Ejercicios: Simetrías

En el diseño de logotipos, la simetría es una herramienta fundamental para transmitir equilibrio. Observa las siguientes letras de nuestro abecedario escritas en mayúsculas: A, H, M, S, X, Z.

Indica razonadamente cuáles de ellas tienen al menos un eje de simetría axial y dibújalas en tu cuaderno trazando dicho eje. ¿Hay alguna que tenga más de un eje?

En el plano cartesiano, un punto $P$ tiene de coordenadas $(4, -3)$. Si aplicamos una simetría axial respecto al eje de abscisas (eje $X$), ¿cuáles serán las coordenadas del punto simétrico $P'$? Represéntalo gráficamente en un sistema de ejes.

Dibuja un triángulo isósceles que no sea equilátero.

1. a) ¿Cuántos ejes de simetría axial tiene?
2. b) Si el vértice opuesto al lado desigual está en el punto $(0, 5)$ y la base está apoyada sobre el eje $X$, ¿qué recta actúa como eje de simetría?

La simetría central equivale a realizar un giro de $180^\circ$ respecto a un punto llamado centro de simetría. Si tenemos un cuadrado cuyo centro coincide con el origen de coordenadas $O(0, 0)$ y uno de sus vértices es $A(2, 2)$, calcula las coordenadas del vértice opuesto $A'$ mediante la simetría central de centro $O$.

Muchas banderas nacionales presentan simetrías.

1. a) Dibuja de forma esquemática la bandera de Suiza (una cruz blanca sobre fondo rojo). ¿Cuántos ejes de simetría axial puedes encontrar?
2. b) ¿Tiene esta bandera centro de simetría (simetría central)? Justifica tu respuesta.

Se sabe que una figura es simétrica respecto al eje de ordenadas (eje $Y$). Si la figura pasa por el punto $Q(-5, 2)$, ¿por qué otro punto $Q'$ debe pasar obligatoriamente debido a esa simetría? Explica la regla que relaciona las coordenadas de dos puntos simétricos respecto al eje $Y$.

Observa un rectángulo de base $8 \text{ cm}$ y altura $4 \text{ cm}$.

1. a) Indica cuántos ejes de simetría tiene y dónde se sitúan.
2. b) Si colocamos el centro del rectángulo en el punto $(0, 0)$ y sus lados son paralelos a los ejes, indica las coordenadas de sus cuatro vértices.

Copia en una hoja de papel cuadriculado la siguiente figura poligonal incompleta. Completa el dibujo sabiendo que la recta $r$ es su eje de simetría axial.

Un diseñador de videojuegos está creando el logotipo para una nueva facción. Ha dibujado la mitad derecha de la insignia en un sistema de coordenadas y necesita completarla aplicando una simetría axial respecto al eje de ordenadas (eje $Y$). Los vértices de la parte derecha son $A(0, 5)$, $B(3, 4)$, $C(5, 1)$ y $D(0, 1)$.

Indica las coordenadas de los puntos simétricos $A'$, $B'$, $C'$ y $D'$ para completar el logo y dibuja la figura resultante en tu cuaderno.

En el centro de una plaza se va a instalar una hélice decorativa con dos aspas. Una de las aspas está definida por un triángulo de vértices $P(1, 1)$, $Q(4, 2)$ y $R(2, 5)$. Para que el diseño sea armonioso, la otra aspa se obtiene mediante una simetría central.

Halla las coordenadas del triángulo simétrico de $PQR$ respecto al origen de coordenadas $O(0, 0)$. ¿Qué relación observas entre las coordenadas de los puntos originales y sus simétricos?

Observa las siguientes señales de tránsito habituales en nuestras carreteras. Analiza cuántos ejes de simetría tiene cada una de ellas y si poseen centro de simetría.

• a) Señal de "STOP" (octágono regular).

• b) Señal de "Ceda el paso" (triángulo equilátero invertido).

• c) Señal de "Prohibido el paso" (círculo con franja horizontal).

Justifica si una señal que tiene exactamente dos ejes de simetría perpendiculares debe tener obligatoriamente un centro de simetría.

