Ejercicios: Estadísitica descriptiva unidimensional

En un estudio sobre el uso de redes sociales en una escuela secundaria, se han identificado las siguientes variables. Clasifique cada una de ellas como cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua:

1. a) Red social favorita (TikTok, Instagram, Twitter, etc.).
2. b) Número de seguidores en la cuenta principal.
3. c) Tiempo diario (en minutos) de uso del teléfono celular.
4. d) Marca del dispositivo celular (Apple, Samsung, Xiaomi, etc.).
5. e) Calificación numérica obtenida en el último examen de Matemáticas.

Un gobierno municipal quiere conocer la opinión de los adolescentes sobre las nuevas pistas de skate de la ciudad. Para ello, selecciona al azar a $200$ jóvenes de entre $14$ y $18$ años que acuden a los centros juveniles de los distintos barrios.

Indique cuál es la población objeto de estudio y cuál es la muestra elegida. ¿Considera que la muestra es representativa si solo se pregunta en los centros juveniles?

Se ha preguntado a un grupo de $20$ estudiantes de 11.º grado cuántos libros han leído por placer durante el último año. Los datos obtenidos son los siguientes:

$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 4, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5$

Organice estos datos en una tabla de frecuencias que incluya la frecuencia absoluta ($n_i$), la frecuencia relativa ($f_i$) y la frecuencia absoluta acumulada ($N_i$).

Observe el siguiente gráfico que representa el deporte preferido de un grupo de alumnos de su grado:

A partir del diagrama de barras:

1. a) ¿Cuál es la moda de esta distribución?
2. b) ¿Cuántos alumnos prefieren el básquetbol o la natación en total?
3. c) Si en total se encuestó a $30$ alumnos, ¿cuántos eligieron la natación (sabiendo que la barra llega a la mitad entre 4 y 8)?

Las notas obtenidas por $7$ amigos en un trabajo de Economía son:

$6,5; \quad 8,0; \quad 4,5; \quad 7,0; \quad 9,5; \quad 6,5; \quad 5,0$

Calcule la media aritmética ($\bar{x}$) y la mediana ($Me$) de las calificaciones.

En una competencia de videojuegos, se han registrado los tiempos (en segundos) que tardan los participantes en completar el primer nivel. Al ser una variable continua, los datos se han agrupado en intervalos:

Tiempo (s)	Frecuencia ($n_i$)
$[30, 40)$	$12$
$[40, 50)$	$25$
$[50, 60)$	$18$
$[60, 70)$	$5$

Calcule las marcas de clase ($x_i$) de cada intervalo y determine el tamaño total de la muestra ($N$).

Se ha realizado una encuesta sobre el número de hermanos que tienen los alumnos de una clase. La tabla de frecuencias absolutas acumuladas ($N_i$) es la siguiente:

Nº Hermanos ($x_i$)	$N_i$
$0$	$6$
$1$	$18$
$2$	$26$
$3$	$30$

Responda a las siguientes preguntas justificando su respuesta:

1. a) ¿Cuántos alumnos son hijos únicos?
2. b) ¿Cuántos alumnos tienen exactamente $2$ hermanos?
3. c) ¿Cuál es el número total de alumnos en la clase?

Un grupo de música quiere saber en qué formato prefieren escuchar sus canciones sus seguidores. Han elaborado un diagrama circular con los resultados de $400$ encuestas:

Si el $10 \%$ de los seguidores prefiere el formato físico, el $30 \%$ la descarga digital y el $60 \%$ el streaming:

1. a) Calcule la frecuencia absoluta de seguidores que prefieren cada formato (sabiendo que $N=400$).
2. b) ¿Cuál es la frecuencia relativa ($f_i$) del formato streaming?

Un grupo de investigadores ha realizado una encuesta a 40 estudiantes de high school sobre el número de horas semanales que dedican a ver contenido en plataformas de streaming. Los datos recopilados son los siguientes:

$12, 15, 10, 8, 12, 14, 20, 18, 15, 12, 10, 9, 14, 15, 12, 18, 22, 15, 12, 10,$

$14, 16, 12, 15, 18, 12, 10, 14, 15, 12, 16, 14, 12, 15, 10, 18, 12, 14, 15, 12$

1. a) Clasifique la variable estadística estudiada.
2. b) Elabore una tabla de frecuencias que incluya frecuencias absolutas, relativas, acumuladas y relativas acumuladas.
3. c) Represente los datos mediante un diagrama de barras.

Una empresa de telefonía ha medido la duración (en minutos) de 50 llamadas realizadas durante la mañana. Al ser una variable continua, se han agrupado los datos en los siguientes intervalos:

Duración (min)	$[0, 5)$	$[5, 10)$	$[10, 15)$	$[15, 20)$	$[20, 25)$
N.º de llamadas	$12$	$18$	$10$	$7$	$3$

1. a) Calcule la marca de clase de cada intervalo.
2. b) Calcule la media aritmética y la desviación típica de la duración de las llamadas.
3. c) ¿Qué porcentaje de llamadas duran 10 minutos o más?

