Ejercicios: Recta de regresión

La ecuación de la recta de regresión del peso ($Y$, en libras) en función de la altura ($X$, en pulgadas) de un grupo de estudiantes es $y = 0.8x - 60$. Estime cuál será el peso aproximado de un estudiante que mide $170$ pulgadas.

Calcule la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ para una distribución bidimensional de la que se conocen los siguientes parámetros estadísticos: la media de $X$ es $\bar{x} = 5$, la media de $Y$ es $\bar{y} = 12$, la varianza de $X$ es $\sigma_x^2 = 4$ y la covarianza es $\sigma_{xy} = 6$. Exprese el resultado en la forma $y = mx + n$.

Observe el siguiente diagrama de dispersión que muestra la relación entre las horas de estudio semanales ($X$) y la calificación obtenida en un examen ($Y$). La recta azul representa la recta de regresión de $Y$ sobre $X$. Estime gráficamente qué calificación aproximada obtendría un alumno que estudia $7$ horas.

En un estudio de mercado, la recta de regresión de las ventas ($Y$) sobre la inversión en publicidad ($X$) viene dada por la ecuación $y = 2.5x - 4$. Si se sabe que la inversión media de las empresas analizadas es $\bar{x} = 6$, ¿cuál es el valor de las ventas medias $\bar{y}$ de la distribución?

El coeficiente de correlación lineal entre el número de horas de entrenamiento semanal ($X$) y el tiempo registrado en una carrera de obstáculos ($Y$) es $r = -0.92$. La recta de regresión obtenida es $y = -1.5x + 50$. Los datos de la muestra corresponden a atletas que entrenan entre $5$ y $15$ horas. Estime el tiempo para un atleta que entrena $10$ horas y justifique si esta predicción se considera fiable.

En un estudio bidimensional, la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0.2x + 15$. Sabiendo que la covarianza calculada para estos datos es $\sigma_{xy} = 3.5$, justifique brevemente si la pendiente de la recta obtenida es coherente con el signo de la covarianza.

Se ha analizado la relación entre dos variables y se ha obtenido como recta de regresión de $Y$ sobre $X$ la ecuación $y = -3x + 20$. ¿Es posible que el coeficiente de correlación lineal de esta distribución sea $r = 0.85$? Razone su respuesta basándose en la relación entre la pendiente y la correlación.

Las medias de dos variables estadísticas son $\bar{x} = 10$ e $\bar{y} = 25$. Compruebe matemáticamente si la recta $y = 1.5x + 10$ puede ser la recta de regresión válida para este conjunto de datos, justificando su respuesta mediante una propiedad fundamental que deben cumplir todas las rectas de regresión.

Una empresa registra el gasto en publicidad $X$ (en miles de dólares) y los ingresos por ventas $Y$ (en miles de dólares) durante $4$ meses consecutivos. Los pares de datos $(x_i, y_i)$ obtenidos son: $(2, 5)$, $(3, 7)$, $(4, 9)$ y $(5, 11)$. Calcule la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

La recta de regresión de la cantidad de helados vendidos ($Y$) en función de la temperatura máxima diaria en $^\circ\text{C}$ ($X$) es $y = 15x - 120$. Si para mañana se prevé una temperatura de $30^\circ\text{C}$, estime cuántos helados se venderán. Además, si otro día se vendieron $255$ helados, explique si es teóricamente correcto utilizar esta misma recta para estimar la temperatura que hizo o si el procedimiento riguroso exigiría calcular otra recta distinta.

Se conocen los siguientes parámetros estadísticos de una distribución bidimensional: el coeficiente de correlación es $r = 0.8$, la desviación típica de $X$ es $\sigma_x = 2$, la desviación típica de $Y$ es $\sigma_y = 5$, y el centro de gravedad es el punto $(12, 40)$. A partir de estos datos, calcule la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.

En un estudio sobre la longitud de un resorte ($Y$, en pulgadas) al colgarle diferentes pesos ($X$, en libras), se han calculado las dos rectas de regresión. La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 2.5x + 10$ y la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ es $x = 0.39y - 3.8$. Calcule las coordenadas exactas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribución.

