Ejercicios: Covarianza y correlación

En estadística, es fundamental distinguir entre una relación que se puede calcular con una fórmula exacta y otra que solo muestra una tendencia. Indica si la relación entre las siguientes parejas de variables es funcional o estadística (correlación):

1. a) El número de horas que un estudiante de 11.º grado pasa jugando a videojuegos y su nota en el examen de Economía.
2. b) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.
3. c) Los galones de gasolina que se le ponen a un auto y el importe total a pagar en la gasolinera.
4. d) La estatura de un adolescente y su peso corporal.

La dirección de la relación entre dos variables nos indica cómo varía una cuando cambia la otra. Determina si existe una correlación positiva, correlación negativa o si las variables están incorrelacionadas en los siguientes casos:

1. a) El número de faltas de asistencia a clase y la calificación final del curso.
2. b) La talla de calzado de una persona y su nota media en Matemáticas.
3. c) La temperatura exterior en verano y el consumo de energía de los aparatos de aire acondicionado.
4. d) Los años de antigüedad de un teléfono celular y su precio de reventa en el mercado de segunda mano.

Observa el siguiente diagrama de dispersión que representa la relación entre las horas de entrenamiento semanal ($X$) y los puntos anotados en una temporada por un grupo de jugadores de baloncesto ($Y$).

Basándote en la forma de la nube de puntos, responde:

1. a) ¿Es una relación directa o inversa?
2. b) ¿Cómo calificarías la fuerza de la correlación: fuerte o débil?
3. c) ¿Qué signo esperas que tenga la covarianza $\sigma_{xy}$ para estos datos?

El "centro de gravedad" de una distribución bidimensional es el punto formado por las medias de ambas variables, denotado como $(\bar{x}, \bar{y})$. Un grupo de amigos ha anotado el tiempo que pasan en redes sociales al día ($X$, en minutos) y la duración de la batería de sus celulares ($Y$, en horas):

$(45, 18), (60, 16), (90, 14), (120, 10), (150, 7)$

Calcula las coordenadas del centro de gravedad de esta distribución.

La covarianza $\sigma_{xy}$ nos informa sobre el sentido de la variación conjunta de dos variables. Sin realizar todos los cálculos complejos, observa los siguientes datos que relacionan la temperatura de un refresco ($X$, en $^\circ C$) y el tiempo que lleva fuera del refrigerador ($Y$, en minutos):

Tiempo ($Y$)	5	10	15	20	25
Temperatura ($X$)	6	9	13	18	22

1. a) ¿A medida que aumenta el tiempo, la temperatura tiende a aumentar o a disminuir?
2. b) Justifica, según tu respuesta anterior, si la covarianza será positiva, negativa o nula.

El coeficiente de correlación de Pearson, $r$, es una medida adimensional que oscila en un rango determinado. De los siguientes valores, indica cuáles no son posibles para un coeficiente de correlación y explica por qué:

1. a) $r = 0,85$
2. b) $r = -1,2$
3. c) $r = 2,5$
4. d) $r = -0,4$
5. e) $r = 0$

Se ha realizado un pequeño estudio sobre el número de libros leídos al año ($X$) y la calificación en la asignatura de Español ($Y$) de cinco estudiantes. Los datos obtenidos son los siguientes:

$(2, 5), (4, 6), (5, 8), (7, 8), (10, 9)$

Dibuja en tu cuaderno un diagrama de dispersión para estos datos. A continuación, traza a mano alzada una recta que creas que se ajusta mejor a los puntos (recta de regresión) y comenta si la relación te parece lineal.

Comparamos dos nubes de puntos representadas en los siguientes gráficos. Ambas muestran una relación directa entre las variables.

1. a) ¿En cuál de los dos gráficos los puntos están más próximos a una posible recta de regresión?
2. b) ¿Cuál de los dos tendrá un coeficiente de correlación $r$ más cercano a $1$?
3. c) Si en el gráfico A el valor de $r$ es $1$, ¿qué valor razonable (entre $0$ y $1$) podrías asignar al gráfico B?

Un club de e-sports desea analizar si existe relación entre las horas semanales que sus jugadores dedican al entrenamiento individual ($X$) y su índice de precisión en partidas competitivas ($Y$), medido sobre 100. Los datos de una muestra de 6 jugadores son los siguientes:

Horas de entrenamiento ($X$)	10	15	12	20	8	18
Índice de precisión ($Y$)	72	81	75	92	68	88

Para este estudio:

1. Representa la nube de puntos asociada a esta distribución bidimensional.

2. Calcula el centro de gravedad de la distribución.

3. Determina la covarianza $s_{xy}$ e interpreta el signo obtenido en el contexto del problema.

Asocia cada una de las siguientes nubes de puntos con el valor del coeficiente de correlación de Pearson ($r$) que le corresponda razonadamente:

Valores de $r$: $-0,92$; $0,05$; $0,65$; $1$.