Se ha realizado un examen de admisión a una escuela técnica y las notas obtenidas por los aspirantes se resumen en la siguiente tabla de frecuencias acumuladas:

Nota ($x_i$)	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
Frec. Acumulada ($N_i$)	$4$	$10$	$25$	$42$	$56$	$64$	$70$

1. a) ¿Cuántos alumnos realizaron el examen?
2. b) Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil. Explique el significado del tercer cuartil en este contexto.
3. c) Calcule el percentil 40 ($P_{40}$) e interprételo.

Dos jugadores de básquetbol, Alba y Bruno, han anotado las siguientes cantidades de puntos en sus últimos 8 partidos:

• Alba: $18, 22, 15, 20, 25, 14, 19, 23$

• Bruno: $20, 21, 19, 22, 20, 20, 21, 17$

1. a) Calcule la media y el rango de puntos de cada jugador.
2. b) Calcule la desviación típica de ambos.
3. c) Utilice el coeficiente de variación para determinar cuál de los dos jugadores es más regular en sus anotaciones. Justifique su respuesta.

A partir del siguiente diagrama de caja (box-plot) que representa el tiempo de reacción (en milisegundos) de un grupo de personas ante un estímulo visual:

1. a) Identifique los valores correspondientes al mínimo, máximo, $Q_1$, $Q_2$ (mediana) y $Q_3$, sabiendo que la escala es lineal y los extremos de la caja están en $210$ y $290$.
2. b) Calcule el rango intercuartílico e interprételo.
3. c) ¿Se puede afirmar que el $50\%$ de la población tiene un tiempo de reacción superior a la mediana? Justifique la respuesta.

En una pequeña empresa, el sueldo medio de los 10 empleados es de $\$1450$ mensuales con una desviación típica de $\$120$. Debido a los buenos resultados del año, la dirección decide aplicar un aumento lineal a todos los trabajadores consistente en una parte fija de $\$50$ y una parte variable del $3\%$ sobre el sueldo base actual ($y_i = 1,03 \cdot x_i + 50$).

1. a) Calcule cuál será el nuevo sueldo medio del personal.
2. b) Calcule la nueva desviación típica.
3. c) ¿Ha variado el coeficiente de variación? Justifique matemáticamente cómo afectan estas transformaciones a la dispersión relativa.

Se ha realizado un estudio sobre el número de hijos en una muestra de familias de un barrio. Algunos datos de la tabla de frecuencias se han perdido:

N.º de hijos ($x_i$)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Frec. absoluta ($n_i$)	$8$	$a$	$12$	$b$	$2$
Frec. relativa ($f_i$)	$0,20$	$0,35$	$c$	$d$	$0,05$

1. a) Halle el tamaño de la muestra ($N$).
2. b) Calcule los valores de $a, b, c$ y $d$ para completar la tabla.
3. c) Determine la moda y la mediana del número de hijos.

Se quiere comparar la homogeneidad de los precios de los menús diarios en dos zonas distintas de una ciudad. Los datos obtenidos (en dólares) son:

• Zona A: $12, 13, 12, 15, 14, 12, 16, 11$

• Zona B: $9, 10, 18, 15, 11, 14, 10, 21$

1. a) Calcule la media y la desviación típica de los precios en cada zona.
2. b) ¿En qué zona los precios están más dispersos en términos absolutos (desviación típica)?
3. c) ¿En qué zona son los precios más heterogéneos en términos relativos? Utilice el coeficiente de variación para comparar ambas distribuciones.

En una prestigiosa academia de e-sports, el equipo de analistas estudia el tiempo de reacción (en milisegundos) de 50 jugadores profesionales. Al revisar el informe final, se dan cuenta de que una mancha de café ha borrado parte de los registros de la tabla de frecuencias. Solo se conservan los siguientes datos: la media aritmética de la distribución es $\bar{x} = 182$ ms, la desviación estándar es $\sigma = 12$ ms y se sabe que el tiempo de reacción sigue una distribución aproximadamente simétrica. Si se decide agregar un nuevo jugador cuyo tiempo de reacción es de $160$ ms, razona matemáticamente cómo variará el coeficiente de variación de la muestra original y determina el valor exacto de la nueva varianza tras la incorporación de este dato.

Una empresa de mensajería utiliza camionetas eléctricas para sus entregas. El costo de mantenimiento mensual $C$ por camioneta depende del número de millas recorridas $x$ según la función lineal $C(x) = 0,15x + 40$. En el último mes, el promedio de millas de su flota de 25 camionetas fue de $1200$ millas con una varianza de $14400$ millas$^2$.