Dos espejos planos están colocados de forma paralela en una tienda de ropa. El primer espejo coincide con la recta $x = 2$ y el segundo con la recta $x = 6$. Un cliente se sitúa en el punto $P(0, 3)$.

• a) Halla las coordenadas del punto $P'$ (simétrico de $P$ respecto al primer espejo).

• b) Halla las coordenadas del punto $P''$ (simétrico de $P'$ respecto al segundo espejo).

• c) ¿Qué movimiento directo (traslación o giro) permite pasar de $P$ a $P''$ en un solo paso? Indica sus elementos característicos (vector o centro/ángulo).

Un caleidoscopio simple funciona mediante la composición de simetrías respecto a ejes que se cortan. Imagina un objeto situado en el punto $A(4, 2)$. Aplicamos primero una simetría respecto al eje $X$ ($y = 0$) para obtener $A'$, y después aplicamos al punto $A'$ una simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$) para obtener $A''$.

Calcula las coordenadas de $A'$ y $A''$. Comprueba que el movimiento resultante de componer ambas simetrías es un giro con centro en el origen. ¿De qué ángulo es el giro?

Las trayectorias parabólicas en el deporte suelen presentar simetría. La altura $h$ de un balón de baloncesto (en pies) respecto a la distancia horizontal $d$ (en pies) viene dada por la función $h = -d^2 + 6d$.

• a) Dibuja la gráfica de la función para valores de $d$ entre $0$ y $6$.

• b) Identifica el eje de simetría de esta parábola. ¿En qué valor de $d$ alcanza el balón su altura máxima?

• c) Si el balón está a una altura de $5$ pies cuando $d=1$, ¿a qué otra distancia horizontal volverá a estar a $5$ pies de altura aplicando la simetría?

Decimos que una figura es invariante respecto a un movimiento si, tras aplicar dicho movimiento, la figura queda en la misma posición que al principio.

Considera un cuadrado con centro en el origen $(0,0)$ y lados paralelos a los ejes. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta:

• a) El cuadrado es invariante respecto a una simetría central con centro en $(0,0)$.

• b) El cuadrado es invariante respecto a una simetría axial cuyo eje sea una de sus diagonales.

• c) Cualquier recta que pase por el origen es un eje de simetría del cuadrado.

En el diseño industrial, se utiliza la simetría para optimizar el espacio. Un envase tiene forma de prisma hexagonal regular.

• a) ¿Cuántos planos de simetría tiene este prisma si cortamos de forma perpendicular a sus bases?

• b) ¿Existe algún plano de simetría que sea paralelo a las bases? En caso afirmativo, descríbelo.

• c) Si el prisma se gira respecto a un eje que pasa por el centro de las dos bases, ¿qué ángulos de giro menores de $360^\circ$ dejan la figura invariante?

Un diseñador gráfico está trabajando en un logotipo basado en la composición de movimientos. En el plano cartesiano, tiene un triángulo de vértices $A(1, 2)$, $B(3, 2)$ y $C(1, 5)$. Primero, aplica una simetría axial respecto a la recta $r \equiv x = 4$. Al triángulo resultante, $A'B'C'$, le aplica una segunda simetría axial respecto a la recta $s \equiv x = 7$.

1. a) Determina las coordenadas de los vértices del triángulo final $A''B''C''$.
2. b) ¿Qué movimiento único permite pasar directamente de $ABC$ a $A''B''C''$? Define todos los elementos característicos de dicho movimiento (vector, módulo, dirección y sentido).
3. c) Si cambiamos el orden y aplicamos primero la simetría respecto a $s$ y luego respecto a $r$, ¿obtenemos el mismo resultado? Justifica tu respuesta analíticamente.

Considera dos rectas $m$ y $n$ que se cortan en el origen de coordenadas $O(0, 0)$. La recta $m$ coincide con el eje de abscisas y la recta $n$ es la bisectriz del primer cuadrante ($y = x$). Sea el punto $P(4, 2)$.

