Ejercicios: Estadística descriptiva bidimensional

En el estudio de las relaciones entre dos variables, es fundamental distinguir si existe una dependencia exacta o una relación estadística. Indique en cuáles de los siguientes casos la relación es funcional (existe una fórmula exacta) y en cuáles es estadística (existe una tendencia pero con variabilidad):

• a) El número de galones de gasolina repostados en una gasolinera y el costo total a pagar.

• b) La calificación obtenida en un examen de Matemáticas y el número de horas que el alumno ha dedicado a estudiar esa semana.

• c) El tiempo que permanece encendido un foco de bajo consumo y el gasto energético registrado por el contador.

• d) La estatura de una persona y el número de calzado que utiliza.

• e) La temperatura máxima diaria en una ciudad y el número de helados vendidos en un kiosco de esa misma ciudad.

Se ha realizado una encuesta a 10 estudiantes de 11.º grado sobre el número de horas semanales que dedican a realizar deporte ($X$) y su frecuencia cardíaca en reposo ($Y$). Los resultados se han representado en la siguiente nube de puntos:

Un grupo de 20 adolescentes ha sido clasificado según su hábito de lectura (Lector frecuente / No lector) y su preferencia por el formato de libros (Papel / Digital). Los datos obtenidos son:

• 8 son lectores frecuentes y prefieren el formato papel.

• 4 son lectores frecuentes y prefieren el formato digital.

• 2 no son lectores pero prefieren el formato papel.

• 6 no son lectores y prefieren el formato digital.

Organice esta información en una tabla de frecuencias conjuntas (tabla de contingencia), incluyendo los totales marginales en las filas y columnas.

A partir de la siguiente tabla de contingencia que muestra el tipo de dispositivo principal usado para estudiar y el curso del alumno (10.º grado o 11.º grado), responda a las preguntas planteadas:

Curso / Dispositivo	Tableta	Computadora portátil	Celular	Total
10.º grado	12	15	8	35
11.º grado	10	25	5	40
Total	22	40	13	75

• a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta conjunta de los alumnos que están en 11.º grado y usan principalmente la computadora portátil?

• b) Determine la frecuencia marginal de los alumnos que usan tableta.

• c) ¿Cuántos alumnos en total han participado en el estudio?

• d) ¿Qué porcentaje de los alumnos totales son de 10.º grado?

Asocie cada uno de los siguientes valores del coeficiente de correlación lineal de Pearson, $r$, con la gráfica que mejor lo represente:

• 1) $r = 0,95$

• 2) $r = -0,85$

• 3) $r = 0,05$

Se ha obtenido la recta de regresión que relaciona el tiempo de uso diario de una red social en minutos ($X$) con el nivel de batería consumido en porcentaje ($Y$). La ecuación de la recta es:

$y = 0,15x + 2,5$

• a) Estime el porcentaje de batería consumido si un usuario utiliza la red social durante $120$ minutos.

• b) Si el coeficiente de correlación lineal es $r = 0,92$, ¿cree que la estimación anterior es confiable? Justifique su respuesta.

Dadas las siguientes parejas de variables, indique si espera encontrar una correlación positiva, negativa o nula:

• a) El número de millas recorridas por un carro y la cantidad de combustible que queda en el tanque.

• b) La calificación promedio de la escuela secundaria y el número de horas que se pasa un alumno jugando a videojuegos.

• c) La edad de una persona y su número de Seguro Social.

• d) Los ingresos mensuales de una persona y la cantidad de dinero que ahorra al mes.

• e) La velocidad media de un atleta en una carrera y el tiempo que tarda en completarla.

Se dispone de una variable bidimensional $(X, Y)$ donde $X$ representa la temperatura exterior en $^\circ\text{C}$ e $Y$ el consumo eléctrico de un centro comercial en $kW$. Sabemos que el centro medio de la distribución es el punto $(\bar{x}, \bar{y}) = (22, 450)$.

Si la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ tiene una pendiente de $b = 15$:

• a) Escriba la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ utilizando la forma punto-pendiente: $y - \bar{y} = b(x - \bar{x})$.

• b) ¿Cuál sería el consumo esperado para una temperatura de $30^\circ\text{C}$?

Un analista de redes sociales ha recopilado datos sobre el número de vídeos cortos publicados por un grupo de creadores de contenido ($X$) y el número de nuevos seguidores obtenidos en una semana ($Y$). La nube de puntos resultante se muestra a continuación:

A partir del gráfico:

1. Indique si existe correlación entre ambas variables y, en caso afirmativo, determine su signo y su fuerza aproximada.

2. ¿Se trata de una relación funcional o estadística? Justifique su respuesta.

3. Estime razonadamente cuál de los siguientes valores podría corresponder al coeficiente de correlación lineal de Pearson $r$: $-0,92$; $0,15$; $0,94$ o $1$.

