Ejercicios: Números racionales

Observe la siguiente representación gráfica de una fracción. Su tarea consiste en:

1. Escribir la fracción irreducible que representa la parte coloreada en naranja respecto al total del círculo.

2. Indicar si la fracción $\frac{9}{24}$ es equivalente a la representada en la imagen. Justifique su respuesta simplificando ambas fracciones.

Tres amigos están compitiendo en una carrera de obstáculos de 100 pies. En un momento determinado, sus posiciones son las siguientes:

• Isabella ha recorrido $\frac{2}{5}$ del total.

• Beto ha recorrido $\frac{3}{4}$ del total.

• Carla ha recorrido $\frac{7}{10}$ del total.

• Calcule cuántos pies ha recorrido exactamente cada uno.

• Ordene las fracciones de menor a mayor utilizando el símbolo $<$.

• Ubique aproximadamente la posición de Isabella (A), Beto (B) y Carla (C) en la recta numérica mostrada a continuación.

Clasifique los siguientes números decimales según sean exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, exprese los que sean exactos en forma de fracción irreducible.

1. a) $3,25$
2. b) $7,1111\dots$
3. c) $0,25$
4. d) $5,0424242\dots$

Pista: Recuerde que para pasar un decimal exacto a fracción, escribe el número sin la coma en el numerador y un 1 seguido de tantos ceros como decimales tenga en el denominador.

En un videojuego de estrategia, el mapa está dividido en diferentes zonas según el terreno.

El mapa total ocupa 1200 píxeles cuadrados.

• El bosque ocupa $\frac{1}{3}$ del mapa.

• El agua ocupa $\frac{1}{4}$ del mapa.

• El resto es desierto.

• ¿Cuántos píxeles cuadrados ocupa el bosque?

• ¿Cuántos píxeles cuadrados ocupa el agua?

• Calcule qué fracción irreducible del mapa representa el desierto.

Realice las siguientes operaciones con fracciones. Recuerde que para sumar o restar debe obtener primero el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Exprese el resultado en forma de fracción irreducible.

1. a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{6}$

1. b) $\frac{4}{5} - \frac{1}{2}$

1. c) $\frac{3}{4} + \frac{5}{12} - \frac{1}{3}$

El almacenamiento de su teléfono celular se reparte de la siguiente manera:

• Las fotos ocupan $\frac{2}{5}$ del espacio.

• Las aplicaciones ocupan $\frac{1}{3}$ del espacio.

• ¿Qué fracción del total ocupan las fotos y las aplicaciones juntas?

• Si el resto del espacio está libre, ¿qué fracción representa el espacio libre?

• Si la capacidad total del teléfono es de 60 GB, ¿cuántos GB quedan libres?

Calcule los siguientes productos y divisiones de fracciones. Recuerde simplificar el resultado final si es posible.

1. a) $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{9}$

1. b) $\frac{2}{5} : \frac{4}{15}$

1. c) $\frac{5}{6} \cdot (-2)$

Nota: Recuerde la regla de los signos y que un número entero tiene denominador 1.

Sofía ha comprado una pizza rectangular grande para cenar. Al abrir la caja, ve que la pizza viene cortada en 24 rebanadas iguales.

• Sofía se come 4 rebanadas.

• Su hermano Luis se come 6 rebanadas.

• Sus padres se comen 8 rebanadas entre los dos.

• Escriba la fracción de pizza que se ha comido cada uno (Sofía, Luis y padres). Simplifíquelas al máximo.

• ¿Qué fracción de la pizza ha sobrado? Exprese el resultado como fracción irreducible.

Calcule el valor de la siguiente operación combinada, respetando la jerarquía de las operaciones (paréntesis, potencias, multiplicaciones/divisiones, sumas/restas). Debe simplificar el resultado final hasta obtener la fracción irreducible.

$$ \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right)^2 : \frac{5}{8} - \left( 1 - \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{3} \right) $$

Su teléfono celular tiene una capacidad de almacenamiento total desconocida. El sistema operativo ocupa $\frac{1}{6}$ de la memoria total. De lo que queda libre, sus aplicaciones y juegos ocupan $\frac{3}{5}$. Si al final le quedan libres 32 GB para sus fotos y videos:

1. a) ¿Qué fracción del total representa la memoria libre para fotos?
2. b) ¿Cuál es la capacidad total de almacenamiento del teléfono en GB?

