Ejercicios: Ecuaciones de segundo grado

Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:

$4x^2 - 64 = 0$

Calcule las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta extrayendo factor común:

$3x^2 + 15x = 0$

Aplique la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de la siguiente ecuación de segundo grado completa:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Determine si la ecuación $2x^2 + 3x + 5 = 0$ tiene solución en el conjunto de los números reales calculando previamente el valor de su discriminante $\Delta$.

Encuentre las soluciones de la siguiente ecuación que ya se encuentra factorizada, sin necesidad de desarrollar el producto:

$(2x - 5)(x + 4) = 0$

Escriba una ecuación de segundo grado en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabiendo que sus únicas soluciones son $x_1 = 3$ y $x_2 = -8$.

Halle el valor del coeficiente $c$ en la ecuación $x^2 + 4x + c = 0$ para que esta tenga una única solución real doble.

El cuadrado de un número natural menos su triple es exactamente igual a $18$. Plantee una ecuación de segundo grado y calcule de qué número se trata.

Para remodelar la sala rectangular de una vivienda, el arquitecto indica que el largo mide $2\text{ m}$ más que el ancho. Si la superficie total de la sala es de $35\text{ m}^2$, plantee una ecuación de segundo grado y calcule las dimensiones exactas de la sala.

Un ingeniero aeroespacial lanza un cohete de prueba. La altura $h$ (en pies) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 40t - 5t^2$. Determine en qué instantes de tiempo el cohete se encuentra exactamente a $75\text{ m}$ de altura.

Desarrolle los productos notables, agrupe los términos semejantes y resuelva la siguiente ecuación:

$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$

Una empresa que fabrica scooters eléctricos ha determinado que sus beneficios diarios $B$ (en cientos de dólares) dependen del número de scooters fabricados $x$ según la ecuación $B(x) = -x^2 + 50x - 400$. Calcule cuántos scooters deben fabricar exactamente para que el beneficio sea nulo (el punto de equilibrio de la empresa).

Determine el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación $3x^2 - kx + 12 = 0$ tenga una única solución real doble.

En una rampa de patinaje con forma de triángulo rectángulo, el cateto mayor mide $7\text{ m}$ más que el cateto menor, y la hipotenusa mide $2\text{ m}$ más que el cateto mayor. Plantee una ecuación de segundo grado utilizando el teorema de Pitágoras y calcule la longitud de los tres lados de la rampa.

Resuelva la siguiente ecuación operando previamente con fracciones algebraicas. Asegúrese de comprobar las soluciones obtenidas para descartar posibles raíces falsas que anulen los denominadores:

$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$

Sabiendo que una de las soluciones de la ecuación $2x^2 + bx - 15 = 0$ es $x_1 = 3$, calcule sin resolver completamente la ecuación el valor de la otra solución $x_2$ y el valor del coeficiente $b$.

Una fotografía rectangular de dimensiones $20\text{ cm}$ de base por $15\text{ cm}$ de altura se va a enmarcar con un paspartú de anchura uniforme $x$. Si el área total del conjunto (fotografía más paspartú) debe ser exactamente de $500\text{ cm}^2$, plantee una ecuación de segundo grado y calcule la anchura $x$ del paspartú.

En una liga de voleibol, cada equipo juega exactamente un partido contra todos los demás. Sabiendo que el número total de partidos disputados en un torneo de $n$ equipos viene dado por la fórmula $\frac{n(n-1)}{2}$, y que al finalizar la temporada se han disputado un total de $105$ partidos, plantee la ecuación correspondiente y determine cuántos equipos participaron en la liga.

Dos mangueras de distinto grosor llenan juntas un tanque de agua en $6\text{ horas}$. Si se utilizara solo una de ellas, la manguera de menor grosor tardaría $5\text{ horas}$ más que la manguera gruesa en llenar el tanque por sí sola. Plantee una ecuación cuadrática sumando las fracciones de tanque que llena cada manguera en una hora, y calcule cuánto tiempo tardaría cada manguera trabajando individualmente.

Discuta, en función de los diferentes valores del parámetro $m$, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación de segundo grado:

$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$

Asegúrese de analizar qué ocurre cuando el discriminante es positivo, nulo o negativo, y no olvide el caso especial en el que el coeficiente principal se anula.

Un escultor quiere dividir una varilla de latón de $1\text{ metro}$ de longitud en dos pedazos de longitudes $x$ y $1-x$ (siendo $x$ el pedazo mayor, es decir, $x > 1-x$). Desea hacerlo de tal forma que la proporción entre la varilla completa y el pedazo mayor sea igual a la proporción entre el pedazo mayor y el pedazo menor. Plantee la ecuación correspondiente y halle el valor exacto de $x$.

El área de un rectángulo es de $60\text{ cm}^2$ y la longitud de su diagonal es de $13\text{ cm}$. Llamando $x$ a la base e $y$ a la altura, exprese $y$ en función de $x$ usando el dato del área. A continuación, sustituya en el teorema de Pitágoras para la diagonal y resuelva la ecuación bicuadrada resultante para hallar las dimensiones exactas del rectángulo.

Resuelva la siguiente ecuación en la que aparece un radical, aislando primero la raíz y elevando al cuadrado ambos miembros. Es obligatorio comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación original para descartar posibles raíces falsas:

$\sqrt{2x + 7} - x = 2$

Un grupo de estudiantes alquila un autobús para una excursión por un costo total de $400\text{ \$}$. A última hora se apuntan $5$ estudiantes más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente tenga que pagar $4\text{ \$}$ menos. Plantee una ecuación cuadrática para calcular cuántos estudiantes iban a ir al principio y resuélvala.