En un estudio sobre el precio de los menús diarios ($X$) y la distancia al centro de la ciudad ($Y$) en millas, se han obtenido las siguientes medidas para una muestra de 50 restaurantes:

• Media de los precios: $\$\bar{x} = 12,5$

• Media de las distancias: $\bar{y} = 3,2$ millas

• Desviación típica del precio: $\$s_x = 2,1$

• Desviación típica de la distancia: $s_y = 1,4$ millas

• Covarianza: $s_{xy} = -2,35$

Calcula el coeficiente de correlación de Pearson. Si un restaurante decide aumentar el precio de todos sus menús en $\$2$ debido a la inflación, ¿cómo afectaría este cambio al valor del coeficiente de correlación? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de este parámetro.

Una aplicación de música en streaming analiza la relación entre la edad de sus usuarios ($X$) y el número de artistas diferentes que escuchan al mes ($Y$). Se conocen los siguientes sumatorios para una muestra de $n = 10$ usuarios:

$$\sum x_i = 240 \quad \sum y_i = 150 \quad \sum x_i^2 = 6200 \quad \sum y_i^2 = 2850 \quad \sum x_i y_i = 3100$$

1. Calcula el coeficiente de correlación de Pearson.

2. Determina el coeficiente de determinación $R^2$ e interpreta su significado: ¿qué porcentaje de la variación del número de artistas escuchados queda explicado por la edad del usuario?

Las dos rectas de regresión de una variable bidimensional son:

• Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,85x + 12,4$

• Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,72y + 5,1$

Sabiendo que la varianza de la variable $X$ es $s_x^2 = 16$, calcula:

1. El coeficiente de correlación de Pearson $r$.

2. La covarianza $s_{xy}$ de la distribución.

3. Las coordenadas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$.

Un agricultor ecológico observa la relación entre la cantidad de fertilizante natural utilizado ($X$, en libras) y la producción de papas ($Y$, en libras). Los datos obtenidos se resumen en la siguiente tabla:

$X$	1	2	3	4	5
$Y$	12	18	25	28	32

1. Calcula la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

2. ¿Qué producción se esperaría si se utilizaran $3,5$ libras de fertilizante?

3. ¿Es confiable la predicción anterior? Justifica tu respuesta calculando el coeficiente de correlación.

Se ha realizado una encuesta sobre el número de hijos ($X$) y el número de dormitorios de la vivienda ($Y$) en un edificio de apartamentos. Los resultados se presentan en la siguiente tabla de frecuencias conjuntas (tabla de doble entrada):

$X \setminus Y$	1	2	3
0	5	3	0
1	2	8	4
2	0	3	10

1. Obtén las distribuciones marginales de $X$ e $Y$.

2. Calcula la media marginal de hijos ($\bar{x}$) y la media marginal de dormitorios ($\bar{y}$).

3. ¿Existe dependencia entre ambas variables? Razona tu respuesta observando las frecuencias de la tabla.

Una empresa de mensajería estudia la relación entre el peso de los paquetes ($X$, en libras) y el costo del envío ($Y$, en $\$$). Tras calcular los parámetros, obtienen que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 1,5x + 4,2$ y el coeficiente de correlación es $r = 0,98\$.

1. Indica si la relación entre el peso y el costo es directa o inversa.

2. Explica qué significa el valor $1,5$ en el contexto del problema (pendiente de la recta).

3. Si un paquete pesa $0$ libras (paquete vacío o sobre muy ligero), ¿qué costo predice la recta? ¿Tiene sentido físico este valor?

4. Calcula el coeficiente de determinación y comenta la calidad del ajuste lineal.

Un analista de datos de una plataforma de streaming estudia la relación entre el tiempo que un usuario pasa viendo tráileres ($X$, en minutos) y el tiempo que dedica a ver contenido completo ($Y$, en minutos). Tras analizar miles de perfiles, ha determinado que las ecuaciones de las dos rectas de regresión son:

• Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 1,2x + 45$

• Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,3y - 12$

A partir de esta información, resuelve:

1. a) Calcula las medias aritméticas de ambas variables, $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

1. b) Determina el coeficiente de correlación de Pearson, $r$, e interpreta el grado de relación entre las dos variables.

1. c) Si un usuario ha dedicado 10 minutos a ver tráileres, ¿cuál es el tiempo de visualización de contenido esperado? ¿Es confiable esta predicción? Razona la respuesta basándote en el coeficiente de determinación.