1. a) Calcula el costo promedio mensual de mantenimiento y su desviación estándar.
2. b) Debido a un aumento en el precio de los componentes, la empresa decide aplicar un recargo fijo de $\$10$ extra a cada camioneta y, además, el costo variable por milla aumenta un $20\%$. ¿Cuál será el nuevo coeficiente de variación de los costos de mantenimiento?

Se ha realizado un estudio sobre el gasto semanal en entretenimiento de los estudiantes de una escuela secundaria. Los datos se presentan agrupados en intervalos de la misma amplitud en la siguiente tabla, pero faltan las frecuencias absolutas de dos intervalos medios ($n_2$ y $n_3$):

Gasto ($\$$)	$x_i$ (Marca de clase)	$n_i$
$[0, 20)$	$10$	$8$
$[20, 40)$	$30$	$n_2$
$[40, 60)$	$50$	$n_3$
$[60, 80)$	$70$	$12$

Sabiendo que el tamaño de la muestra es $N = 60$ y que la media aritmética del gasto es $\$\bar{x} = 44$, calcula los valores de $n_2$ y $n_3$. Una vez completada la tabla, determina el valor exacto de la mediana mediante interpolación lineal.

Un nutricionista analiza el contenido de azúcar (en onzas por cada 100 ml) de dos marcas de refrescos "zero", A y B. Los resultados se resumen en los siguientes diagramas de caja (Box-plot). Observando los gráficos:

1. a) ¿Cuál de las dos marcas presenta una distribución más dispersa en el $50\%$ central de sus datos? Justifica tu respuesta calculando el rango intercuartílico visualmente.
2. b) Si la marca A presenta una media de $0,5$ onzas y la marca B una media de $0,8$ onzas, y ambas tienen desviaciones estándar idénticas, ¿cuál de las dos es más constante en su producción? Utiliza el parámetro estadístico adecuado para comparar ambas marcas.

En una competencia de tiro con arco, se registran las puntuaciones de dos arqueras, Elena y Sofía, tras 40 lanzamientos. Elena tiene una puntuación media de $8,2$ con una desviación estándar de $1,3$. Sofía presenta las siguientes frecuencias acumuladas de sus puntuaciones: el $25\%$ de sus tiros fueron de $7$ puntos o menos, el $50\%$ de $8$ puntos o menos, y el $75\%$ de $9$ puntos o menos.

1. a) Suponiendo que las puntuaciones de Sofía siguen una distribución aproximadamente normal (en la que $\sigma \approx \frac{RIC}{1,35}$), determina razonadamente cuál de las dos arqueras es más regular.
2. b) Si para ganar un torneo se requiere que al menos el $30\%$ de los lanzamientos sean de puntuación $10$, y sabemos que Elena ha obtenido un $10$ en $12$ ocasiones, ¿cumple Elena el requisito? ¿Se puede saber si Sofía lo cumple con los datos de sus cuartiles?

Un gobierno municipal analiza el consumo de agua por hogar mediante un histograma de frecuencias relativas. Debido a la naturaleza de los datos, los intervalos tienen amplitudes diferentes: $[0, 10)$, $[10, 20)$, $[20, 40)$ y $[40, 70)$ pies cúbicos mensuales. Las alturas de los rectángulos del histograma (densidad de frecuencia) son $0,03$; $0,04$; $0,015$ y $0,0033$, respectivamente.

1. a) Calcule la frecuencia relativa de cada intervalo.
2. b) ¿Cuál es el consumo medio por hogar en este municipio?
3. c) Determine el valor del percentil $80$ e interprete su significado en el contexto del ahorro de agua.

Un inversionista analiza la rentabilidad diaria de dos criptoactivos durante un mes ($30$ días). El activo $X$ tiene una media de rentabilidad del $2\%$ y una varianza del $9\%$. El activo $Y$ tiene una rentabilidad diaria que se puede resumir así: $10$ días perdió un $1\%$, $15$ días ganó un $3\%$ y $5$ días ganó un $5\%$.

1. a) Calcule la rentabilidad media y la desviación típica del activo $Y$.
2. b) Utilizando el coeficiente de variación, determine cuál de los dos activos es más volátil (menos predecible).
3. c) Si el inversionista decide crear una cartera combinada con el $60\%$ del capital en el activo $X$ y el $40\%$ en el activo $Y$, ¿cuál sería la rentabilidad media esperada de la cartera?

Se dispone de una serie de 10 datos numéricos cuya media es $\bar{x} = 15$ y cuya varianza es $s^2 = 20$. Por un error de transcripción, uno de los datos que era un $12$ se anotó como un $22$.

1. a) Calcule la media real del conjunto de datos tras corregir el error.
2. b) Calcule el valor exacto de la varianza real del conjunto. (Pista: Utilice la relación entre la varianza y la suma de los cuadrados de los datos, $\sum x_i^2$).