Una empresa de mensajería estudia la relación entre el peso de los paquetes en libras ($X$) y el costo del envío en dólares ($Y$). Se han analizado 5 envíos con los siguientes resultados:

Peso $X$ (libras)	1	2	3	5	9
Costo $Y$ ($\$$)	5	7	8	12	18

Calcule:

1. El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.

2. Las desviaciones típicas marginales $\sigma_x$ y $\sigma_y$.

Se ha realizado un estudio sobre la relación entre el tiempo que un estudiante de 11.º grado dedica a jugar videojuegos diariamente en horas ($X$) y su tiempo de reacción medido en milisegundos en un test específico ($Y$). Los parámetros obtenidos son:

$\bar{x} = 2,5$; $\bar{y} = 310$; $\sigma_x = 1,2$; $\sigma_y = 45$ y la covarianza $\sigma_{xy} = -48,6$.

1. Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

2. Interprete el resultado obtenido en función del contexto del problema. ¿Qué ocurre con la capacidad de reacción a medida que aumentan las horas de juego?

Una plataforma de streaming analiza la relación entre la temperatura exterior media en grados Fahrenheit ($X$) y el número de horas que sus usuarios pasan viendo series en un fin de semana ($Y$). La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ obtenida es:

$y = -0,45x + 18,2$

1. Si un fin de semana la temperatura media es de $8 ^\circ C$, ¿cuántas horas se estima que pasará un usuario viendo series?

2. Si el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,81$, ¿qué fiabilidad tiene la predicción anterior? Explique el significado de este valor.

La siguiente tabla muestra las notas obtenidas por 6 alumnos en un examen de Matemáticas ($X$) y en uno de Economía ($Y$):

Matemáticas ($X$)	4	6	5	8	9	7
Economía ($Y$)	5	5	6	7	8	8

1. Halle la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Obtenga la ecuación de la recta de regresión de Economía ($Y$) sobre Matemáticas ($X$).

3. ¿Qué nota se esperaría en Economía para un alumno que ha sacado un $10$ en Matemáticas?

En un estudio sobre hábitos saludables, se mide la distancia recorrida en bicicleta a la semana en millas ($X$) y el gasto en mantenimiento de la bicicleta en dólares ($Y$). Se sabe que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0,12x + 15$ y que el coeficiente de correlación es $r = 0,85$.

1. Justifique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

   • a) Existe una dependencia funcional entre las millas recorridas y el gasto.

   • b) La relación entre las variables es directa.

   • c) Si un ciclista no recorre ninguna milla ($x=0$), el modelo estima un gasto de $\$15$.

2. Si el gasto medio anual es de $\$\bar{y} = 33$, ¿cuál es la media de millas recorridas semanalmente $\bar{x}$?

Un club de baloncesto quiere predecir el número de puntos anotados por sus jugadores ($Y$) en función de los minutos jugados ($X$). Tras analizar a los jugadores, se obtienen los siguientes datos:

$\sum x_i = 240$

$\sum y_i = 120$

$\sum x_i^2 = 6500$

$\sum y_i^2 = 1800$

$\sum x_i y_i = 3200$

Número de jugadores analizados: $n = 10$.

1. Calcule el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

2. Si un jugador juega $25$ minutos, realice una estimación de los puntos que anotará utilizando la recta de regresión correspondiente.

Se investiga si el precio de un modelo de teléfono celular de segunda mano ($Y$, en dólares) depende de su antigüedad ($X$, en meses). Los datos de 100 teléfonos muestran que:

$\bar{x} = 18$ meses; $\$\bar{y} = 450$; $\sigma_x = 6$; $\sigma_y = 80$ y $r = -0,88$.

1. Calcule la covarianza $\sigma_{xy}$.

2. Halle la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

3. ¿Cuál es el significado físico de la pendiente de la recta en este contexto?

4. Estime el precio de un teléfono que tiene un año y medio de antigüedad. ¿Es muy confiable esta estimación? ¿Por qué?

En un estudio sobre el rendimiento de un nuevo panel solar, se han determinado las dos rectas de regresión que relacionan la intensidad lumínica captada ($X$, en cientos de lux) y la energía eléctrica generada ($Y$, en vatios). Las ecuaciones obtenidas son:

Recta de $Y$ sobre $X$: $y = 0,84x + 12,2$

Recta de $X$ sobre $Y$: $x = 0,95y - 7,4$

Calcule, justificando cada paso:

1. a) El centro de gravedad de la distribución $(\bar{x}, \bar{y})$.
2. b) El coeficiente de correlación lineal de Pearson ($r$) e interprete su signo y su fuerza.
3. c) ¿Qué porcentaje de la varianza de la energía generada queda explicada por la intensidad lumínica a través del modelo lineal?