Se ha estudiado la relación entre la antigüedad de un modelo de auto ($X$, en años) y su valor en el mercado de segunda mano ($Y$, en miles de dólares). La recta de regresión obtenida es $y = -1.2x + 18$. Si un auto tiene $5$ años, ¿cuál es su valor estimado? Además, interprete qué significado tiene en este contexto real la intersección con el eje y (ordenada en el origen) de la recta.

Observe los dos diagramas de dispersión, A y B, que muestran la relación entre dos variables e incluyen sus respectivas rectas de regresión. ¿En cuál de las dos distribuciones será más fiable realizar una estimación de $Y$ a partir de un valor de $X$ utilizando la recta de regresión? Razone su respuesta basándose en el concepto visual de correlación y dispersión.

En una clase, la recta de regresión de la nota de Física ($Y$) sobre la nota de Matemáticas ($X$) es $y = 0.9x + 0.5$. Tras revisar los exámenes, el profesor detecta un error general y decide sumar $1$ punto extra a todas las notas de Física. ¿Cuál será la nueva ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$? Razone su respuesta.

Dada la tabla de datos formada por los puntos $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 5)$ y $(4, 7)$, se ha calculado que la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 1.6x + 0.5$. Calcule el residuo (o error de estimación) correspondiente a la observación $x = 3$.

Se conocen las ecuaciones de las dos rectas de regresión de una distribución bidimensional: $y = 0.5x + 2$ (recta de regresión de $Y$ sobre $X$) y $x = 1.28y - 1.56$ (recta de regresión de $X$ sobre $Y$). Calcule el coeficiente de correlación lineal $r$, sabiendo que la correlación entre ambas variables es positiva.

En una distribución bidimensional formada por $N$ datos, el centro de gravedad es el punto $(4, 6)$ y la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $1.5$. Si se añade al estudio un nuevo dato que coincide exactamente con el punto $(4, 10)$, ¿cambiará el valor de la pendiente de la recta de regresión? Demuestre matemáticamente su respuesta analizando cómo se modifican las fórmulas de la covarianza y la varianza.

Demuestre analíticamente que si el coeficiente de correlación lineal entre dos variables es perfecto ($r = 1$ o $r = -1$), la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y la ecuación de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ coinciden y representan la misma recta geométrica.

La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de un experimento tiene por ecuación $y = ax + b$. Si por un cambio de escala definimos una nueva variable $Z = 3X - 2$, determine cuál será la pendiente de la nueva recta de regresión de $Y$ sobre $Z$. Exprese el resultado en función del parámetro original $a$.

En un ensayo de laboratorio, se mide el volumen de un gas ($Y$) a diferentes temperaturas ($X$). La recta de regresión obtenida tras el análisis de los datos es $y = 0.4x + 22$. Además, se sabe que la varianza de las temperaturas registradas es $\sigma_x^2 = 25$ y la varianza de los volúmenes es $\sigma_y^2 = 5$. A partir de esta información, calcule el coeficiente de correlación $r$ e interprete si el modelo lineal es un buen ajuste para estos datos.

Tenemos una distribución bidimensional con $100$ datos. La media de $X$ es $50$ y la media de $Y$ es $80$. La covarianza es $120$ y la varianza de $X$ es $60$. Tras una revisión de calidad, se descubre que uno de los pares de datos, concretamente el punto $(50, 80)$, fue registrado incorrectamente por una falla del sensor y se decide eliminar del estudio. Calcule la nueva ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ para los $99$ datos restantes y compárela con la recta original.

Dos variables estadísticas $X$ e $Y$ han sido estandarizadas, lo que significa que sus medias son $\bar{x} = 0$ e $\bar{y} = 0$, y sus desviaciones típicas son $\sigma_x = 1$ y $\sigma_y = 1$. Exprese la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ utilizando únicamente el coeficiente de correlación $r$. ¿Qué forma geométrica adopta la recta si ambas variables son linealmente independientes?

En el análisis de un conjunto de datos, se observa que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es completamente horizontal. ¿Qué valor numérico exacto tiene la covarianza $\sigma_{xy}$ en este caso? ¿Qué conclusión estadística podemos extraer sobre la relación lineal entre las variables $X$ e $Y$? Justifique su respuesta utilizando la ecuación general de la recta de regresión.