En un estudio sobre el rendimiento de las baterías de scooters eléctricos se analiza la temperatura ambiente ($X$, en $^\circ C$) y la autonomía real conseguida ($Y$, en millas). Se conocen los siguientes datos:

• La varianza de la temperatura es $s_x^2 = 16$.

• La recta de regresión de la autonomía sobre la temperatura es $y = -0,85x + 42$.

• El coeficiente de determinación es $R^2 = 0,7225$.

Calcula:

1. a) La covarianza entre la temperatura y la autonomía.
2. b) La desviación típica de la autonomía, $s_y$.
3. c) ¿Qué ocurriría con el coeficiente de correlación si decidiéramos medir la temperatura en grados Fahrenheit utilizando la transformación $F = 1,8X + 32$? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de la correlación.

Una empresa de videojuegos quiere predecir el gasto mensual en microtransacciones ($Y$, en dólares) de sus jugadores en función de las horas semanales de juego ($X$). El departamento de estadística ha obtenido los siguientes parámetros:

$\bar{x} = 15$; $\bar{y} = 22$; $s_x^2 = 25$; $s_y^2 = 144$; $\sigma_{xy} = 48$

1. a) Obtén la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
2. b) Un jugador afirma que gasta 50 dólares al mes. Utiliza la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ para estimar cuántas horas semanales juega.
3. c) ¿Cuál de las dos estimaciones (predecir el gasto a partir de las horas o predecir las horas a partir del gasto) te parece más lógica en este contexto? ¿Tienen la misma confiabilidad matemática?

Se ha realizado un examen de recuperación de Matemáticas. Se observa que la relación entre las notas del primer examen ($X$) y las del segundo ($Y$) sigue una tendencia lineal. Se sabe que:

• $\bar{x} = 4$; $\bar{y} = 6$

• Las dos rectas de regresión se cortan formando un ángulo muy pequeño, y se ha calculated que el producto de sus pendientes es $0,81$.

• Ambas pendientes son positivas.

1. a) Halla el coeficiente de correlación de Pearson e indica qué porcentaje de la nota del segundo examen se explica por la nota del primero.
2. b) Si la desviación típica de $X$ es la mitad que la de $Y$, obtén la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
3. c) Si un alumno sacó un $2$ en el primer examen, ¿qué nota se le estima para el segundo?

Un estudio sociológico analiza la relación entre el número de libros leídos al año ($X$) y la puntuación en un test de agilidad mental ($Y$). La covarianza es $12,5$. Al duplicar el número de libros leídos de todos los encuestados y sumar 5 puntos a todos en el test de agilidad mental, se pide:

1. a) Razona qué ocurre con la nueva covarianza $\sigma'_{xy}$.
2. b) Si el coeficiente de correlación original era $r = 0,75$, ¿cuál será el nuevo coeficiente $r'$ tras los cambios? Justifica tu respuesta analíticamente.
3. c) ¿Cambiará la confiabilidad de las predicciones tras estas modificaciones de los datos?

Se investiga la relación entre la inversión en I+D ($X$, en millones de $) y el beneficio neto ($Y$, en millones de $) de 10 empresas tecnológicas. Se han obtenido los siguientes sumatorios:

$\sum x_i = 100$; $\sum y_i = 160$; $\sum x_i^2 = 1100$; $\sum y_i^2 = 2800$; $\sum x_i y_i = 1720$

1. a) Calcula el centro de gravedad de la distribución.
2. b) Halla el coeficiente de correlación de Pearson.
3. c) Determina la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
4. d) Si una empresa decide no invertir nada en I+D ($x = 0$), ¿qué beneficio se estima que tendrá? Comenta la validez de esta estimación fuera del rango de datos.

Las estaturas de una muestra de parejas (hombre, mujer) se han organizado en la siguiente tabla de doble entrada (datos en cm):

Hombre ($X$) \ Mujer ($Y$)	[150, 160)	[160, 170)	[170, 180)
[165, 175)	4	2	0
[175, 185)	1	6	3
[185, 195)	0	2	5

Utilizando las marcas de clase:

1. a) Calcula la covarianza de la distribución.
2. b) Calcula el coeficiente de correlación de Pearson.
3. c) ¿Existe una relación fuerte entre las estaturas de los miembros de la pareja en esta muestra?

Dadas las rectas de regresión $y = -2x + 10$ y $x = -0,4y + 4$, razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, demostrándolo mediante el cálculo de los parámetros correspondientes:

1. a) La correlación entre las variables es positiva porque ambas pendientes tienen el mismo signo.
2. b) El centro de gravedad de la distribución es el punto $(3, 4)$.
3. c) Las variables tienen una dependencia funcional perfecta.
4. d) La varianza de $Y$ es mayor que la varianza de $X$.