Ayúdese del siguiente esquema gráfico para visualizar el problema:

Clasifique los siguientes números decimales (exacto, periódico puro o periódico mixto) y halle su fracción generatriz. Una vez obtenidas las fracciones, realice la siguiente operación y simplifique el resultado:

$$ 1,2\widehat{5} - 0,\widehat{6} $$

En el laboratorio de Física hemos medido la longitud de una mesa y el grosor de una moneda. Los resultados han sido:

• Longitud de la mesa: valor real $120 \text{ cm}$, valor medido $118 \text{ cm}$.

• Grosor de la moneda: valor real $2 \text{ mm}$, valor medido $2,5 \text{ mm}$.

Calcule el error absoluto y el error relativo (en porcentaje) de cada medición. ¿Cuál de las dos mediciones ha sido más precisa? Justifique su respuesta basándose en el error relativo.

Represente en la recta numérica los números racionales $\frac{7}{4}$ y $-\frac{2}{3}$.

Para ello, utilice el Teorema de Tales o la división de segmentos para ubicar los puntos de forma exacta, no aproximada.

Utilice el siguiente diagrama como referencia para su construcción en el cuaderno:

Tres amigos compran un regalo de cumpleaños que cuesta $\$60$.

• Isabella aporta $\frac{1}{3}$ del precio total.

• Beto aporta $\frac{2}{5}$ del precio total.

• Carla paga el resto.

1. a) ¿Qué fracción del total paga Carla?
2. b) ¿Cuánto dinero en dólares pone cada uno?

Se deja caer una pelota de goma desde una altura de 27 pies. En cada rebote, la pelota sube una altura equivalente a $\frac{2}{3}$ de la altura anterior.

1. a) Escriba la fracción y la altura en pies que alcanza tras el primer rebote.
2. b) Escriba la fracción y la altura en pies que alcanza tras el segundo rebote.
3. c) ¿A qué altura subirá después del tercer rebote?

Disponemos de un bidón de aceite con una capacidad de 120 galones.

Queremos envasar todo el aceite en dos tipos de recipientes:

• Llenamos 40 botellas de $\frac{3}{4}$ de galón cada una.

• El resto del aceite lo envasamos en garrafas de $1,5$ galones.

¿Cuántas garrafas de 1,5 galones necesitaremos para envasar el aceite restante?

Nota: Recuerde que 1,5 galones se puede expresar como la fracción $\frac{3}{2}$.

Calcule el valor exacto de la siguiente expresión combinada. Para ello, debe convertir previamente todos los números decimales a su fracción generatriz irreducible y simplificar cada paso antes de operar. Tenga cuidado con la jerarquía de las operaciones y los signos negativos.

$$ \frac{2^{-2} - \left( 1,1\widehat{6} - \frac{7}{6} \right)^{-1} \cdot \sqrt{\frac{16}{81}}}{0,\widehat{3} \cdot \left( 1 - \frac{3}{2} \right)^2 + 2,5} $$

Nota: Recuerde que $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Un grupo de estudiantes de 8.º grado está organizando la financiación para su viaje de fin de curso. Han diseñado un plan de recaudación por etapas:

1. En la primera etapa (venta de rifas), consiguieron recaudar $\frac{2}{5}$ del costo total del viaje.

2. En la segunda etapa (torneo de e-sports), recaudaron $\frac{3}{4}$ de lo que les faltaba por conseguir tras la primera etapa.

3. En la tercera etapa (mercado solidario), consiguieron $\frac{2}{3}$ del nuevo resto que les quedaba.

Si después de estas tres etapas todavía les faltan $\$150$ para cubrir el costo total:

1. a) ¿Qué fracción del total representa lo recaudado en la tercera etapa?
2. b) ¿Cuál es el costo total del viaje?
3. c) ¿Cuánto dinero recaudaron en el torneo de e-sports?

Apóyese en el siguiente diagrama de barras para visualizar las fracciones de resto:

Dos impresoras 3D están trabajando para imprimir las piezas de un proyecto de tecnología.

