exacto de la expresión $\sin(75^\circ) \cdot \sin(15^\circ)$.

Resuelva la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones posibles en el intervalo $[0, 2\pi)$ radianes:

$\cos(x - 45^\circ) + \cos(x + 45^\circ) = 1$

En un circuito de corriente alterna, la diferencia de potencial entre dos nodos viene dada por la superposición de dos señales desfasadas: $V(t) = 10 \sin(\omega t) - 10 \sin(\omega t - \frac{\pi}{3})$. Utilice las fórmulas trigonométricas de la resta de ángulos para expresar la diferencia de potencial $V(t)$ en la forma simplificada $A \sin(\omega t + \phi)$, determinando los valores de $A$ y $\phi$.