Ejercicios: Raíces cuadradas

Complete la siguiente tabla en su cuaderno relacionando la potencia al cuadrado con su correspondiente raíz cuadrada exacta. Recuerde que la raíz cuadrada de un número $a$ es otro número $b$ tal que $b^2 = a$.

Potencia ($b^2 = a$)	Raíz cuadrada ($\sqrt{a} = b$)
$3^2 = 9$	$\sqrt{9} = 3$
$7^2 = \dots$	$\dots = \dots$
$11^2 = \dots$	$\sqrt{121} = \dots$
$\dots = 1600$	$\sqrt{1600} = 40$
$15^2 = 225$	$\dots = \dots$

Queremos comprar una alfombra cuadrada para un cuarto de videojuegos. Sabemos que la superficie (área) total que cubre la alfombra es de $144 \text{ m}^2$.

Calcule mentalmente cuánto debe medir el lado de la alfombra. Apóyese en el siguiente esquema para visualizar el problema.

Calcule mentalmente las siguientes operaciones básicas con raíces cuadradas exactas. Recuerde seguir el orden de las operaciones (primero resolvemos las raíces, luego sumamos o restamos).

1. $\sqrt{25} + \sqrt{64}$

2. $\sqrt{100} - \sqrt{1}$

3. $3 \cdot \sqrt{4} + \sqrt{81}$

4. $\sqrt{144} : \sqrt{9}$

No todas las raíces dan como resultado un número entero. Cuando el resultado no es exacto, decimos que la raíz se encuentra entre dos números enteros consecutivos.

Sin usar calculadora, indique entre qué dos números enteros consecutivos se encuentran las siguientes raíces:

• Ejemplo: $\sqrt{10}$ está entre 3 y 4 (porque $3^2=9$ y $4^2=16$).

• $\sqrt{30}$

• $\sqrt{55}$

• $\sqrt{90}$

• $\sqrt{5}$

En matemáticas es muy importante no confundir las propiedades de las operaciones. Compruebe si la raíz de una suma es igual a la suma de las raíces con el siguiente ejemplo.

Calcule por separado:

1. $\sqrt{64 + 36}$ (Primero sume los números de adentro y luego halle la raíz).

2. $\sqrt{64} + \sqrt{36}$ (Calcule cada raíz por separado y luego sume los resultados).

¿Dan el mismo resultado? Concluya si es cierto que $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Tiene una colección de 196 baldosas cuadradas idénticas para pavimentar un patio interior de forma cuadrada. Si utiliza todas las baldosas sin romper ninguna:

1. ¿Cuántas baldosas tendrá que poner en cada lado del patio?

2. Si cada baldosa mide $50 \text{ cm}$ de lado, ¿cuántos pies mide el lado total del patio?

Calcule el valor del lado desconocido ($x$) de los siguientes cuadrados sabiendo su área. Fíjese en que en el caso b, el número no es entero; puede dejarlo indicado en forma de raíz o usar la calculadora para aproximar.

a) Área = $49 \text{ cm}^2$

b) Área = $15 \text{ cm}^2$

c) Área = $121 \text{ m}^2$

Identifique cuáles de los siguientes números son cuadrados perfectos (su raíz cuadrada es exacta) y cuáles no.

Calcule la raíz de los que sean perfectos y explique por qué los otros no lo son.

Lista de números: $25$, $40$, $81$, $100$, $200$, $144$.

Calcule mentalmente o mediante factorización prima el valor exacto de las siguientes raíces cuadradas. Si el resultado es una fracción o un decimal, expréselo correctamente.

1. a) $\sqrt{121}$
2. b) $\sqrt{400}$
3. c) $\sqrt{0,36}$
4. d) $\sqrt{\frac{64}{225}}$

No todos los números tienen una raíz cuadrada exacta. Sin usar la calculadora, indique entre qué dos números enteros consecutivos se encuentran las siguientes raíces.

Por ejemplo: $\sqrt{10}$ está entre 3 y 4 porque $3^2=9$ y $4^2=16$.

1. a) $\sqrt{20}$
2. b) $\sqrt{55}$
3. c) $\sqrt{110}$
4. d) $\sqrt{95}$

Queremos cercar el perímetro de un terreno cuadrado destinado a un huerto escolar. Sabemos que la superficie total del terreno es de $196 \ m^2$.

1. a) Calcule cuánto mide el lado del terreno.
2. b) Si queremos poner una cerca alrededor, ¿cuántos pies lineales de cerca necesitamos comprar?

Simplifique las siguientes expresiones con raíces cuadradas extrayendo factores del radical y agrupando los términos semejantes. Recuerde que para sumar o restar raíces, deben tener el mismo radicando.

Pista: Factorice los números dentro de la raíz primero. Por ejemplo $\sqrt{8} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$.

1. a) $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt{12} + \sqrt{75} - \sqrt{3}$

Las pantallas de las computadoras y tabletas se miden por su diagonal en pulgadas, pero nosotros queremos calcular las dimensiones en pulgadas de una tableta rectangular.

