Ejercicios: Logaritmos

Calcule el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición:

• $\log_2 64$

• $\log_3 \frac{1}{9}$

• $\log_{10} 0,001$

• $\log_5 \sqrt{5}$

Halle el valor de la incógnita $x$ en cada caso utilizando la definición de logaritmo:

• $\log_x 81 = 4$

• $\log_2 x = 5$

• $\log_7 x = -2$

Sabiendo que $\log 2 \approx 0,301$ y $\log 3 \approx 0,477$, calcule el valor numérico aproximado de $\log 6$ y $\log 1,5$ utilizando las propiedades de los logaritmos.

Reduzca a un solo logaritmo la siguiente expresión matemática y calcule su valor numérico:

$\log 5 + \log 20 - \log 10$

Calcule el valor de $x$ en la ecuación exponencial $3^x = 45$. Exprese el resultado final redondeado a las centésimas (puede hacer uso de la calculadora para el paso final).

Aplique las propiedades de los logaritmos a la inversa para expresar la siguiente combinación como un único logaritmo:

$3 \log x + \frac{1}{2} \log y$

El pH de una solución química se define mediante la fórmula $pH = -\log [H^+]$, donde $[H^+]$ representa la concentración de iones de hidrógeno medida en mol/L. Si una muestra de jugo de limón tiene una concentración de iones de hidrógeno de $10^{-3}$ mol/L, ¿cuál es el valor de su pH?

Utilice la fórmula del cambio de base para calcular el valor de $\log_5 120$ empleando únicamente la tecla del logaritmo decimal ($\log$) o neperiano ($\ln$) de su calculadora. Redondee el resultado a tres cifras decimales.

Resuelva la ecuación logarítmica $\log_3 (2x + 5) = 2$ aplicando la definición de logaritmo para despejar la incógnita $x$.

Desarrolle la siguiente expresión logarítmica aplicando todas las propiedades posibles, de manera que quede expresada en función de $\log x$, $\log y$ y $\log z$:

$\log \left( \frac{x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2} \right)$

Agrupe la siguiente expresión algebraica en un único logaritmo, aplicando las propiedades correspondientes:

$2 \log a - 3 \log b + \log c - \frac{1}{3} \log d$

Un capital de $\$5000$ se deposita en un banco a un interés compuesto del $3,5\,\%$ anual. ¿Cuántos años completos deben transcurrir para que el capital acumulado supere los $\$7000$?

Recuerde que la fórmula del capital final es $C_f = C_i \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$.

Una población de bacterias se duplica cada hora que pasa. Si inicialmente hay $1500$ bacterias, la cantidad de bacterias al cabo de $t$ horas viene dada por la función $P(t) = 1500 \cdot 2^t$. ¿Cuánto tiempo exacto debe pasar para que la población alcance la cifra de $100000$ bacterias?

La magnitud de un terremoto en la escala de Richter se calcula mediante la fórmula $M = \log \left( \frac{A}{A_0} \right)$, donde $A$ es la amplitud máxima de las ondas sísmicas y $A_0$ es una amplitud de referencia estándar. Si un terremoto concreto registra una amplitud $1000$ veces mayor que $A_0$, ¿cuál es su magnitud en la escala de Richter? Además, determine cuántas veces mayor es la amplitud de un terremoto de magnitud $6$ respecto a uno de magnitud $4$.

Sabiendo exclusivamente que $\log 2 \approx 0,301$, calcule el valor aproximado de $\log 25$ y de $\log \sqrt[3]{0,02}$ sin introducir la operación directa en la calculadora, apoyándose solo en las propiedades de los logaritmos.

Un vehículo nuevo tiene un costo inicial de $\$24000$. Debido al desgaste del mercado, cada año su valor se deprecia un $12\,\%$. La función que describe su valor residual al cabo de $t$ años es $V(t) = 24000 \cdot (0,88)^t$. ¿Cuántos años deben pasar para que el valor del carro se reduzca exactamente a la mitad de su precio original?

Resuelva la ecuación exponencial $5^{x+1} = 2^{3x-2}$ tomando logaritmos decimales en ambos miembros y despejando la incógnita $x$. Exprese el resultado final redondeado a las milésimas.

El nivel de intensidad sonora, medido en decibelios (dB), se calcula con la fórmula física $L = 10 \cdot \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido en $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ representa el umbral mínimo de audición humana. Si el ruido del tráfico intenso en una avenida registra un nivel de $85$ dB, ¿cuál es su intensidad acústica $I$? Si un taladro de construcción emite con el doble de intensidad acústica que dicho tráfico, ¿cuántos decibelios exactos registrará el sonómetro?

La cantidad de Carbono-14 ($C-14$) en un resto arqueológico orgánico sigue la ley de desintegración radiactiva $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, donde la constante de desintegración es $\lambda \approx 0,0001209$ y $t$ es el tiempo transcurrido en años. Si en un fragmento de hueso prehistórico se detecta mediante análisis de laboratorio que solo queda un $30\,\%$ de su cantidad original de $C-14$ (es decir, $N(t) = 0,30 \cdot N_0$), ¿cuál es la antigüedad estimada del hueso?

Simplifique la siguiente expresión logarítmica combinada y calcule su valor numérico exacto sin utilizar la calculadora:

$\frac{\log_2 8 + \log_3 81 - \log 1000}{\log_5 125 \cdot \log_4 \sqrt{4}}$

En una conocida red social, el número de seguidores de una cuenta de contenido viral crece siguiendo un modelo exponencial $S(t) = S_0 \cdot k^t$, donde $t$ se mide en días. Se sabe que el día inicial ($t = 0$) la cuenta tenía $200$ seguidores y el día $5$ alcanzó los $6400$ seguidores. Calcule primero el valor exacto de la constante de crecimiento $k$. A continuación, determine en qué día exacto superará la barrera del millón de seguidores.

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, hallando los valores de $x$ e $y$:

Demuestre, utilizando la fórmula del cambio de base y las propiedades fundamentales de los logaritmos, que $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ para cualesquiera números $a, b > 0$ y distintos de $1$. Una vez demostrado, aplique este resultado para calcular mentalmente el valor de $\log_8 2$ sabiendo previamente que $\log_2 8 = 3$.

El siguiente gráfico representa el crecimiento poblacional de dos colonias de bacterias, A y B, en un laboratorio. La escala del eje vertical (que indica el número de bacterias $N(t)$) es logarítmica en base 10, mientras que el eje horizontal (tiempo en horas) es de escala lineal. Observando la recta que describe el comportamiento de la colonia A, halle su función exponencial asociada $N(t) = N_0 \cdot 10^{k \cdot t}$, sabiendo que pasa exactamente por los puntos $(0, 10^2)$ y $(4, 10^4)$. ¿En qué instante $t$ la colonia A alcanzará exactamente el millón de bacterias ($10^6$)?