Ejercicios: Inecuaciones con dos incógnitas

Compruebe cuáles de los siguientes puntos son solución de la inecuación $3x - 2y \le 6$:

• $A(0, 0)$

• $B(4, 1)$

• $C(2, -1)$

• $D(-2, -5)$

Escriba la inecuación lineal con dos incógnitas cuya región solución está representada en la siguiente gráfica. Tenga en cuenta si la línea de frontera es continua o discontinua.

Represente gráficamente en el plano cartesiano la región solución de la inecuación $x + 2y > 4$.

Determine si los puntos $P(1, 3)$, $Q(-1, 2)$ y $R(4, 0)$ pertenecen a la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones:

$x + y \le 5$

$2x - y > -1$

Traduzca el siguiente enunciado a una inecuación lineal con dos incógnitas: "El triple del peso de una caja grande ($x$) más el doble del peso de una caja pequeña ($y$) no supera las $50$ libras".

Represente gráficamente el sistema de inecuaciones que define el cuarto cuadrante del plano cartesiano (donde la abscisa es positiva o nula y la ordenada es negativa o nula).

Dada la inecuación $4x - 5y < 20$, indique razonadamente si los puntos situados exactamente sobre la recta $4x - 5y = 20$ forman parte de la región solución.

Escriba el sistema de inecuaciones cuya solución es la franja vertical comprendida entre $x = -2$ y $x = 3$, incluyendo ambas fronteras.

Para organizar una fiesta, se compran botellas de refresco a $\$2$ cada una y bolsas de botanas a $\$3$ cada una. Si el presupuesto máximo es de $\$30$ y se desea comprar al menos una unidad de cada producto, plantee el sistema de inecuaciones correspondiente y dé dos posibles combinaciones de compra válidas.

Encuentre el sistema de inecuaciones que define la región sombreada en la siguiente gráfica:

Represente gráficamente la región factible determinada por el siguiente sistema de inecuaciones:

$2x + y \le 6$

$x - y \ge -1$

$y \ge 0$

En un examen de $20$ preguntas, cada acierto suma $2$ puntos y cada error resta $1$ punto. Si para aprobar se necesita obtener al menos $15$ puntos, plantee la inecuación que relaciona el número de aciertos ($x$) y el número de errores ($y$). Teniendo en cuenta que $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x+y \le 20$, represente gráficamente la región de posibles combinaciones para aprobar.

Represente el siguiente sistema de inecuaciones y describa con palabras la forma geométrica de la región solución:

$3x - y > 2$

$3x - y < 6$

Un taller fabrica bicicletas y triciclos. Cada bicicleta requiere $2$ ruedas y cada triciclo $3$ ruedas. En el almacén quedan $60$ ruedas. Además, se sabe que el número de bicicletas fabricadas debe ser al menos el doble que el de triciclos. Plantee el sistema de inecuaciones que modela esta situación.

Halle los valores del parámetro $k$ para los cuales el punto $A(-1, 4)$ pertenece a la región solución de la inecuación $kx - 2y \le 3$.

Represente gráficamente la solución de la inecuación de segundo grado con dos incógnitas $y \ge x^2 - 4x + 3$.

Una empresa de transporte dispone de camiones de tipo A (capacidad de $3$ toneladas) y camiones de tipo B (capacidad de $5$ toneladas). Necesitan transportar al menos $45$ toneladas de mercancía. Por restricciones de personal, no pueden usar más de $12$ camiones en total. Plantee el sistema de inecuaciones y compruebe analíticamente si es posible realizar el transporte usando $4$ camiones del tipo A y $7$ del tipo B.

Determine el sistema de inecuaciones que define la región acotada mostrada en la siguiente figura:

Represente gráficamente la región del plano definida por el siguiente sistema mixto (una inecuación cuadrática y una lineal):

$y \le -x^2 + 2x + 3$

$x - y \le 1$

En una granja se crían gallinas y cerdos. Se sabe que el número máximo de animales que puede albergar la granja es de $100$. Además, por cuestiones de rentabilidad, la cantidad de cerdos no puede superar a la tercera parte de la cantidad de gallinas, y debe haber al menos $10$ cerdos. Plantee el sistema de inecuaciones y represéntelo gráficamente para encontrar la región de posibles combinaciones.

Dado el sistema de inecuaciones:

$x + 2y \le 8$

$ax - y \ge 1$

Calcule el valor del parámetro $a$ para que el punto $P(3, 2)$ sea un vértice de la región factible (es decir, se encuentre exactamente en la intersección de las dos rectas frontera).

Un agricultor quiere plantar tomates y pimientos en una parcela de $500 \text{ m}^2$. Por cada pie cuadrado de tomates necesita $4$ galones de agua a la semana, y por cada pie cuadrado de pimientos necesita $3$ galones. Dispone de un tanque que le proporciona como máximo $1800$ galones semanales. Si por motivos comerciales debe dedicar al menos $100 \text{ m}^2$ a los tomates y al menos $50 \text{ m}^2$ a los pimientos, plantee el sistema de inecuaciones y averigüe si puede plantar $250 \text{ m}^2$ de cada hortaliza.

Escriba un sistema de inecuaciones cuya solución sea un cuadrado perfecto centrado en el origen de coordenadas, de lado $4$ unidades, con sus lados paralelos a los ejes cartesianos, y donde los puntos de los bordes estén incluidos.

Resuelva gráficamente el siguiente sistema y encuentre analíticamente las coordenadas de los vértices de la región factible:

$y \le 2x + 2$

$y \le -x + 5$

$y \ge 1$