Si la base de la pantalla mide $24 \ cm$ y la altura mide $10 \ cm$, calcule la longitud exacta de la diagonal utilizando el Teorema de Pitágoras. ¿Es un número entero o irracional?

El profesor de Educación Física quiere organizar a los 60 estudiantes de 8.º grado en una formación cuadrada perfecta para una exhibición (el mismo número de filas que de columnas).

1. a) ¿Es posible formar un cuadrado perfecto con los 60 estudiantes sin que sobre ninguno? Razone su respuesta buscando cuadrados perfectos cercanos.
2. b) ¿Cuántos estudiantes sobrarían si intentamos formar el cuadrado más grande posible?
3. c) ¿Cuántos estudiantes más harían falta para formar el siguiente cuadrado más grande?

Resuelva las siguientes ecuaciones sencillas donde la incógnita está relacionada con una raíz cuadrada o un cuadrado. Recuerde que la operación inversa de la raíz es la potencia.

1. a) $\sqrt{x} = 9$
2. b) $x^2 = 169$ (Indique las dos posibles soluciones)
3. c) $\sqrt{x + 1} = 5$

Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones respetando el orden de las operaciones. Recuerde resolver primero el contenido dentro de los radicales.

1. a) $\sqrt{100 - 36}$ (Atención: no es lo mismo que $\sqrt{100} - \sqrt{36}$)
2. b) $3 \cdot \sqrt{16} + \sqrt{9} \cdot 2$
3. c) $\frac{\sqrt{144}}{2} - \sqrt{4 \cdot 9}$

Para representar números irracionales de forma exacta en la recta real, utilizamos el Teorema de Pitágoras. Sabemos que la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 es $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Siguiendo esta lógica:

Explique detalladamente, paso a paso, cómo representaría en la recta numérica el número $\sqrt{29}$ utilizando una regla y un compás. Debe indicar qué números enteros utilizaría como medidas para los catetos del triángulo rectángulo auxiliar. Apóyese en el siguiente esquema visual para su razonamiento.

Simplifique al máximo la siguiente expresión numérica operando con los radicales. Para ello, deberá descomponer los radicandos en factores primos y extraer todos los factores posibles fuera de la raíz antes de sumar o restar.

$$ 3\sqrt{8} - 5\sqrt{18} + \frac{1}{2}\sqrt{200} + \sqrt{50} $$

Una vez simplificado, indique si el resultado es un número racional o irracional.

En un almacén de logística utilizan cajas con forma de cubo perfecto para optimizar el espacio. Sabemos que la diagonal interna de la caja (la línea que va desde una esquina inferior hasta la esquina superior opuesta, atravesando el centro de la caja) mide $\sqrt{27}$ pies.

Calcule cuánto mide la arista (el lado) de dicha caja.

Pista: Recuerde que debe aplicar el Teorema de Pitágoras dos veces o utilizar la fórmula de la diagonal del cubo.

Tenemos una expresión algebraica que involucra raíces y potencias. Simplifique la siguiente expresión extrayendo todos los factores posibles fuera de la raíz. Suponga que $a$, $b$ y $c$ son números positivos.

$$ \sqrt{\frac{16a^5 \cdot b^7}{81c^4}} $$

El resultado final debe presentarse como una fracción sin radicales en el denominador.

La velocidad $v$ (en pies por segundo) a la que un carro puede tomar una curva sin patinar depende del radio $r$ de la curva (en pies), del coeficiente de fricción $\mu$ (adimensional) y de la gravedad $g$ ($9,8 \text{ ft/s}^2$). La fórmula es:

$$ v = \sqrt{\mu \cdot g \cdot r} $$

Si un ingeniero diseña una salida de autopista con un radio $r = 150 \text{ ft}$ y el asfalto tiene un coeficiente de fricción $\mu = 0,6$:

1. Calcule la velocidad máxima teórica.

2. Si por seguridad se recomienda ir a una velocidad que sea la mitad de la máxima teórica, ¿cuál sería esa velocidad de seguridad aproximada en mph? (Utilice $\sqrt{882} \approx 29,7$).

Estime sin usar calculadora el valor de $\sqrt{60}$ con una cifra decimal. Para ello:

1. Encuentre los dos cuadrados perfectos más cercanos a 60.

2. Interpola linealmente o utilice el método de "tanteo" razonado para aproximar el primer decimal.

3. Una vez tenga su estimación, calcule el error absoluto cometido sabiendo que el valor real aproximado es $7,74$.

Calcule el valor exacto de la siguiente operación combinada, respetando el orden de las operaciones. Escriba todos los pasos intermedios.

$$ \sqrt{144} : (-3) + \sqrt{5^2 - 3^2} - (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{4} $$

Tenemos dos terrenos cuadrados. El área del terreno A es de $450 \text{ m}^2$ y el área del terreno B es la mitad que la del terreno A.

1. Escriba la expresión exacta del lado del terreno B utilizando raíces cuadradas.

2. Simplifique dicha raíz extrayendo factores.

3. Si quisiéramos cercar el terreno B, ¿cuántos pies de cerca necesitaríamos? Dé el resultado simplificado en función de $\sqrt{2}$.