Un equipo de analistas de datos de una conocida red de microblogging estudia la relación entre el número de palabras de una publicación ($X$) y el número de "me gusta" recibidos ($Y$). Tras analizar una muestra aleatoria, se conocen los siguientes parámetros:

$\bar{x} = 45$ palabras

$\sigma_x = 12$

$S_{xy} = 156$

Recta de regresión de $Y$ sobre $X$: $y = 1,083x + 11,25$

Sabiendo que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,64$, determine:

1. a) La desviación típica de la variable $Y$.
2. b) La ecuación de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$.
3. c) Si una publicación tiene un número de "me gusta" que es el doble de la media $\bar{y}$, ¿cuál sería la predicción para su número de palabras?

Se analiza la relación entre el tiempo de estudio semanal ($X$, en horas) y la nota media ($Y$) de un grupo de estudiantes. Se sabe que la covarianza es $S_{xy} = 4,5$ y que el coeficiente de correlación es $r = 0,75$. Si a todos los estudiantes se les premia con 1 punto extra en su nota media y, además, deciden estudiar el doble de horas la semana siguiente:

1. a) Demuestre matemáticamente cómo varían la nueva covarianza $S'_{xy}$ y el nuevo coeficiente de correlación $r'$.
2. b) ¿Cambiaría la fiabilidad de las predicciones del modelo lineal tras estos cambios? Justifique la respuesta basándose en las propiedades de los parámetros bidimensionales.

En una competencia de e-sports, se mide la edad de los jugadores ($X$) y su tiempo de reacción ante un estímulo visual ($Y$, en milisegundos). La nube de puntos sugiere una relación lineal inversa. Se dispone de la siguiente información simplificada:

$\sum x_i = 200$, $\sum y_i = 2500$, $\sum x_i^2 = 4150$, $\sum y_i^2 = 628000$, $\sum x_i y_i = 49200$ (para $n = 10$ jugadores).

1. a) Calcule el coeficiente de correlación lineal.
2. b) Un jugador de 32 años (fuera del rango de la muestra original que era de 18 a 25 años) entra en el estudio. Si su tiempo de reacción fuera de 280 ms, ¿cómo afectaría este nuevo punto a la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$? Razone su respuesta sin necesidad de recalcular todo.

Dada la siguiente tabla de frecuencias conjuntas de las variables $X$ (número de hijos) e $Y$ (número de habitaciones en la vivienda):

X \ Y	1	2	3
0	5	2	0
1	1	6	3
2	0	2	6

1. a) Calcule las distribuciones marginales de $X$ e $Y$.
2. b) Determine la media y la varianza de la variable $Y$ condicionada a que $X = 1$.
3. c) Calcule la covarianza $S_{xy}$ y dictamine si las variables son independientes o presentan algún tipo de asociación.

Un estudio sociológico relaciona el índice de digitalización de un hogar ($X$, escala 1-10) con el ahorro anual ($Y$, en miles de dólares). Se conoce que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = -1,2x + 15$ y que el coeficiente de determinación es $R^2 = 0,81$.

1. a) Si la varianza de los índices de digitalización es $\sigma_x^2 = 4$, ¿cuál es la varianza de la variable ahorro $\sigma_y^2$?
2. b) Si un hogar tiene un índice de digitalización de 8, estime su ahorro anual y calcule el error típico de la estimación (desviación típica residual), definida como $\sigma_{res} = \sigma_y \sqrt{1 - R^2}$.

Las rectas de regresión de una distribución bidimensional son $4x - 5y + 12 = 0$ y $9x - 10y + 15 = 0$.

1. a) Identifique cuál de ellas es la de $Y$ sobre $X$ y cuál la de $X$ sobre $Y$. Justifique su respuesta utilizando el hecho de que el producto de sus pendientes debe ser igual a $r^2$ y que $0 \leq r^2 \leq 1$.
2. b) Calcule el coeficiente de correlación lineal $r$.
3. c) Determine los valores medios $\bar{x}$ e $\bar{y}$.

Se investiga la relación entre la altitud de una localidad ($X$, en pies) y la presión atmosférica ($Y$, en mb). Los datos de 5 localidades muestran una correlación casi perfecta ($r = -0,99$). Las desviaciones típicas son $\sigma_x = 400$ y $\sigma_y = 45$.

Si la presión media es de $950$ mb a una altitud media de $600$ pies:

1. a) Halle la ecuación de la recta de regresión para predecir la presión en función de la altitud.
2. b) ¿A qué altitud se esperaría una presión de $1013$ mb? Evalúe la fiabilidad de esta respuesta considerando si se trata de una interpolación o extrapolación.
3. c) Si se descubriera que los medidores de altitud tenían un error sistemático y todas las altitudes reales son $50$ pies superiores a las registradas, ¿cómo afectaría esto a la pendiente de la recta de regresión?