Ejercicios: Teorema del coseno

En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ pulgadas, $c=8$ pulgadas y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcule la longitud del lado $a$.

En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ pulgadas, $b=5$ pulgadas y $c=7$ pulgadas. Calcule la amplitud del ángulo $C$.

En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ pulgadas, $b=12$ pulgadas y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantee el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado $c$.

Determine la medida del ángulo $B$ en un triángulo cuyos lados son $a=7$ pulgadas, $b=8$ pulgadas y $c=9$ pulgadas.

Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 pulgadas y 6 pulgadas. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcule la longitud de la diagonal mayor.

Calcule la distancia entre dos puntos inaccesibles $A$ y $B$, sabiendo que desde un punto de observación $C$ se han medido las distancias $CA = 15$ pies y $CB = 20$ pies, y el ángulo visual $ACB$ es de $40^\circ$.

En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 pulgadas cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcule el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado con radicales.

Determine el mayor ángulo de un triángulo cuyos lados miden 4 pulgadas, 5 pulgadas y 6 pulgadas.

Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ mph con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ mph con un rumbo de $115^\circ$. ¿Qué distancia en línea recta los separa después de 1,5 horas de vuelo?

Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125,5$ pies y $CB = 180,2$ pies, y el ángulo $ACB = 75^\circ$. Calcule la distancia $AB$.

Dos fuerzas de 45 N y 60 N actúan sobre un mismo punto material formando un ángulo de $50^\circ$ entre sí. Calcule la magnitud de la fuerza resultante.

Las diagonales de un romboide miden 12 pulgadas y 16 pulgadas, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcule la longitud de los cuatro lados del romboide.

Una cercha de techo triangular tiene lados de 5 pies, 7 pies y 9 pies. Calcule el ángulo opuesto al lado más largo.

En un campo de fútbol, un jugador se encuentra a 25 pies de un poste de la portería y a 28 pies del otro poste. Sabiendo que la portería tiene un ancho reglamentario de 7,32 pies, ¿bajo qué ángulo ve el jugador la portería de extremo a extremo?

Dos satélites orbitan la Tierra. Desde una estación de seguimiento, las distancias en línea recta a los satélites son 400 millas y 600 millas, y el ángulo entre sus líneas de visión es de $35^\circ$. ¿A qué distancia se encuentran los satélites entre sí?

En una circunferencia de 10 pulgadas de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcule la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno en el triángulo formado por los radios y la cuerda.

En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantee la ecuación correspondiente, determine el valor de $x$ y las longitudes exactas de los tres lados.

Demuestre algebraicamente que en cualquier triángulo $ABC$ se cumple la siguiente relación:

$a^2 + b^2 + c^2 = 2(ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B)$

En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ pulgadas, $b=10$ pulgadas y $c=12$ pulgadas. Calcule la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio del lado $a$.

Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ pulgadas, $BC=4$ pulgadas, $CD=5$ pulgadas y $DA=6$ pulgadas. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico, plantee un sistema utilizando el teorema del coseno en los triángulos $ABC$ y $ADC$ para calcular la longitud exacta de la diagonal $AC$.

Si en un triángulo $ABC$ se cumple la relación algebraica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determina la medida exacta del ángulo $A$ sin hacer uso de la calculadora.

Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ pulgadas y un perímetro constante $p = 26$ pulgadas. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de ecuaciones y halla las longitudes exactas de los otros dos lados $a$ y $b$.

Dos circunferencias de radios 5 pulgadas y 8 pulgadas se cortan en dos puntos. La distancia entre sus centros es de 10 pulgadas. Calcula la longitud de la cuerda común a ambas circunferencias. (Sugerencia: Usa el teorema del coseno para hallar el ángulo central en el triángulo formado por los radios y la línea de centros, y a partir de ahí obtén la altura del triángulo).

Calcula el ángulo agudo que forman dos diagonales principales de un cubo. Para ello, expresa la longitud de la diagonal en función de la arista $a$ y aplica el teorema del coseno en el triángulo formado por las mitades de dos diagonales y una arista del cubo.