• La impresora modelo A (más antigua) tardaría 6 horas en imprimir todas las piezas ella sola.

• La impresora modelo B (de última generación) tardaría solo 4 horas en realizar el mismo trabajo completo en solitario.

Para acelerar el proceso, se ponen ambas a funcionar simultáneamente. Sin embargo, tras 1 hora y media funcionando juntas, la impresora B se avería y se detiene.

1. a) ¿Qué fracción del trabajo total han completado juntas antes de la avería?
2. b) ¿Qué fracción del trabajo queda pendiente?
3. c) ¿Cuánto tiempo extra tardará la impresora A en terminar el trabajo restante ella sola? Exprese el resultado en horas y minutos.

Tenemos una pieza cuadrada de material conductor para un circuito. Se realizan cortes sucesivos siguiendo un patrón geométrico fractal:

1. El cuadrado original se divide en 4 cuadrados iguales y se elimina (se colorea de negro) el cuadrado superior izquierdo.

2. De los 3 cuadrados verdes restantes, cada uno se vuelve a dividir en 4 cuadrados iguales y se elimina el superior izquierdo de cada uno de ellos.

Observe la figura generada tras el segundo paso:

1. a) Escriba la operación combinada de fracciones que calcula qué parte del área total ha sido eliminada (zonas sombreadas) después del segundo paso.
2. b) Si el lado del cuadrado original mide $1 \text{ m}$, ¿cuántos $\text{cm}^2$ de material "blanco" (no eliminado) quedan tras el segundo paso?

Encuentre una fracción irreducible $\frac{a}{b}$ tal que sea el resultado de operar:

$$ 2,3\widehat{1} - 0,\widehat{5} + \frac{1}{11} \cdot 0,5 $$

Si intenta hacer esta operación convirtiendo a decimales y operando, obtendrá un error de aproximación. Demuestre algebraicamente, usando fracciones generatrices, que el resultado es exacto.

A continuación, calcule el error absoluto y el error relativo (en %) que se cometería si aproximáramos el número $2,3\widehat{1}$ simplemente por $2,31$ antes de empezar a operar.

Un biólogo está preparando un cultivo de bacterias y necesita una temperatura ambiente muy específica.

El termostato del laboratorio tiene una escala un poco extraña marcada en fracciones de grado.

La temperatura ideal $T$ debe cumplir la siguiente condición de distancia (valor absoluto):

$$ \left| T - \frac{25}{4} \right| \leq \frac{3}{8} $$

1. a) Represente en la recta numérica el conjunto de todos los valores posibles de temperatura $T$ (intervalo).
2. b) Escriba el intervalo solución usando desigualdades y fracciones.
3. c) ¿Sería válida una temperatura de $6,65^\circ \text{C}$? Justifique su respuesta operando con fracciones.

Tenemos tres depósitos de jugo con distintas capacidades:

• Depósito A: Lleno hasta $\frac{3}{5}$ de su capacidad.

• Depósito B: Lleno hasta $\frac{5}{6}$ de su capacidad.

• Depósito C: Vacío, con una capacidad de 100 galones.

Sabemos que la capacidad total del depósito A es $\frac{2}{3}$ de la capacidad del depósito B.

Si vertemos el contenido actual de A y de B dentro del depósito C, la mezcla ocupa exactamente $\frac{11}{20}$ de la capacidad de C.

Calcule la capacidad máxima (volumen total) de los depósitos A y B.

Una pelota de goma muy elástica se deja caer desde una altura de 243 pulgadas.

Cada vez que rebota en el suelo, la pelota asciende a una altura que es igual a $\frac{2}{3}$ de la altura desde la que cayó anteriormente.

1. a) Escriba la secuencia de alturas (en forma de potencias y fracciones) que alcanza la pelota en el primer, segundo y tercer rebote.
2. b) ¿A qué altura subirá después del quinto rebote? Exprese el resultado como fracción irreducible y luego páselo a decimal.
3. c) ¿Qué distancia total habrá recorrido la pelota (sumando bajadas y subidas) justo cuando toque el suelo por cuarta vez?