1. a) Halla el punto $P'$ simétrico de $P$ respecto a la recta $m$.
2. b) Halla el punto $P''$ simétrico de $P'$ respecto a la recta $n$.
3. c) Comprueba que el movimiento que transforma $P$ en $P''$ es un giro. Indica su centro y su ángulo de giro.
4. d) ¿Qué relación existe entre el ángulo que forman las rectas $m$ y $n$ y el ángulo del giro obtenido?

En un juego de billar artístico, un jugador necesita golpear la bola blanca situada en $A(2, 2)$ para que toque la banda superior (representada por la recta $y = 8$) y luego impacte en la bola roja situada en $B(10, 4)$.

1. a) Determina mediante una construcción geométrica basada en simetrías el punto exacto $C$ de la banda donde debe rebotar la bola para que el camino sea el más corto posible.
2. b) Calcula las coordenadas del punto $C$.
3. c) Si la bola blanca debe tocar primero la banda superior y luego la banda derecha ($x = 14$) antes de tocar a la bola $B$, esboza el procedimiento utilizando simetrías sucesivas para encontrar la trayectoria óptima.

Analiza las propiedades de invariancia de las siguientes figuras bajo transformaciones geométricas en el plano:

1. a) Determina todas las rectas del plano que son invariantes (se transforman en ellas mismas) ante una simetría central de centro $C(2, 3)$. ¿Cuáles de ellas son de puntos invariantes?
2. b) En una simetría axial de eje $e$, ¿existen rectas invariantes que no sean el propio eje $e$? En caso afirmativo, descríbelas geométricamente.
3. c) Si aplicamos una traslación de vector $\vec{u}(4, 0)$, indica si existe algún punto invariante y qué familia de rectas permanecen invariantes.

Un mosaico nazarí se genera a partir de un motivo mínimo $F$. Se sabe que este mosaico tiene centros de simetría central en los puntos $O_1(0, 0)$ y $O_2(4, 0)$.

1. a) Si aplicamos primero la simetría central respecto a $O_1$ y luego respecto a $O_2$, ¿qué movimiento resultante obtenemos?
2. b) Demuestra que la composición de dos simetrías centrales de centros distintos es siempre una traslación. ¿Cuál es el vector de esa traslación en función de los centros $O_1$ y $O_2$?
3. c) Si el motivo mínimo tiene un vértice en $V(1, 1)$, ¿dónde se encontrará dicho vértice tras aplicar las dos simetrías centrales sucesivas?

Estudiamos las simetrías en los cuerpos platónicos. Considera un cubo de arista $a$ centrado en el origen de coordenadas del espacio tridimensional, con sus caras paralelas a los planos coordenados.

1. a) ¿Cuántos planos de simetría tiene el cubo en total? Clasifícalos según su posición (paralelos a las caras o diagonales).
2. b) Describe los ejes de giro del cubo. ¿Cuántos ejes de orden 4 existen y por dónde pasan?
3. c) ¿Tiene el cubo un centro de simetría? Justifica tu respuesta basándote en la posición de sus vértices homólogos.

Se define una isometría en el plano como una composición de una simetría axial respecto al eje de ordenadas y una traslación de vector $\vec{v}(0, -6)$.

1. a) Aplica esta transformación al cuadrilátero de vértices $A(2, 2)$, $B(5, 2)$, $C(5, 4)$ y $D(2, 4)$.
2. b) ¿Es esta transformación una isometría directa o inversa? Razona tu respuesta analizando el sentido de giro de los vértices.
3. c) ¿Existe algún punto que permanezca invariante en esta transformación? Si es así, calcúlalo. Si no, explica por qué.

En el estudio de las funciones reales de variable real, la simetría es una propiedad fundamental.

1. a) Demuestra que la gráfica de una función par (aquella donde $f(x) = f(-x)$) presenta una simetría axial. Indica cuál es su eje de simetría.
2. b) Demuestra que la gráfica de una función impar (aquella donde $f(-x) = -f(x)$) presenta una simetría central. Indica cuál es su centro de simetría.
3. c) Dada la función $f(x) = x^2 - 4x + 5$, calcula la ecuación de su eje de simetría y las coordenadas de su vértice. ¿Qué transformación (simetría o traslación) llevaría esta parábola a ser simétrica respecto al eje $Y$?